フーリエ級数の収束のソースを表示

'''[[フーリエ級数]]の[[極限#数列の収束|収束]]'''（フーリエきゅうすうのしゅうそく）は[[純粋数学]]における[[調和解析]]の分野で研究される問題である。フーリエ級数は一般には収束するとは限らず、収束するための条件が存在する。

収束性の判断には[[各点収束]]、[[一様収束]]、[[絶対収束]]、[[Lp空間|{{mvar|L&thinsp;<sup>p</sup>}} 空間]]、[[総和法]]、[[チェザロ和]]の知識を要する。

== 前提 ==
区間 {{math|[0, 2&pi;]}} で[[ルベーグ積分|可積分]]な {{mvar|f}} を考える。{{mvar|f}} の'''フーリエ係数''' {{en|(Fourier coefficient)}} <math>\widehat{f}(n)</math> は以下のように定められる。

:<math>\widehat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}\,dt, \quad n \in \mathbf{Z}.</math>

関数 {{mvar|f}} とそのフーリエ級数の関係は通常次のように記述される。

:<math>f\sim \sum_n \widehat{f}(n)e^{int}.</math>

ここで {{math|&sim;}} は和がある意味で関数を表現することを意味する。より慎重な議論を要する場合には、[[部分和]]を以下のように定義する：

:<math>S_N(f;t)=\sum_{n=-N}^N \widehat{f}(n)e^{int}.</math>

このとき気になるであろう問題は次の事である：
*関数 {{math|''S<sub>N</sub>''(''f'';''t'')}} は {{mvar|f}} へ、またどの意味で収束するだろうか？　
*収束を保証する {{mvar|f}} の条件は何だろうか？
この記事ではこれらの問に関する議論を主として扱う。

先を続ける前に'''[[ディリクレ核]]''' {{en|(Dirichlet kernel)}} について説明しておく。フーリエ係数 <math>\widehat{f}(n)</math> の公式を部分和 {{mvar|S{{sub|N}}}} に対して適用すると、最終的に

:<math>S_N(f)=f * D_N\,</math>

という関係が得られる。ここで {{math|&lowast;}} は[[巡回畳み込み]]を意味し、{{mvar|D<sub>N</sub>}} は以下に示すディリクレ核である：

:<math>D_n(t)=\frac{\sin((n+\frac{1}{2})t)}{\sin(t/2)}.</math>

ディリクレ核は''正値ではなく'' 、実際その[[ノルム]]は発散する。

:<math>\int |D_n(t)|\,dt \to \infty </math>

この性質はフーリエ級数の収束に関する議論で極めて重要な役割を果たす。{{math|''L''&thinsp;<sup>1</sup>('''T''')}} 上の {{mvar|D<sub>n</sub>}} のノルムは、{{math|''C''('''T''')}} 空間の周期的連続関数に作用する {{mvar|D<sub>n</sub>}} 畳み込み作用素のノルムと一致し、また {{math|''C''('''T''')}} 上の[[線型汎関数]] {{math|''&fnof;''&nbsp;&rarr; (''S''<sub>''n''</sub>''&fnof;'')(0)}} のノルムに一致する。従って、この {{math|''C''('''T''')}} 上の線型汎関数の族は {{math|''n''&nbsp;&rarr;&nbsp;&infin;}} としたときに収束しない。

==フーリエ係数の大きさ==
応用においてフーリエ係数の大きさを知ることがしばしば重要になる。
関数 {{mvar|f}} が[[絶対連続]]であるなら、関数 {{mvar|f}} のみに依存する定数 {{mvar|K}} について、以下の関係が成り立つ。
:<math>\left|\widehat f(n)\right|\le {K \over |n|}.</math>

{{mvar|f}} が{{仮リンク|有界変動関数|en|Bounded variation}}であるなら、以下の関係が成り立つ。
:<math>\left|\widehat f(n)\right|\le {{\rm var}(f)\over 2\pi|n|}.</math>

{{math|''f'' &isin; ''C&thinsp;{{sup|p}}''}} なら以下の関係が成り立つ。
:<math>\left|\widehat{f}(n)\right|\le {\| f^{(p)}\|_{L_1}\over |n|^p}.</math>

{{math|''f'' &isin; ''C&thinsp;{{sup|p}}''}} かつ {{math|''f''&thinsp;{{sup|(''p'')}}}} が {{mvar|&omega;{{sub|p}}}} の{{仮リンク|連続率|en|Modulus of continuity}}を持つなら{{要出典|date=February 2011}}、
:<math>\left|\widehat{f}(n)\right|\le {\omega(2\pi/n)\over |n|^p} </math>

が成り立つ。従って、{{mvar|f}} は {{mvar|&alpha;}}-{{仮リンク|ヘルダークラス|en|Hölder condition}}である（[[リプシッツ連続]]も参照）。
:<math>\left|\widehat{f}(n)\right|\le {K\over |n|^\alpha}.</math>

==各点収束するための条件==
[[File:Sawtooth Fourier Analysis.JPG|thumb|280px|[[正弦波]]（下）を[[基底]]とした[[重ね合わせ]]によって作られた[[のこぎり波|ノコギリ波]]（上）；基底となる正弦波の[[波長]] {{math|''&lambda;''/''k''}} はノコギリ波の波長 {{mvar|&lambda;}} より短い（{{mvar|k}} は {{math|1}} より大きい整数）。すべての基底はノコギリ波と同じ点に節を持つが、原理的にすべての基底は余計に節をつくってしまう。ノコギリ波の振動現象は[[ギブズ現象]]と呼ばれている。]]

===その点で左微分と右微分を持つ場合===

点 {{mvar|x_0}} を与えたとき、その点で関数のフーリエ級数が収束する[[十分条件]]については次がよく知られている；

''f'' が周期 2{{π}} の[[区分的|区分的に ''C''<sup>1</sup> 級]]の可積分関数であり、点{{mvar|x_0}}での[[半微分可能性|左微分と右微分]]を持つとする。このとき{{mvar|f}}のフーリエ級数は
:<math>\frac{1}{2}\left(f(x_0-0)+f(x_0+0)\right)</math>
に収束する（ここで{{math|''f'' (''x'' ± 0) {{=}} lim<sub>''h'' &darr; 0</sub> ''f'' (''x'' ± ''h'')}} ）。

つまりたとえ跳躍不連続点であっても、関数がそこで[[半微分可能性|左微分と右微分]]を持つ場合、そのフーリエ級数はそこでの[[片側極限|左極限値と右極限値]]のちょうど中間に収束する（[[ギブズ現象]]も参照）。

===ヘルダー条件===

'''ディリクレ＝ディニ条件''' {{en|(Dirichlet&ndash;Dini criterion)}} 
{{mvar|f}} が {{math|2&pi;}}-周期的であり、[[局所可積分函数|局所可積分]]かつ次の条件
::<math>\int_0^{\pi} \Bigl| \frac{f(x_0 + t) + f(x_0 - t)}2 - \ell \Bigr| \, \frac{\mathrm{d}t }{t} < \infty,</math>
:を満たすなら、{{math|(''S<sub>n</sub>&fnof;'')(''x''<sub>0</sub>)}} は {{mvar|ℓ}} に収束する。

このことは、任意の[[ヘルダー条件]]を満たす関数 {{mvar|f}} は、そのフーリエ級数が至るところで {{math|''&fnof;''(''x'')}} に収束することを示している。

[[ヘルダー条件]]を満たすなら、そのフーリエ級数は一様収束することも知られている。

===その他===

* {{mvar|f}} が有界変動関数の場合、そのフーリエ級数は至るところで収束する（{{仮リンク|ディニ・テスト|en|Dini test}}を参照）。
* {{mvar|f}} が連続でそのフーリエ級数が絶対総和可能の場合、フーリエ級数は一様収束する。

フーリエ級数が各点収束しても一様収束しないような連続関数が存在する<ref>Antoni Zygmund, Trigonometric Series, vol. 1, Chapter 8, Theorem 1.13, p.&nbsp;300 参照。</ref>。

連続関数fのフーリエ級数が収束するならその極限関数Sはfに等しい。これはフーリエ級数の部分和の[[チェザロ平均]]がSに収束することと[[フェイェールの定理]]による。

しかしながら、連続関数のフーリエ級数が各点収束する必要はない。そのことは最も簡単には、{{math|''L''<sup>1</sup>('''T''')}} のディリクレ核が収束しないことと、バナフ＝シュタインハウスの{{仮リンク|一様有界性原理|en|Uniform boundedness principle}}を用いることで証明できる。これは[[ベールの範疇定理]]を使った典型的な存在証明であり、証明は[[排中律|非構成的]]である。このことは、与えられた {{mvar|x}} に対してフーリエ級数が収束するような連続関数の族について、その族が円上の連続関数がなす[[バナッハ空間]]において[[ベール空間|第一類]]であることを示す。
従って各点収束するフーリエ級数はある意味で''非典型的'' であり、多くの連続関数のフーリエ級数は与えられた点について収束しない。しかしながら{{仮リンク|カルレソンの定理|en|Carleson's theorem}}によって、与えられた連続関数のフーリエ級数がほとんど至るところで収束することが示されている。

==一様収束するための条件==
次は{{仮リンク|ダナム・ジャクソン|en|Dunham Jackson}}によって最初に示された。

{{math|''f'' &isin; ''C''&thinsp;{{sup|''p''}}}} かつ {{math|''f''&thinsp;{{sup|(''p'')}}}} は{{仮リンク|連続率|en|Modulus of continuity}} {{mvar|&omega;}} を持つとすると（また {{mvar|&omega;}} は非減少的であるとする）、フーリエ級数の部分和は元の関数に次のような早さで収束する<ref>Jackson (1930), p21ff.</ref>。
:<math>|f(x)-(S_Nf)(x)|\le K {\ln N \over N^p}\omega(2\pi/N).</math>
ここで {{mvar|K}} は {{mvar|f}} にも {{mvar|p}} にも {{mvar|N}} にも依存しない定数である。

この定理は、例えば {{mvar|f}} が {{mvar|&alpha;}}-[[ヘルダー条件]]を満たす場合、

:<math>|f(x)-(S_Nf)(x)|\le K {\ln N\over N^\alpha}</math>

で押さえられることを示す。{{mvar|f}} が {{math|2&pi;}} 周期的であり {{math|[0, 2&pi;]}} で絶対連続ならば、関数 {{mvar|f}} のフーリエ級数は {{mvar|f}} に[[一様収束]]する。ただし[[絶対収束]]するとは限らない<ref>Stromberg (1981), Exercise 6 (d) on p.&nbsp;519 and Exercise 7 (c) on p.&nbsp;520.</ref>。

==絶対収束するための条件==
関数 {{mvar|f}} が絶対収束するフーリエ級数を持つ場合、

:<math>\|f\|_A:=\sum_{n=-\infty}^\infty |\widehat{f}(n)|<\infty.</math>

この条件が成り立つ限り、{{math|(''S{{sub|N}} f'')(''t'')}} がすべての {{mvar|t}} について絶対収束すること、また {{math|(''S{{sub|N}} f'')(''t'')}} がひとつの {{mvar|t}} について絶対収束するだけであってもこの条件が成り立つことは明らかである。
すなわち、ある 1 点でそれが絶対収束するならば、すべての点で絶対収束する。言い換えれば、絶対収束性は''どこ'' で部分和が絶対収束するかを問題としない。

フーリエ級数が絶対収束するすべての関数の[[族 (数学)|族]]は[[バナッハ代数]]である（この代数における乗法は、単純な関数の積である）。また、これは[[ノーバート・ウィーナー]]に因んで{{仮リンク|ウィーナー代数|en|Wiener algebra}}と呼ばれる。ウィーナーは {{mvar|f}} が絶対収束するフーリエ級数を持ち、かつそれがゼロにならない場合に {{math|1/''f''}} が絶対収束するフーリエ級数を持つことを証明した。オリジナルのウィーナーの定理の証明は異なっており、バナッハ代数の性質を利用してそれを単純化したのは[[イズライル・ゲルファント]]である。最終的に短い初等的な証明を与えたのは{{仮リンク|ドナルド・ニューマン|en|Donald J. Newman}}であり1975年の事である。

{{mvar|f}} が{{math|''&alpha;'' &gt; 1/2}} について {{mvar|&alpha;}}-ヘルダークラスに属するならば、
ヘルダー条件における定数 {{math|{{!!}}''f''&thinsp;{{!!}}{{sub|Lip{{sub|''&alpha;''}}}}}}、{{mvar|&alpha;}} のみに依存する定数 {{mvar|c{{sub|&alpha;}}}} について、
:<math>\|f\|_A\le c_\alpha \|f\|_{{\rm Lip}_\alpha},</math>
:<math>\|f\|_K:=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |n| |\widehat{f}(n)|^2\le  c_\alpha \|f\|^2_{{\rm Lip}_\alpha},</math>

が成り立つ。また {{math|{{!!}}''f''&thinsp;{{!!}}{{sub|''K''}}}} はクレイン代数におけるノルムである。条件にあった {{math|1/2}} が基本的な役割を果たしていることに注意する。{{math|1/2}} ヘルダー関数はウィーナー代数に属さないのである。またこの定理は、よく知られている {{mvar|&alpha;}}-ヘルダー関数のフーリエ係数の大きさの上限、{{math|''O''(1/''n{{sup|&alpha;}}'')}} を改良することはできず、このときフーリエ級数は総和可能ではない。

{{mvar|f}} が[[有界変動関数]]であり'''かつ'''ある {{math|''&alpha;'' &gt; 0}} について {{mvar|&alpha;}}-ヘルダークラスに属するなら、関数 {{mvar|f}} はウィーナー代数に属する。

==ほとんど至る所収束==
連続関数のフーリエ級数が[[ほとんど (数学)]]至る所収束するかという問題は、1920年代に[[ニコライ・ルージン]]によって提起された。 この問題は1966年に[[レンナルト・カルレソン]]によって肯定的に解決された。 {{ill|カルレソンの定理|en|Carleson's theorem}}として知られるようになった彼の結果は、L^2における任意の関数のフーリエ展開はほとんど至る所収束するというものである。 その後、{{ill|リチャード・アレン・ハント|en|Richard Allen Hunt|label=リチャード・ハント}}がLp（1<p<∞） のFourier 級数はほとんど至るところで収束することを示した (1967)。

これとは逆に、[[アンドレイ・コルモゴロフ]]は、19歳の学生のとき、最初の科学的研究で、L^1においてフーリエ級数がほとんど至る所発散する関数の例を構成した（後に、全ての点で発散するように改良された(1926)）。

Jean-Pierre KahaneとYitzhak Katznelsonは、測度0の任意の集合Nに対して、ƒのフーリエ級数がNの上で収束しないような連続関数ƒが存在することを証明した。
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==ノルム収束==

The simplest case is that of [[Lp space|''L''<sup>2</sup>]], which is a direct transcription of general [[Hilbert space]] results. According to the [[Riesz&ndash;Fischer theorem]], if ''&fnof;'' is [[square-integrable]] then

:<math>\lim_{N\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\left|f(x)-S_N(f)
\right|^2\,dx=0</math>

''i.e.'',&thinsp; <math>S_N f</math> converges to ''&fnof;'' in the norm of ''L''<sup>2</sup>. It is easy to see that the converse is also true: if the limit above is zero, ''&fnof;'' must be in ''L''<sup>2</sup>. So this is an [[if and only if]] condition.

If 2 in the exponents above is replaced with some ''p'', the question becomes much harder. It turns out that the convergence still holds if 1&nbsp;< ''p''&nbsp;< &infin;.  In other words, for ''&fnof;'' in [[Lp space|''L''<sup>p</sup>]],&thinsp; <math>S_N(f)</math> converges to ''&fnof;'' in the ''L''<sup>''p''</sup> norm. The original proof uses properties of [[holomorphic function]]s and [[Hardy space]]s, and another proof, due to [[Salomon Bochner]] relies upon the [[Riesz&ndash;Thorin theorem|Riesz&ndash;Thorin interpolation theorem]]. For ''p''&nbsp;=&nbsp;1 and infinity,  the result is not true. The construction of an example of divergence in  ''L''<sup>1</sup> was first done by [[Andrey Kolmogorov]] (see below). For infinity, the result is a more or less trivial corollary of the [[uniform boundedness principle]].

If the partial summation operator ''S<sub>N</sub>'' is replaced by a suitable [[summability kernel]] (for example the ''Fejér sum'' obtained by convolution with the [[Fejér kernel]]), basic functional analytic techniques can be applied to show that norm convergence holds for&nbsp;1&nbsp;&le;&nbsp;''p''&nbsp;<&nbsp;∞.

==概収束==

The problem whether the Fourier series of any continuous function converges [[almost everywhere]] was posed by [[Nikolai Lusin]] in the 1920s and remained open until finally resolved positively in 1966 by [[Lennart Carleson]]. Indeed, Carleson showed that the Fourier expansion of any function in ''L''<sup>2</sup> converges almost everywhere. This result is now known as [[Carleson's theorem]].  Later on [[Richard Hunt (mathematician)|Richard Hunt]] generalized this to ''L''<sup>''p''</sup> for any ''p''&nbsp;> 1. Despite a number of attempts at simplifying the proof, it is still one of the most difficult results in analysis.

Contrariwise, [[Andrey Kolmogorov]], in his very first paper published when he was 21, constructed an example of a function in ''L''<sup>1</sup> whose Fourier series diverges almost everywhere (later improved to divergence everywhere).

It might be interesting to note that [[Jean-Pierre Kahane]] and [[Yitzhak Katznelson (mathematician)|Yitzhak Katznelson]] proved that for any given set ''E'' of [[measure (mathematics)|measure]] zero, there exists a continuous function ''&fnof;'' such that the Fourier series of ''&fnof;'' fails to converge on any point
of ''E''.

==総和可能性==

Does the sequence 0,1,0,1,0,1,... (the partial sums of [[Grandi's series]]) converge to ½? This does not seem like a very unreasonable generalization of the notion of convergence. Hence we say that any sequence <math>a_n</math> is [[Cesàro mean|Cesàro summable]] to some ''a'' if

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k=a.</math>

It is not difficult to see that if a sequence converges to some ''a'' then it is also [[Cesàro mean|Cesàro summable]] to it.

To discuss summability of Fourier series, we must replace <math>S_N</math> with an appropriate notion. Hence we define

:<math>K_N(f;t)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} S_n(f;t), \quad N \ge 1,</math>

and ask: does <math>K_N(f)</math> converge to ''f''? <math>K_N </math> is no longer
associated with Dirichlet's kernel, but with [[Fejér kernel|Fejér's kernel]], namely

:<math>K_N(f)=f*F_N\,</math>

where <math>F_N</math> is Fejér's kernel,

:<math>F_N=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} D_n.</math>

The main difference is that Fejér's kernel is a positive kernel. [[Fejér's theorem]] states that the above sequence of partial sums converge uniformly to ''&fnof;''. This implies much better convergence properties

* If ''&fnof;'' is continuous at ''t'' then the Fourier series of ''&fnof;'' is summable at ''t'' to ''&fnof;''(''t''). If ''&fnof;'' is continuous, its Fourier series is uniformly summable (i.e. <math>K_N f</math> converges uniformly to ''&fnof;'').
* For any integrable ''&fnof;'', <math>K_N f</math> converges to ''&fnof;'' in the <math>L^1</math> norm.
* There is no Gibbs phenomenon.

Results about summability can also imply results about regular convergence. For example, we learn that if ''&fnof;'' is continuous at ''t'', then the Fourier series of ''&fnof;'' cannot converge to a value different from ''&fnof;''(''t''). It may either converge to ''&fnof;''(''t'') or diverge. This is because, if <math>S_N(f;t)</math> converges to some value ''x'', it is also summable to it, so from the first summability property above, ''x''&nbsp;= ''&fnof;''(''t'').

==発散の強さ==

The order of growth of Dirichlet's kernel is logarithmic, i.e.

:<math>\int |D_N(t)|\,dt = \frac{4}{\pi^2}\log N+O(1).</math>

See [[Big O notation]] for the notation ''O''(1). It should be noted that the actual value <math>4/\pi^2</math> is both difficult to calculate (see Zygmund 8.3) and of almost no use. The fact that for ''some'' constant ''c'' we have

:<math>\int |D_N(t)|\,dt > c\log N+O(1)</math>

is quite clear when one examines the graph of Dirichlet's kernel. The integral over the ''n''-th peak is bigger than ''c''/''n'' and therefore the estimate for the [[Harmonic series (mathematics)|harmonic sum]] gives the logarithmic estimate.

This estimate entails quantitative versions of some of the previous results. For any continuous function ''f'' and any ''t'' one has

:<math>\lim_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\log N}=0.</math>

However, for any order of growth ω(''n'') smaller than log, this no longer holds and it is possible to find a continuous function ''f'' such that for some ''t'',

:<math>\varlimsup_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\omega(N)}=\infty.</math>

The equivalent problem for divergence everywhere is open. Sergei Konyagin managed to construct an integrable function such that for ''every t'' one has

:<math>\varlimsup_{N\to\infty} \frac{S_N(f;t)}{\sqrt{\log N}}=\infty.</math>

It is not known whether this example is best possible. The only bound from the other direction known is log ''n''.

==多次元==

Upon examining the equivalent problem in more than one dimension, it is necessary to specify the precise order of summation one uses. For example, in two dimensions, one may define

:<math>S_N(f;t_1,t_2)=\sum_{|n_1|\leq N,|n_2|\leq N}\widehat{f}(n_1,n_2)e^{i(n_1 t_1+n_2 t_2)}</math>

which are known as "square partial sums". Replacing the sum above with

:<math>\sum_{n_1^2+n_2^2\leq N^2}</math>

lead to "circular partial sums". The difference between these two definitions is quite notable. For example, the norm of the corresponding Dirichlet kernel for square partial sums is of the order of <math>\log^2 N</math> while for circular partial sums it is of the order of <math>\sqrt{N}</math>.

Many of the results true for one dimension are wrong or unknown in multiple dimensions. In particular, the equivalent of Carleson's theorem is still open for circular partial sums. Almost everywhere convergence of "square partial sums" (as well as more general polygonal partial sums) in multiple dimensions was established around 1970 by Charles Fefferman.
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==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

==参考文献==

===教科書===
*{{citation|author=Dunham Jackson|title=The theory of Approximation|publisher=AMS Colloquium Publication Volume XI, New York|date=1930|ref=harv}}.
*{{citation|author=Nina K. Bary|title=A treatise on trigonometric series|volume=I, II|publisher=Pergamon Press|date=1964|ref=harv}}. Authorized translation by Margaret F. Mullins.
*{{citation|author=Antoni Zygmund|title=Trigonometric series|volume= I, II|edition=Third|publisher=[[Cambridge University Press]], Cambridge|date=2002|isbn=0-521-89053-5|ref=harv}} With a foreword by Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematical Library. 
* Yitzhak Katznelson, ''An introduction to harmonic analysis'', Third edition. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. ISBN 0-521-54359-2
* Karl R. Stromberg, "Introduction to classical analysis", Wadsworth International Group, 1981. ISBN 0-534-98012-0
:''The Katznelson book is the one using the most modern terminology and style of the three. The original publishing dates are: Zygmund in 1935, Bari in 1961 and Katznelson in 1968. Zygmund's book was greatly expanded in its second publishing in 1959, however.''

===論文===
* [[Paul du Bois-Reymond]], ''Ueber die Fourierschen Reihen'', Nachr. Kön. Ges. Wiss. Göttingen '''21''' (1873), 571&ndash;582.
:This is the first proof that the Fourier series of a continuous function might diverge. In German
* [[Andrey Nikolaevich Kolmogorov|Andrey Kolmogorov]], ''Une série de Fourier&ndash;Lebesgue divergente presque partout'', Fundamenta math. '''4''' (1923), 324&ndash;328.
* Andrey Kolmogorov, ''Une série de Fourier&ndash;Lebesgue divergente partout'', C. R. Acad. Sci. Paris '''183''' (1926), 1327&ndash;1328
:The first is a construction of an integrable function whose Fourier series diverges almost everywhere. The second is a strengthening to divergence everywhere. In French.
* Lennart Carleson, ''On convergence and growth of partial sums of Fourier series'', Acta Math. '''116''' (1966) 135&ndash;157.
* [[Richard Hunt (mathematician)|Richard A. Hunt]], ''On the convergence of Fourier series'', Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues (Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967), 235&ndash;255. Southern Illinois Univ. Press, Carbondale, Ill.
* Charles Louis Fefferman, ''Pointwise convergence of Fourier series'', Ann. of Math. '''98''' (1973), 551&ndash;571.
* Michael Lacey and Christoph Thiele, ''A proof of boundedness of the Carleson operator'', Math. Res. Lett. '''7:4''' (2000), 361&ndash;370.
* Ole G. Jørsboe and Leif Mejlbro, ''The Carleson&ndash;Hunt theorem on Fourier series''. Lecture Notes in Mathematics 911, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11198-0
:This is the original paper of Carleson, where he proves that the Fourier expansion of any continuous function converges almost everywhere; the paper of Hunt where he generalizes it to <math>L^p</math> spaces; two attempts at simplifying the proof; and a book that gives a self contained exposition of it.
* Dunham Jackson, ''Fourier Series and Orthogonal Polynomials'', 1963
* D. J. Newman,  ''A simple proof of Wiener's 1/f theorem'',  Proc. Amer. Math. Soc.  '''48'''  (1975), 264&ndash;265.
* Jean-Pierre Kahane and Yitzhak Katznelson, ''Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques'', Studia Math. '''26''' (1966), 305&ndash;306
:In this paper the authors show that for any set of zero measure there exists a continuous function on the circle whose Fourier series diverges on that set. In French.
* Sergei Vladimirovich Konyagin, ''On divergence of trigonometric Fourier series everywhere'', C. R. Acad. Sci. Paris '''329''' (1999), 693&ndash;697.
* Jean-Pierre Kahane, ''Some random series of functions'', second edition. Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-45602-9
:The Konyagin paper proves the <math>\sqrt{\log n}</math> divergence result discussed above. A simpler proof that gives only log&nbsp;log&nbsp;''n'' can be found in Kahane's book.

== 関連項目 ==
*[[Lp空間|{{mvar|L&thinsp;<sup>p</sup>}} 空間]]
*[[フーリエ変換]]
*[[フーリエ級数]]
*[[ディリクレ核]]
*[[畳み込み]]
*[[発散級数]]
*[[チェザロ和]]
*[[各点収束]]
*[[絶対収束]]
*[[一様収束]]
*[[概収束]]

{{DEFAULTSORT:ふうりえきゆうすうのしゆうそく}}
[[Category:フーリエ解析]]
[[Category:線型代数学]]
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[[Category:数学に関する記事]]