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'''ブルンの定理'''（ブルンのていり）は、[[ヴィーゴ・ブルン]]によって[[1919年]]に発見された、解析的[[整数論]]の定理である。
==解説==
''P''(''x'') を ''p'' + 2 が[[素数]]であるような素数 ''p'' &le; ''x'' の個数を表す[[関数 (数学)|関数]]としよう。

このとき ''x'' ≧ 3 において、以下の[[不等式]]が成り立つような定数 ''c'' が存在する。
:<math>P(x)<c\frac{x}{(\log x)^2} (\log\log x)^2</math>
[[ヴィーゴ・ブルン]]はここから[[双子素数]]の[[逆数]]の和が収束することを導いた。証明には[[エラトステネスの篩]]を基にした篩の方法が使われ、その中で[[メビウス関数]]などが、用いられている。また補題として[[算術の基本定理]]が使われている。これは篩の方法が最初に本格的な結果を得るために使われた事例であると同時に双子素数に関する最初の理論的な成果であり、双子素数に関する研究の出発点となった。

ブルンは後にこの方法を改良し、二重対数の項を除くことに成功した。ブルンはより一般に、''P''(''x'', ''z'') を ''n'' と ''n'' + 2 が共に ''z'' より小さな素因数を持たない自然数 ''n'' &le; ''x'' の個数とするとき、
:<math>P(x,z)<c\frac{x}{(\log z)^2}</math>
となる定数 ''c'' が存在すること、および ''z'' < ''x''{{sup|1/10}} ならば
:<math> P(x,z)>c \frac {x}{(\log z)^2}</math>
となる定数 ''c'' が存在する、よって ''n'' と ''n'' + 2 が共に高々9個の素因数しか持たない ''n'' が無限に多く存在することを示した。

同様な結果は[[セルバーグの篩い法]]を用いても得られる。

== 参考 ==
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{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[[エドムント・ランダウ ]] E. Landau "Elementary Number Theory"
*Motohashi, Yoichi "Sieve Methods and Prime Number Theory"  Tata LN 72 (1983), Springer-Verlag. http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr72.pdf
*本橋洋一 "解析的整数論 I -- 素数分布論 --" 朝倉書店 (2009)  ISBN 978-4-254-11821-6
*[http://www.dpmms.cam.ac.uk/~bjg23/primenumbers/PN12.pdf]
==関連項目==
*[[ブルンの篩]]
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[[Category:解析的整数論の定理]]
[[Category:解析的整数論]]
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