ブール代数のソースを表示

{{参照方法|date=2015年12月13日 (日) 09:21 (UTC)}}
[[File:Hasse diagram of powerset of 3.svg|right|250px]]
'''ブール代数'''（ブールだいすう、{{lang-en-short|boolean algebra}}）または'''ブール束'''（ブールそく、{{lang-en-short|boolean lattice}}）とは、[[ジョージ・ブール]]が19世紀中頃に考案した[[普遍代数|代数系]]の一つである。ブール代数の研究は[[束 (束論)|束]]の理論が築かれるひとつの契機ともなった。[[ブール論理]]の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路（[[論理回路#組み合わせ回路|論理回路]]）はブール代数の式で表現できる。

== 定義 ==
'''ブール代数'''（'''ブール束'''）とは[[束 (束論)|束論]]における[[可補束|可補]]分配束（complemented distributive lattice）のことである。

[[集合]] ''L'' と ''L'' 上の[[二項演算]] &or;（結び（join）と呼ぶ），&and;（交わり（meet）と呼ぶ）の組 &lang; L; &or;, &and; &rang; が以下を満たすとき'''分配束'''（distributive lattice）と呼ぶ。

* [[交換法則|交換則]]：''x'' &and; ''y'' = ''y'' &and; ''x'' 、''x'' &or; ''y'' = ''y'' &or; ''x'' 
* [[結合法則|結合則]]：(''x'' &and; ''y'')&and; ''z'' = ''x'' &and;(''y'' &and; ''z'') 、(''x'' &or; ''y'')&or; ''z'' = ''x'' &or;(''y'' &or; ''z'') 
* [[吸収法則|吸収則]]<ref name="冪等則の扱い" group="注釈" />：(''x'' &and; ''y'')&or; ''x'' =''x'' 、(''x'' &or; ''y'')&and; ''x'' = ''x'' 
* [[分配法則|分配則]]：(''x'' &or; ''y'')&and; ''z'' = (''x'' &and; ''z'')&or;(''y'' &and; ''z'') 、(''x'' &and; ''y'')&or; ''z'' = (''x'' &or; ''z'')&and;(''y'' &or; ''z'') 
さらに ''L'' の特別な元 0, 1 と単項演算 &not; について、以下が成り立つとき組 &lang; L; &or;, &and;, &not;, 0, 1 &rang; を'''可補分配束'''（'''ブール束'''）と呼ぶ。
* 補元則： ''x'' &or; &not;''x'' = 1， ''x'' &and; &not; ''x'' = 0。

典型的な例は、[[台集合]]として特別な２つの元 0, 1 のみの２点集合 {0, 1} からなるものであり、コンピュータの動作原理の理論としても知られている。
この代数の上では[[排他的論理和]] (xor) や[[否定論理積]](nand)など応用上重要な演算子が &and;、 &or;、 &not; の組み合わせで記述される(&and; または &or; も &not; と残りの1つの組み合わせで記述される。)。

== ブール環 ==
任意の元 ''x'' に対して 積の[[冪等]]則''x''<sup>2</sup> = ''x'' を満たす[[単位的環]] ''B'' を'''ブール環'''（boolean ring）という。
このとき単位的環の公理から
:{{math|&minus;''x''{{=}}(&minus;1)''x''{{=}}''x''(&minus;1)}}
さらに
:{{math|(&minus;''x'')(&minus;''y''){{=}}''xy''}}
が導かれ、それらと冪等則により
:<math> x + x = 0, \qquad xy = yx </math>
を得る<ref name="2x=0と可換律の導き方" group="注釈" />。つまり(乗法が)冪等的かつ単位的な環は加法に関して全ての元の位数が高々2であるような[[可換環]]となる。したがって
:<math> x \wedge y = xy, \qquad x \vee y = x + y + xy, \qquad \neg x = 1 + x </math>
とおけば ''B'' はブール代数となる。
また ''B'' がブール代数のとき
:<math> xy= x \wedge y , \qquad x+y = (x \wedge \neg y) \vee (\neg x \wedge y)</math>
と<ref name="ブール論理との対応" group="注釈" />おけば ''B'' はブール環となる。
この対応はブール代数とブール環の間の自然な一対一対応を定めるので、しばしばこの2つは同一視される。
{{sfn|Davey|Priestley|2002|loc=Exercise 4.27|p={{google books quote|id=vVVTxeuiyvQC|page=109|109}}}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
<references group="注釈">
<ref name="冪等則の扱い" group="注釈"> ''x'' &and;
 ''x'' {{=}} ''x''、''x'' &or; ''x'' {{=}} ''x'' と書かれる冪等則を要求する場合もあるが、これは吸収則により導かれる定理である。それでも明示するのは、{{math| &and; 、&or; }}のそれぞれのみに注目した[[半束]]においてはこれが特徴的な公理だからである。
</ref>

<ref name="2x=0と可換律の導き方" group="注釈">具体的には[[加法群]]の性質も用いて
:{{math| ''x'' {{=}} ''x''{{sup|2}} {{=}} (&minus; x) {{sup|2}} {{=}} &minus; ''x''}}から
:{{math| ''x'' + ''x'' {{=}}''0''}}を得、これにより
:{{math| ''0'' {{=}} (''x'' &minus; ''y'') &minus; (''x'' &minus; ''y'') {{sup|2}} {{=}} ''xy'' + ''yx'' }}から
:{{math| ''xy'' {{=}} &minus; ''yx''}}を導くことで
:{{math| ''xy'' &minus; ''yx'' {{=}} ''xy'' + ''xy'' {{=}} ''0''}}であると判り
:{{math| ''xy'' {{=}} ''yx''}}を得る。
</ref>


<ref name="ブール論理との対応" group="注釈">
2元からなるブール束から2元からなるブール環を構成するなら、この定義は積を[[論理積]]の真理値、和を[[排他的論理和]]の真理値と定める事と同値。また、位数2の非[[零環]]は(一意でありかつ)明らかに、上記の対応により[[ブール論理]]の[[真理値]]と同値となるようなブール環でもある(対応するのはあくまでも真理値であることに注意)。
</ref>
</references>
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書| author=[[レイモンド・スマリヤン]] | others=川辺治之 訳 | title=スマリヤン先生のブール代数入門　嘘つきパズル・パラドックス・論理の花咲く庭園 | date=2008-08 | isbn=978-4-320-01869-3 | publisher=共立出版 | ref={{Harvid|スマリヤン|2008}} }}
* {{cite book|和書| author1=ガーレット・バーコフ | author2= [[ソーンダース・マックレーン|ソンダース・マクレーン]] | others=奥川光太郎・辻吉雄 共訳 | title=現代代数学概論 | edition=改訂第3版 | year=1967 | publisher=白水社 | ref={{Harvid|バーコフ|マクレーン|1967}} }}
* {{Cite book | 和書 | author=前田 周一郎 | title=束論と量子論理 | year=2015-08 | publisher=森北出版 | edition=POD版 | isbn=978-4-627-05399-1 | ref={{Harvid|前田|2015}} }} - 1980年に槙書店から出版され、2015年に森北出版から復刊された。
* {{citation | title=Lattice Theory | first=Garrett | last=Birkhoff | year=1979 | edition=3rd Revised | publisher=American Mathematical Society | isbn=978-0-8218-1025-5 }}
* {{citation
|last1      = Davey
|first1     = B. A. 
|last2      = Priestley
|first2     = H. A. 
|year       = 2002
|title      = Introduction to lattices and order
|edition    = 2nd
|url        = {{google books|vVVTxeuiyvQC|plainurl=yes}}
|publisher  = Cambridge University Press
|isbn       = 978-0-521-78451-1
|mr         = 1902334
|zbl        = 1002.06001
}} 
**{{Cite journal |和書|author=本田あおい |title=書評 「Introduction to Lattices and Order」 |date=2007-04 |publisher=日本知能情報ファジィ学会 |journal=知能と情報 |volume=19 |issue=2 |pages=148 |url=http://macaron.ces.kyutech.ac.jp/honda/publication/files/2007BookReview.pdf | format=PDF |ref={{Harvid|本田|2007}} }}
* {{citation | title=Universal Algebra | year=2008 | first=George | last=Grätzer | edition=2nd | publisher=Springer | isbn=978-0-387-77486-2 | url={{Google books|8lNkXPJas4wC|plainurl=yes}} }}
* {{citation | title=Lectures on Boolean Algebras | year=2012 | first=Paul R. | last=Halmos | author-link=ポール・ハルモス | series=Undergraduate Texts in Mathematics | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-0-387-90094-0 | url={{Google books|_JPfBwAAQBAJ|plainurl=yes}} }}

== 関連項目 ==
{{div col|cols=2}}
*[[集合の代数学]]
*[[数理論理学]]
*[[ストーンの表現定理]]
*[[束 (束論)|束論]]
*[[環 (数学)]]
*[[デジタル回路]]
*[[ブール関数]]
*[[ブール論理]]
*[[ラダー・ロジック]]
*[[論理回路]]
{{div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ブール代数|2=[[西村敏男]]}}
*{{Kotobank|ブール束}}
*{{MathWorld|title=Boolean Algebra|urlname=BooleanAlgebra}}
*{{SEP|boolalg-math|The Mathematics of Boolean Algebra}}
*{{SpringerEOM | title=Boolean algebra | id=Boolean_algebra}}

{{Mathematical logic}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふうるたいすう}}
[[Category:数理論理学]]
[[Category:ブール代数|*]]
[[Category:ジョージ・ブール]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]