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[[数学]]における'''ブリュア分解'''（ぶりゅあぶんかい、{{lang-en-short|''Bruhat decomposition''}}）''G'' = ''BWB'' は、（行列を上半および下半三角行列の積として表す方法としての）[[ガウスの消去法|ガウス＝ジョルダン消去法]]の一般化とみることのできる、群 ''G'' の胞体分割である。ブリュア分解は[[旗多様体]]の[[シューベルト胞体]]分解に関係がある（[[ワイル群]]も参照）。名称は[[フランソワ・ブリュア]]に因む。

より一般に、[[BN対]]を持つ任意の群がブリュア分解を持つ。

== 定義 ==
* 群 ''G'' が[[代数閉体]]上の[[連結空間|連結]][[簡約群|簡約]][[代数群]]であり、
* ''B'' は ''G'' の[[ボレル部分群]]で、
* ''W'' を ''B'' の極大分裂トーラスに対応する ''G'' のワイル群とする。

群 ''G'' の'''ブリュア分解'''とは、ワイル群 ''W'' の元で径数付けられる、''B'' の[[両側剰余類]]の直和としての
: <math>G=BWB =\coprod_{w\in W}BwB</math>
なる ''G'' の分解である（ここで、''W'' は必ずしも ''G'' の部分群となるわけではないが、それでも剰余類 ''wB'' 自体は意味を持つという点に注意）。

== 例 ==
群 ''G'' を代数閉体に成分を持つ ''n''-次正則行列全体の成す[[一般線型群]] ''GL''<sub>''n''</sub> とする（これは簡約代数群である）と、ワイル群 ''W'' は（[[置換行列]]を代表元として）''n'' 文字の[[対称群]] ''S''<sub>''n''</sub> に同型である。この場合、ボレル部分群 ''B'' として正則上半三角行列全体のなす群をとることができて、ブリュア分解は任意の正則行列 ''A'' が
: ''U''<sub>1</sub>''PU''<sub>2</sub> (''U''<sub>1</sub>, ''U''<sub>2</sub> &isin; ''B''（上半三角）かつ ''P'' は置換行列)
という積の形に分解されるという意味になる。これを逆に ''P'' = ''U''{{su|b=1|p=&minus;1}}''AU''{{su|b=2|p=&minus;1}} の形に書けば、これは任意の正則行列が行または列の基本変形（ただし、''i'' &gt; ''j'' のとき ''i''-番目の行を別の ''j''-番目の行に加える、''i'' &lt; ''j'' のとき ''i'' 番目の列を ''j''-番目の列に加えるという操作のみ）によって置換行列に移るという意味になる。行基本変形の繰り返しが ''U''{{su|b=1|p=&minus;1}} に対応し、列基本変形の繰り返しが''U''{{su|b=2|p=&minus;1}} に対応する。

[[行列式]]が 1 の ''n''-次正則行列全体の成す[[特殊線型群]] ''SL''<sub>''n''</sub> は[[半単純代数群]]ゆえ簡約である。この場合、''W'' はやはり対称群 ''S''<sub>''n''</sub> に同型であるが、置換行列の行列式は対応する置換の符号に一致するから、奇置換に対応する ''SL''<sub>''n''</sub> の元は、対応する置換行列の非零成分の一つを 1 から &minus;1 に取り替える必要がある。この場合のボレル部分群 ''B'' は行列式が 1 の上半三角行列全体の成す群であり、ブリュア分解の意味を ''GL''<sub>''n''</sub> の場合と同様に解釈することができる。

== ブリュア分解の幾何 ==
ブリュア分解における胞体 ''BwB'' は（その閉包が）、[[旗多様体]]の分解の[[シューベルト胞体]]に対応する。この胞体の次元は[[ワイル群]]の語の[[長さ函数|長さ]]に対応する。この胞体分解の位相は[[ポアンカレ双対|ポワンカレ双対]]とワイル群の群環によって制限を受ける。例えば、最高次元の胞体は、一意的であり（[[基本類]]を表す）、[[コクセター群の最長元]]に対応する。

== ブリュア分解の計算 ==
与えられた次元のブリュア分解の胞体の総数は、対応する[[ディンキン図形]]の ''q''-多項式の係数に一致する<ref>[https://math.ucr.edu/home/baez/week186.html This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 186]</ref>。

== 関連項目 ==
* [[リー群の分解]]: 行列群の分解
* {{仮リンク|バーコフ分解|en|Birkhoff factorization}}: アフィン群に対するブリュア分解の特別な場合

== 注記 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* [[アルマン・ボレル|Borel, Armand]]. Linear Algebraic Groups (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2.
* [[ニコラ・ブルバキ|Bourbaki, Nicolas]], ''Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6 (Elements of Mathematics)'', ISBN 3-540-42650-7

== 外部リンク ==
* {{citation|url=http://rtweb.math.kyoto-u.ac.jp/preprint/waka.pdf|author=西山亨|title=和歌山大学集中講義のためのノート|year=1996-2000|media=pdf}}（有限群の表現論の入門的内容のレジュメ）
* {{citation|url=http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kaji/papers/Schubert-Topology-Symposium-2009.pdf|media=pdf|title=リー群のトポロジーから見るシューベルトカリキュラス|author=鍛冶静雄|year=2009}}

{{DEFAULTSORT:ふりゆあふんかい}}
[[Category:リー群論]]
[[Category:代数群]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]