プラマーモデルのソースを表示

[[ファイル:Crowded_cluster_Messier_75.jpg|thumb|球状星団M75のハッブル宇宙望遠鏡による画像]]
'''プラマーモデル''' (Plummer model) とは、[[球状星団]]における星の分布を記述するモデルのひとつである。1911年に[[ヘンリー・プラマー (天文学者)|ヘンリー・プラマー]]によって最初に用いられた<ref>Plummer, H. C. (1911), [https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1911MNRAS..71..460P/abstract On the problem of distribution in globular star clusters], ''[[王立天文学会月報|Mon. Not. R. Astron. Soc.]]'' '''71''', 460</ref>。

== 概要 ==
球状星団は球対称に近い星の分布を持ち、中心ほど密度が高い。プラマーモデルはこの星の分布のモデルのひとつであり、質量 ''M'' とプラマー半径 ''a'' という 2 つのパラメータにより特定される。このモデルは密度プロファイル
:<math>\rho ( r ) = \frac{3}{4\pi} \frac{ M a^2 }{ ( r^2 + a^2 )^{5/2} }</math>
により記述される<ref name="bt65">Binney &amp; Tremaine, (2008). ''Galactic Dynamics'' (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 65.</ref>。従って ''r'' ≪ ''a'' で &rho; = Const.、''r'' ≫ ''a'' で &rho; &prop; ''r''<sup>-5</sup> となり、コンパクトな中心核と広がった外層を持つという球状星団の特徴をある程度再現している<ref name="s13">Spitzer (1987). ''Dynamical Evolution of Globular Clusters'', Princeton University Press. ISBN 978-0-691-60665-1 pp. 13.</ref>。また、このモデルは[[二体緩和]]の効果を無視するとき力学方程式の定常解を与える。

== 性質 ==
プラマーモデルに従う物質分布について、半径 ''r'' 以内の質量 ''M''(''r'') は次式により与えられる<ref name="s13"/>。
:<math>M ( r ) = M \frac{ r^3 }{ ( r^2 + a^2 )^{3/2} }</math>
また、この分布に従う星団がつくる[[重力ポテンシャル]]は[[万有引力定数]] ''G'' を用いて次のように求まる。
:<math>\Phi ( r ) = - \frac{ G M }{ \sqrt{ r^2 + a^2 } }</math>
なおこれは重力多体系のシミュレーションにおいて用いられる &epsilon;-処方と等価なポテンシャルとなっている<ref>Binney &amp; Tremaine, (2008). ''Galactic Dynamics'' (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 124.</ref>。

プラマーモデルは ''n''=5 の[[ポリトロープ]]モデルとしても得られる。つまり、球状星団内の星が分布関数
:<math>f ( \boldsymbol{r}, \boldsymbol{v} ) \propto ( - E )^{7/2} , \ \ E = \frac{1}{2} \boldsymbol{v}^2 + \Phi ( | \boldsymbol{r} | )</math>
に従うときプラマーモデルを再現する<ref>Binney &amp; Tremaine, (2008). ''Galactic Dynamics'' (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13027-9. pp. 300-302.</ref>。

=== プラマーモデルの生成アルゴリズム ===
[[N体シミュレーション]]の初期条件として用いる等の目的のためにプラマーモデルに従う ''N'' 個の粒子群を生成するために、以下のアルゴリズムが知られている<ref>Aarseth, S. J., Henon, M. and Wielen, R. (1974), [https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1974A&A....37..183A A comparison of numerical methods for the study of star cluster dynamics.] ''[[アストロノミー・アンド・アストロフィジックス|Astronomy and Astrophysics]]'' '''37''' 183.</ref>.
ただしここでは ''M'' = ''a'' = 1 となる単位系を採用し、''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>7</sub> は 7 個の独立な [ 0, 1 ]-区間一様乱数である。

動径座標 ''r'' を <math>r = ( X_1^{-2/3} - 1 )^{-1/2}</math> により定め、そこから座標 ''x'', ''y'', ''z'' を
::<math>z = ( 1 - 2 X_2 ) r , \ \ x = ( r^2 - z^2 )^{1/2} \cos ( 2 \pi X_3 ) , \ \ y = ( r^2 - z^2 ) \sin ( 2 \pi X_3 )</math>
により定める。次いで、[[脱出速度]] <math>V_e = \sqrt{2} ( 1 + r^2 )^{-1/4}</math>
で規格化された速度 <math>q = V / V_e</math> を、確率分布
:<math>P ( q ) \propto g ( q ) = q^2 ( 1 - q^2 )^\frac{7}{2}</math>
に従って得る。例えば[[棄却法]]を用いる場合、0.1 ''X''<sub>5</sub> &lt; ''g'' ( ''X''<sub>4</sub> ) となったら ''q'' = ''X''<sub>4</sub> とし、そうならなかったら再び乱数の組 ''X''<sub>4</sub>, ''X''<sub>5</sub> を生成する。速度座標 ''u'', ''v'', ''w'' は ''V'' = ''q'' ''V''<sub>''e''</sub> の値から
::<math>w = ( 1 - 2 X_6 ) V, \ \ y = ( V^2 - w^2 )^{1/2} \cos ( 2 \pi X_7 ) , \ \ v = ( V^2 - w^2 ) \sin ( 2 \pi X_7 )</math>
により生成する。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[球状星団]]
* [[銀河]]
* [[ジーンズの定理]]

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[[Category:天体物理学]]
[[Category:天文学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]