ブールの不等式のソースを表示

{{more footnotes|date=February 2012}}
{{Probability fundamentals}}
[[確率論]]において、'''ブールの不等式'''（ブールのふとうしき、{{lang-en-short|Boole's inequality}}）または'''ユニオンバウンド'''（union bound）は、[[事象 (確率論)|事象]]の[[有限集合|有限]]あるいは[[可算集合]]について、少くとも1つの事象が起こる確率は個別の事象の確率の和よりも大きくない、ことを示す。

ブールの不等式の名称は[[ジョージ・ブール]]にちなむ<ref>{{Cite book|last=Boole|first=George|url=https://books.google.com/books?id=zv4YAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=George+Boole&hl=en|title=The Mathematical Analysis of Logic|date=1847|publisher=Philosophical Library|language=en}}</ref>。

形式的に、事象''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ...の可算集合について、
:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} A_i\right) \le \sum_i {\mathbb P}(A_i)</math>
が成り立つ。

[[測度論]]の用語では、ブールの不等式は測度（および任意の[[確率測度]]）が''σ''-[[劣加法性|劣加法的]]である事実から得られる。

==証明==
=== 有限和の場合 ===
有限個の事象に関するブールの不等式は、[[数学的帰納法|帰納法]]を使って証明することができる。

<math>n=1</math>の場合について当然
:<math>\mathbb P(A_1) \le \mathbb P(A_1)</math>
ということになる。

<math>n</math>の場合に
:<math>{\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} {\mathbb P}(A_i)</math>
であると仮定する。

<math>\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)</math>であり、和集合演算は[[結合法則|結合則]]を満たすため、
:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}) -\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\right)</math>
を得る。

そして、[[確率の公理#第一の公理|確率の第一公理]]によって、
:<math>{\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\right) \ge 0</math>
であるため、
:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \right) \le \mathbb{P} \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1})</math>
を得て、したがって
:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i) + \mathbb{P}(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_i)</math>
を得る。

=== 一般の場合 ===
[[確率空間]]における<math>A_1, A_2, A_3, \dots </math>中のいかなる事象に対しても、
:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} A_i\right) \leq \sum_i \mathbb P(A_i)</math>
となる、ことを示す。

確率空間の公理の1つは、<math>B_1, B_2, B_3, \dots</math>が確率空間の「交わりを持たない」部分集合であるならば
:<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} B_i\right) = \sum_i \mathbb P(B_i)</math>
となるというものである。これは「可算加法性」と呼ばれる。

一方、<math>B \subset A</math>ならば、<math>\mathbb P (B) \leq \mathbb P(A)</math> であるから、確率分布の公理より、
:<math>\mathbb P (A) = \mathbb P(B) + \mathbb P(A-B)</math>
である。（ここで留意すべきは、右辺のどちらの項も非負である、という点である。）

さて、集合<math>A_i</math>を、交わりを持たないよう変形する。
:<math>B_i = A_i - \bigcup^{i-1}_{j=1} A_j.</math>
とすると、<math>\{B_i\}</math> は[[素集合|互いに素]]であり、また<math>B_i \subset A_i</math>であり、かつ
:<math>\bigcup^{\infty}_{i=1} B_i = \bigcup^{\infty}_{i=1} A_i</math>
となる。

したがって、以下の式を演繹することができる。
:<math>\mathbb P\left(\bigcup_iA_i\right) = \mathbb P\left(\bigcup_iB_i\right) = \sum_i \mathbb P (B_i) \leq \sum_i \mathbb P(A_i).</math>

==ボンフェローニの不等式==
ブールの不等式は事象の有限和の確率の[[順序集合#上界|上界]]と[[順序集合#下界|下界]]を見つけるために一般化することができる<ref>{{cite book |first=George |last=Casella |first2=Roger L. |last2=Berger |title=Statistical Inference |publisher=Duxbury |year=2002 |isbn=0-534-24312-6 |pages=11–13 |url=https://books.google.com/books?id=0x_vAAAAMAAJ&pg=PA11 }}</ref>。これらの境界は[[カルロ・エミリオ・ボンフェローニ]]にちなみ'''ボンフェローニの不等式'''と呼ばれる（{{harvtxt|Bonferroni|1936}}）。

以下を定義する。
:<math>S_1 := \sum_{i=1}^n {\mathbb P}(A_i)</math>
:<math>S_2 := \sum_{1\le i<j\le n} {\mathbb P}(A_i \cap A_j )</math>
{3, ..., ''n''} 中の全ての整数''k'' について
:<math>S_k := \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} {\mathbb P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} )</math>

すると、 {1, ..., ''n''} 中の奇数''k'' について
:<math>{\mathbb P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \le \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} S_j</math>
{2, ..., ''n''} 中の偶数''k''について
:<math>{\mathbb P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \ge \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} S_j</math>
となる。

ブールの不等式は''k'' = 1の場合である。''k'' = ''n'' の時は等号が成立し、得られる恒等式は[[包除原理]]である。

==出典==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Citation | last = Bonferroni | first = Carlo E.
  | author-link = カルロ・エミリオ・ボンフェローニ
  | title = Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità
  | journal = Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze
  | volume = 8
  | pages = 1–62
  | year = 1936
  | language = it
  | zbl = 0016.41103}}
* {{Citation
  | last = Dohmen
  | first = Klaus
  | title = Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type
  | place = Berlin
  | publisher = [[Springer-Verlag]]
  | series = Lecture Notes in Mathematics
  | year = 2003
  | volume = 1826
  | pages = viii+113
  | isbn = 3-540-20025-8
  | mr = 2019293
  | zbl = 1026.05009}}
* {{Citation
  | last = Galambos
  | first = János
  | author-link = ガランボシュ・ヤーノシュ
  | last2 = Simonelli
  | first2 = Italo
  | title = Bonferroni-Type Inequalities with Applications
  | place = New York
  | publisher = [[Springer-Verlag]]
  | series = Probability and Its Applications
  | year = 1996
  | pages = x+269
  | isbn = 0-387-94776-0
  | mr = 1402242
  | zbl = 0869.60014}}
* {{Citation
  | last = Galambos
  | first = János
  | author-link = ガランボシュ・ヤーノシュ
  | title = Bonferroni inequalities
  | journal = Annals of Probability
  | volume = 5
  | issue = 4
  | pages = 577–581
  | year = 1977
  | url = http://projecteuclid.org/euclid.aop/1176995765
  | doi = 10.1214/aop/1176995765
  | jstor = 2243081
  | mr = 0448478
  | zbl = 0369.60018| doi-access = free
  }}
* {{SpringerEOM| title = Bonferroni inequalities | id= Bonferroni_inequalities | oldid = 18515 | last = Galambos | first = János | author-link= ガランボシュ・ヤーノシュ}}

==関連項目==
* {{仮リンク|シュエット–ネスビットの式|en|Schuette–Nesbitt formula}}
* {{仮リンク|フレシェ不等式|en|Fréchet inequalities}}
* {{仮リンク|対ごとに独立|en|Pairwise independence}}
* [[ホルム＝ボンフェローニ法]]

{{PlanetMath attribution|id=6049|title=Bonferroni inequalities}}

{{DEFAULTSORT:ふうるのふとうしき}}
[[Category:確率論の定理]]
[[Category:不等式]]
[[Category:ジョージ・ブール]]
[[Category:数学に関する記事]]