ブロカール点のソースを表示

[[ファイル:Brocard point.svg|thumb|250px|三角形のブロカール点]]
'''ブロカール点'''（ブロカールてん、''Brocard point''）は、[[幾何学]]用語のひとつ。第一と第二の2つがあり、それぞれ任意の[[三角形]]においてひとつずつ存在する。
 
[[1875年]]に論文を発表した[[フランス]]の軍人[[アンリ・ブロカール]] (Henri Brocard、1845 - 1922) から命名された。

;第一ブロカール点(1st Brocard point)
:△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA=ωを満たす点のこと。 
;第二ブロカール点(2nd Brocard point)
:△ABCの内部の点Ω'において、∠Ω'AC=∠Ω'CB=∠Ω'BA=ωを満たす点のこと。
:それぞれの[[三線座標]]は以下のように与えられる<ref>{{Cite web |title=Brocard Points |url=https://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-21 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。
:<math>\frac{c}{b}:\frac{a}{c}:\frac{b}{a},\  \frac{b}{c}:\frac{c}{a}:\frac{a}{b}</math>
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== ブロカール角 ==
定義中に登場した角度ωをブロカール角と呼ぶ。三角形の3つの角の大きさをαβγ、3辺の長さを abc、面積を S とすると以下の式が成り立つ。
* <math>\cot \omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma</math>
* <math>\tan \omega = \frac {4S}{a^2+b^2+c^2}</math>
* <math>\sin \omega = \frac{2S}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}</math>
* <math>\omega \leq 30^\circ</math>

== その他の性質 ==
* 2つのブロカール点と[[外心]]との距離は等しい。
* 2つのブロカール点は外心と[[類似重心|ルモワーヌ点]]を直径の両端とする円の上にある。この円を[[ブロカール円]]という。

== 関連する点 ==
2つのブロカール点の[[中点]]をブロカール中点という。この点は[[外心]]と[[類似重心]]を結ぶ直線（ブロカール軸）上にある。ブロカール中点X(39)の三線座標は以下のように与えられる<ref name=":0">{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-21}}</ref>。

<math>a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2})</math>

ΩB と Ω'C の交点を A'、ΩC と Ω'A の交点を B'、ΩA と Ω'B の交点を C' としたとき、AA',BB',CC' は1点で交わる。この点を第三ブロカール点という。この点は類似重心の等長共役点であり、[[キーペルト双曲線]]上にある。第三ブロカール点X(76)の三線座標は以下のように与えられる<ref name=":0" />。

<math>\frac{1}{a^{3}}:\frac{1}{b^{3}}:\frac{1}{ c^{3}}</math>

== 四角形におけるブロカール点 ==
[[ロバート・タッカー (数学者)|ロバート・タッカー]]が1886年の [[Educational Times]] 誌において<ref>{{Cite journal|journal=Educational Times|year=1886|title=Some properties of a quadrilateral in a circle, the rectangles under whose sides are equal.|pages=125-135|last=Tucker|first=Robert|url=https://www.google.co.jp/books/edition/Mathematical_Questions_and_Solutions/jINHAQAAMAAJ}}</ref>、F. G. W. Brown が[[1917年]]の [[The Mathematical Gazette]] において、四角形のブロカール点について記述している<ref>{{Cite journal|author=F. G. W. Brown|date=1917-05|title=508. [K1. 8. a.] Brocard Points for a Quadrilateral.|journal=The Mathematical Gazette|volume=9|issue=129|pages=83-85|doi=10.2307/3603502}}</ref>。

四角形が ABCD が円に内接し、AB×CD=BC×DA のとき（[[調和四角形]]であるとき）、∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω となる点Pが存在する。同様に∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω となる点Qが存在する。

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
*[[三角形の中心]]
*[[ブロカール円]]
*[[類似中線]]

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname=BrocardPoints|title=Brocard Points}}
*{{MathWorld|urlname=ThirdBrocardPoint|title=Third Brocard Point}}
*{{MathWorld|urlname=BrocardMidpoint|title=Brocard Midpoint}}

{{DEFAULTSORT:ふろかあるてん}}
{{Elementary-geometry-stub}}

[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:点 (数学)]]