ブーケ (数学)のソースを表示

[[Image:Topological Rose.png|thumb|right|四弁のブーケ]]
[[数学]]における（円の）'''ブーケ'''（{{lang|en|''bouquet''}}; 花束）は[[円 (数学)|円]]の集まり（無限個でもよい）を[[一点和|一点]]で[[商位相空間|貼り合わせ]]て得られる[[位相空間]]である。円のブーケのことを'''バラ''' {{lang|en|(''rose'')}} ともいう。ブーケは[[自由群]]に近しい関係をもち、[[代数的位相幾何学]]において重要である。

円を束ねたブーケ {{lang|en|(bouquet of circles)}} の一般化として、円 ''S''<sup>1</sup> の代わりに任意次元の球面 ''S''<sup>''n''</sup> を束ねて得られるブーケを'''球面のブーケ''' {{lang|en|(''bouquet of spheres'')}} という。

== 定義 ==
[[Image:Wedge of Two Circles.png|right|thumb|「8の字」の[[基本群]]は ''a'' と ''b'' で生成される[[自由群]]である。]]
'''円のブーケ'''は複数の[[円周]]の[[一点和]]（ウェッジ和）として得られる。つまり、円周 ''S''<sup>1</sup> の ''p''-個の複写 ''S''<sup>1</sup><sub>1</sub>, ''S''<sup>1</sup><sub>2</sub>, ..., ''S''<sup>1</sup><sub>''p''</sub> とそれらのおのおのから選んだ一点 ''x''<sub>''i''</sub> &isin; ''S''<sup>1</sup><sub>''i''</sub> からなる[[基点付き位相空間|基点付き円周]]の集合 {(''S''<sup>1</sup><sub>''i''</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>) | ''i'' = 1, 2, ..., ''p''} が与えられたとき、これら ''p''-個の円周の非交和（集合論的直和）を各基点 ''x''<sub>''i''</sub> を全て一点に同一視して得られる[[商位相空間]]
: <math>\underbrace{S^1\vee S^1 \vee \cdots \vee S^1}_{p} := (S^1_1 \sqcup S^1_2 \sqcup \cdots \sqcup S^1_p)/\{x_1\sim x_2 \sim \cdots \sim x_p\}</math>
を ''p''-'''弁''' {{lang|en|(''petal'')}}のブーケと呼ぶ（この右辺の同相類が基点の選び方に依らないことに注意）。[[胞体複体]]としてブーケはただ一つの頂点と各円に対応する辺をもつ。これは[[位相グラフ]]の簡単な例を与える。

''n''-弁のブーケは一つの円周上の ''n''-点を同一視することでも得られる。二弁のブーケは「'''8の字'''」{{lang|en|(''figure eight'')}} としても知られる。

== 自由群との関係 ==
[[Image:Cayley graph of F2.svg|right|thumb|「8の字」の[[普遍被覆]]を ''a'' と ''b'' で生成される[[自由群]]のケイリーグラフによって視覚化したもの。]]

''n''-弁のブーケの[[基本群]]は各弁に対応する ''n''-個の生成元をもつ[[自由群]]であり、ブーケの普遍被覆はこの自由群の[[ケイリーグラフ]]と同一視することのできる無限木である（これは任意の[[群の表示]]に対応する{{仮リンク|表示複体|en|presentation complex}}の特別の場合である）。

ブーケの中間[[被覆空間|被覆]]は、対応する自由群の[[部分群]]に対応する。ブーケの任意の被覆が[[位相グラフ|グラフ]]であることに着目すれば「自由群の任意の部分群は自由である」という'''ニールセン-シュライヤーの定理'''の簡単な証明が得られる。

ブーケの普遍被覆は[[可縮空間|可縮]]であるから、ブーケは実質的に対応する自由群 ''F'' に対する{{仮リンク|アイレンベルク-マクレーン空間|en|Eilenberg–MacLane space}}である。これは、''n'' &ge; 2 に対する[[群コホモロジー|コホモロジー]]群 ''H''<sup>''n''</sup>(''F'') が自明であることを意味している。

== 性質 ==
[[Image:Torus cycles.png|thumb|right|[[トーラス]]に載った「8の字」]]
* 任意の[[連結空間|連結]][[位相グラフ|グラフ]]はブーケに[[ホモトピー同値]]である。特に、[[極大木]]を折り畳んで得られるグラフの商位相空間としてブーケが得られる。
* [[円板]] ''D''<sup>2</sup> から ''n''-点を取り除いたもの（あるいは[[球面]] ''S''<sup>2</sup> から (''n'' + 1)-点を取り除いたもの）の[[変位レトラクト]]は ''n''-弁のブーケである。このブーケの各弁は取り除いた点のそれぞれを取り囲むものである。
* [[トーラス]] ''T''<sup>2</sup> から一点を除いたものの変位レトラクトは「8の字」（ふたつの生成円の一点和）である。もっと一般に、[[種数]] ''g'' の曲面から一点を除いたものの変位レトラクトは（[[基本多角形]]の境界としての） 2''g'' 枚の弁をもつブーケとなる。
* 無限個の円を束ねたブーケから無限個の生成元を持つ自由群が得られる。無限弁のブーケは[[ハワイの耳飾]]に似ているが[[同相]]ではない。

== 球面のブーケ ==
''n''-次元球面 ''S''<sup>''n''</sup> の ''k''-個の複写の[[一点和]]
: <math>\bigvee_{i=1}^k S^n = \overbrace{S^n \vee S^n \vee \cdots \vee S^n}^{k}</math>
を ''k''-弁の'''球面ブーケ'''という。

[[ホモトピー]]におけるよくある構成は ''n''-次元球面 ''S''<sup>''n''</sup> の赤道に属する点をすべて同一視することである。こうして得られるものは、二つの球面の複写を（もともとの赤道であった）一点でつないで得られる

:<math>S^n/{\sim} = S^n \vee S^n </math>

である。写像 &Psi; を赤道を一点に同一視する写像 &Psi;: ''S''<sup>''n''</sup> &rarr; ''S''<sup>''n''</sup> &or; ''S''<sup>''n''</sup> とすれば、基点 ''x''<sub>0</sub> &isin; ''X'' 付き位相空間 (''X'', ''x''<sub>0</sub>) の ''n''-次元[[ホモトピー群]] &pi;<sub>''n''</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>) の二つの元 ''f'', ''g'' の和を、''f'' および ''g'' の &Psi; との合成

:<math>f+g = (f \vee g) \circ \Psi</math>

として理解することができる。ここで、''f'' および ''g'' は ''f'', ''g'': ''S''<sup>''n''</sup> &rarr; ''X'' なる写像で、基点 ''s''<sub>0</sub> &isin; ''S''<sup>''n''</sup> を基点 ''x''<sub>0</sub> &isin; ''X'' に写すようなものとして考えるものとする。上で与えた二つの写像のウェッジ和は、台空間となるウェッジ和の中で同一視される基点において ''f''(''s''<sub>0</sub>) = ''g''(''s''<sub>0</sub>) = ''x''<sub>0</sub> となることから[[well-defined|定義可能]]であるということに注意。

== 関連項目 ==
* [[自由群]]
* [[位相グラフ]]
* {{仮リンク|ハワイの耳飾|en|Hawaiian earring}}

== 参考文献 ==
* {{citation | last=Hatcher| first= Allen | author-link= Allen Hatcher | title=[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATchapters.html Algebraic topology] | publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=2002 |pages= |isbn=0-521-79540-0 |oclc= |doi=}}
* {{citation |last=Munkres |first= James R. | author-link= James Munkres |title=Topology |publisher=Prentice Hall, Inc |location=Englewood Cliffs, N.J |year=2000 |pages= |isbn=0-13-181629-2 |oclc= |doi=}}
* {{citation | last=Stillwell | first= John | author-link=  |title=Classical topology and combinatorial group theory |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1993 |pages= |isbn=0-387-97970-0 |oclc= |doi=}}

{{DEFAULTSORT:ふうけ}}
[[Category:位相空間]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
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