ブッダブロのソースを表示

[[File:Buddhabrot-W1000000-B100000-L20000-2000.jpg|thumb|白で100万回、青で10万回、紫で2万回反復計算を繰り返して得たブッダブロ集合]]
'''ブッダブロ'''（{{lang-en-short|buddhabrot}}）とは[[マンデルブロ集合]]に関する図形。[[ガウス平面]]から点<math>c</math>をランダムに選び、その<math>c</math>について数列<math>z_{n+1} = {z_n}^2 + c</math>を計算し、<math>|z_{n+1}|>2</math>となった場合に<math>z_1</math>から<math>z_n</math>までの位置に点を描くという作業を、指定した回数だけ反復（iteration）して行ったもの。形が[[ブッダ]]に似ていることから名付けられた。色毎に計算回数を変えてカラー化することもある。

==発見==
[[マンデルブロ集合]]が初めて描かれたのは1978年のことであり<ref>川平友規 [http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/mandel.pdf マンデルブロー集合]</ref>、その名はこの集合の研究に深く取り組んだアメリカの数学者[[ブノワ・マンデルブロ]]にちなんで付けられた<ref>{{Cite book| 和書| author = 西沢清子ら| title = フラクタルと数の世界| year = 1991| publisher = 海文堂出版| isbn = 4-303-72300-2}}</ref>{{rp|p.146}}。

1988年、ライナス・ヴェスタス（Linas Vepstas）がマンデルブロ集合を変形して得られるより芸術性の高い図形を発見し、サイエンスライター{{仮リンク|クリフ・ピックオーバー|en|Cliff Pickover}}に送っており、これがきっかけで、{{仮リンク|ピックオーバー軸|en|Pickover stalks}}と呼ばれる図形が発見された。ピックオーバーの著書''Computers, Pattern, Chaos, and Beauty''<ref>日本語訳:『コンピュータ・カオス・フラクタル―見えない世界のグラフィックス』、ISBN 978-4826900522</ref>に収録されている。

ブッダブロを計算する手法を始めて提案したのはメリンダ・グリーン（Melinda Green）であり<ref name=wn>The University of Western Ontario’s newspaper [http://communications.uwo.ca/western_news/PDF/WNews_Dec04_08.pdf Chaos (theory) rules for software developer(PDF12MB)], p.10</ref>、1993年の[[ネットニュース]]、sci.fractalsに投稿された<ref name=sci>Daniel Green [https://groups.google.com/g/sci.fractals/c/PNOBmN_zpPg/m/TXorwQukkbgJ?hl=en The diety hiding in the m-set]</ref>。グリーンにはインド出身の同僚がおり、そのアドバイスをヒントにこの図形を初め[[ガネーシャ]]と名付けた<ref name=sci/>。ガネーシャは首から上が象の形をしたインドの神である。この図形にブッダブロの名をつけたのは、Robarts Research Instituteの<ref name=wn/>ロリ・ガルディ（Lori Gardi）である<ref>Melinda Green [http://www.superliminal.com/fractals/bbrot/bbrot.htm The Buddhabrot Technique]</ref>。

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ファイル:Bbrot225x225x24.PNG|ブッダブロ
ファイル:Ganesh Sujit Kumar 01.jpg|ガネーシャ
ファイル:Buddha-little.statue.jpg|ブッダ
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==計算方法==
一般の[[マンデルブロ集合]]は、[[複素力学系]]で
:<math>z_{n+1} = {z_n}^2 + c</math>
を計算したときに（初期値<math>z_{0} = 0</math>）、<math>\{{z_n}\}</math>が発散しないような<math>c</math>の集合である。つまり
:<math>M=\{\gamma \vert z_{n+1} = {z_n}^2 + c, z_{0} = 0, \lim_{n \to \infty}\left| z_n \right\vert < \infty\}</math>
を満たす集合である<ref>{{Cite book| 和書| author = 石村貞夫ら| title = フラクタル数学| year = 1990| publisher = 東京図書| isbn = 4-489-00332-3}}</ref>{{rp|p.230}}。

ブッダブロでも、基本の計算にはマンデルブロ数列を用いる。まず[[ガウス平面]]の内の実数部、虚数部それぞれ-2～2の範囲を描画面に見立て、描画点の細かさを決めておく。次に描画面から点<math>c</math>をランダムに選び、<math>z_n</math>を<math>n=1</math>から順に計算し、<math>|z_{n+1}|>2</math>になった時点で（発散が明らかになった時点で）、描画面の<math>z_1</math>から<math>z_n</math>の位置に点を描く。すでに点が描いてあった場合には、より明るくする。（ただし<math>n</math>の上限<math>N</math>を決めておき、それ以上になったら収束したと見なして点は描かない。）次にまた新たな<math>c</math>をランダムに決め、先の計算を反復する<ref name=sci/>。

反復回数の大きさは、画像の形に大きく影響する。反復回数が大きくなると、反復回数が小さかったときには暗かった部分にも描画が行われるようになる。

<!-- NOTE: PNGファイルのため、通常のgallery機能では背景が白くて見えない。-->
{|
|<br/><table style="background:#F9F9F9; border:1px solid #CCCCCC;"><tr><td style="background:#000000;">[[File:Buddhabrot-20I-2000.png|200px]]</td></tr><tr><td>最大反復回数20</td></tr></table>
|<br/><table style="background:#F9F9F9; border:1px solid #CCCCCC;"><tr><td style="background:#000000;">[[File:Buddhabrot-100I-2000.png|200px]]</td></tr><tr><td>最大反復回数100</td></tr></table>
|}
{|
|<br/><table style="background:#F9F9F9; border:1px solid #CCCCCC;"><tr><td style="background:#000000;">[[File:Buddhabrot-1000I-8000.jpg|120px|center]]</td></tr><tr><td>最大反復回数1,000</td></tr></table>
|<br/><table style="background:#F9F9F9; border:1px solid #CCCCCC;"><tr><td style="background:#000000;">[[File:Buddhabrot-20000I-8000.jpg|120px|center]]</td></tr><tr><td>最大反復回数2万</td></tr></table>
|<br/><table style="background:#F9F9F9; border:1px solid #CCCCCC;"><tr><td style="background:#000000;">[[File:Buddhabrot-1000000I-G2-2000.png|120px|center]]</td></tr><tr><td>最大反復回数百万</td></tr></table>
|}

反復回数を3[[原色]]毎にそれぞれ変えて、画像に色をつけることもできる。これは天文学者が[[星雲]]（ネブラ）の画像を擬似カラー化する手法に似ている。そのため、このカラー化画像は'''ネブラブロ'''（Nebulabrot）と呼ばれることもある（ブッダブロに含めることもある）。さらにはガウス平面に直行する軸を用意し、ブッダブロ集合をマンデルブロ集合と重ね合わせて立体的にプロットさせた'''アンチ・ブッダブロ'''（Anti-Buddhabrot）と呼ばれる画像もある。

<gallery>
ファイル:nebulabrot.jpg|ネブラブロ
ファイル:anti-buddabrot.jpg|アンチブッダブロ
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[[マンデルブロ集合]]<math>z^2 + c</math>と[[ロジスティック写像]]<math>\lambda x(1-x)</math>の関係は良く知られている。<math>z</math>と<math>c</math>をそれぞれ実数部と虚数部に分けた場合、

:<math>c_r = \lambda(2-\lambda)/4</math>
:<math>c_i =0</math>
:<math>z_r =-\lambda(2x-1)/2</math>
:<math>z_i = 0</math>

という関係がある。この関係を図示するのには、昔から<math>c_r</math>と<math>\lambda</math>を同じx軸上に置き、y軸の大きさを適当に調整して並べ、同じxでの形状を比較するのが常であった。

ブッダブロを発見したメリンダ・グリーンは、アンチ・ブッダブロ集合がロジスティック写像と立体的な関係を持つことに気付いた。元々、どちらの図形もある出発点から反復計算を行って得られるものである。アンチ・ブッダブロの <math>z^2 + c</math> から <math>c=(random,0)</math> と <math>z_0=(0,0)</math> のデータを抽出し、 <math>\{c_r,z_r\}</math> 平面に描けばロジスティック写像が得られる。

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ファイル:Buddhabrot_logistic_map.jpg|同一平面での重ね合わせ
ファイル:Buddhabrot_logistic_map_animation_tn.gif|直交平面での重ね合わせ
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==脚注==
{{Reflist}}

==外部リンク==
{{Commons|Buddhabrot}}
* [http://www.superliminal.com/fractals/bbrot/bbrot.htm ''Buddhabrot''] メリンダ・グリーンのページ
* [http://www.linas.org/art-gallery/mandel/mandel.html ''Buddhabrot''] ライナス・ヴェスタスのページ

{{Fractals}}
{{デフォルトソート:ふつたふろ}}
[[Category:フラクタル]]
[[Category:数学に関する記事]]