プランク単位系のソースを表示

'''プランク単位系'''（プランクたんいけい）は、[[マックス・プランク]]によって提唱された[[自然単位系]]である。

プランク単位系では以下の[[物理定数]]の値を 1 として定義している。
{| class="wikitable" style="text-align:left;"
|-
! 定数 !! 記号 !! [[量の次元|次元]]
|- 
| 真空中の[[光速度]]
| <math>{ c } \ </math>
| [[長さ|L]] [[時間|T]]<sup>−1</sup>
|-
| [[万有引力定数]]
| <math>{ G } \ </math>
| [[質量|M]]<sup>−1</sup>L<sup>3</sup>T<sup>−2</sup>
|-
| [[ディラック定数]]（換算プランク定数ともいう）
| <math>\hbar=\frac{h}{2 \pi}</math> （<math>{h} \ </math>は[[プランク定数]]）
| ML<sup>2</sup>T<sup>−1</sup>
|-
| [[クーロンの法則|クーロン力定数]]
| <math> \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} </math>（<math>{ \varepsilon_0 } \ </math>は[[真空の誘電率]]）
| [[電荷|Q]]<sup>−2</sup> M L<sup>3</sup> T<sup>−2</sup>
|-
| [[ボルツマン定数]]
| <math>{ k } \ </math>
| ML<sup>2</sup>T<sup>−2</sup>[[温度|&Theta;]]<sup>−1</sup>
|}
プランク単位系は物理学者によって「[[神]]の単位」と半ばユーモラスに言及される。自然単位系は「[[人間中心主義|人間中心]]的な自由裁量が除かれた単位系」であり、ごく一部の物理学者は「[[地球外生命|地球外の知的生命体]]も同じ単位系を使用しているに違いない」と信じている。

プランク単位系は、物理学者が問題を再構成するのに役立つ。一方、日常的なスケールからかけ離れたものが多いうえ、基準となる物理定数のうち万有引力定数の[[不確かさ (測定)|不確かさ]]が大きいため、実用には不向きである。

== 物理学の方程式の単純化 ==
プランク単位系を使用すると上記の変換定数が不要になるため、下記のように多くの物理学の[[方程式]]が単純化されるという利点があり、[[理論物理学]]でよく使われている。

ただし、それぞれの項の[[計量単位|単位]]の[[量の次元|次元]]がズレているわけではないという点には注意されたい<ref group="注釈">たとえば『ニュートンの万有引力の法則』の『プランク単位系』の方程式において、右辺の<math> \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>の次元はM{{sup|2}} L{{sup-|2}}ではなくM L T{{sup-|2}}である。</ref>。
{| class="wikitable" style="text-align:left;"
|-
!方程式の名称!!一般の単位系!!プランク単位系
|-
|ニュートンの[[万有引力|万有引力の法則]]
|<math> F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
|<math> F = \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
|-
|[[シュレーディンガー方程式]]
|<math>
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
</math>
|<math>
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
</math>
|-
|[[角周波数]]<math>{ \omega } \ </math>の<br />[[素粒子]]や[[光子]]が持つ[[エネルギー]]
|<math>{ E = \hbar \omega } \ </math>
|<math>{ E = \omega } \ </math>
|-
|[[アルベルト・アインシュタイン|アインシュタイン]]の<br />[[E=mc2|質量とエネルギーの方程式]]
|<math>{ E = m c^2} \ </math>
|<math>{ E = m } \ </math>
|-
|[[アインシュタイン方程式]]
|<math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi \cdot\frac{G}{c^4} T_{\mu \nu}} \ </math>
|<math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ </math>
|-
|[[熱]]の[[運動エネルギー]]
|<math>{ E = \frac{1}{2} k T } \ </math>
|<math>{ E = \frac{1}{2} T } \ </math>
|-
|[[クーロンの法則]]
|<math> F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} </math>
|<math> F = \frac{q_1 q_2}{r^2} </math>
|-
|[[マクスウェルの方程式]]
|<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho</math><br/>
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ </math><br/>
<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math><br/>
<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>
|<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ </math><br/>
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ </math><br/>
<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math><br/>
<math>\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>
* クーロン力定数に<math> 1/(4 \pi \varepsilon_0) \ </math>ではなく正規化された<math> \varepsilon_0 \ </math>を使うと、<br /><math> 4 \pi \ </math>も取り除くことができる。
|}

== 基本プランク単位 ==
上述の5つの定数の値を 1 とすることで、時間・長さ・質量・電荷・温度の5つの基本単位が定義される。
{| class="wikitable" style="text-align:left;"
|-
!名称
!次元
!式
![[国際単位系|SI]]での値<ref>[[科学技術データ委員会]]発表の [https://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html 2018 CODATA] による。</ref>
|-
|'''[[プランク時間]]'''
|[[時間]] (T)
|<math>t_P=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}</math>
|{{val|5.391247|(60)|e=-44|ul=s}}
|-
|'''[[プランク長]]'''
|[[長さ]] (L)
|<math>\ell_P=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}</math>
|{{val|1.616255|(18)|e=-35|ul=m}}
|-
|'''[[プランク質量]]'''
|[[質量]] (M)
|<math>m_P=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}}</math>
|{{val|2.176434|(24)|e=-8|ul=kg}}
|-
|'''[[プランク電荷]]'''
|[[電荷]] (Q)
|<math>q_P=\sqrt{\hbar c4\pi\varepsilon_0}</math>
|{{val|1.875545956|(41)|e=-18|ul=C}}
|-
|'''[[プランク温度]]'''
|[[温度]] (&Theta;)
|<math>T_P=\sqrt{\frac{\hbar c^5}{Gk^2}}</math>
|{{val|1.416784|(16)|e=32|ul=K}}
|}
従って、5つの物理定数はこれらの基本プランク単位により以下のように書き表すことができる。
{{Indent|<math>c=\frac{l_P}{t_P}</math>

<math>\hbar=\frac{m_P{\ell_P}^2}{t_P}</math>

<math>G=\frac{{\ell_P}^3}{m_P{t_P}^2}</math>

<math>\varepsilon_0=\frac{{q_P}^2{t_P}^2}{4\pi m_P{\ell_P}^3}</math>

<math>k=\frac{m_P{\ell_P}^2}{{t_P}^2T_P}</math>
}}
また、これらの数値がどの様なスケールなのかに関しては[[時間の比較#-44|時間の比較]]や[[長さの比較#-35|長さの比較]]及び[[質量の比較#-8|質量の比較]]と[[温度の比較#30|温度の比較]]を参照。

== 派生プランク単位 ==
他の単位系と同様に、以下の[[物理量]]の単位は基本プランク単位に基づいて定義される。
{| class="wikitable" style="text-align:left;"
|-
!名称!!次元!!式!![[国際単位系|SI]]でのおよその値
|-
|'''[[プランクエネルギー]]'''
|[[エネルギー]] (ML{{sup|2}}T{{sup|−2}})
|<math>E_P=m_Pc^2=\sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}</math>
|{{val|1.9561|e=9|u=[[ジュール|J]]}}
|-
|'''[[プランク力]]'''
|[[力 (物理学)|力]] (MLT{{sup|−2}})
|<math>F_P=\frac{E_P}{\ell_P}=\frac{c^4}{G}</math>
|{{val|1.21027|e=44|u=[[ニュートン (単位)|N]]}}
|-
|'''[[プランク仕事率]] (?)'''
|[[仕事率]] (ML{{sup|2}}T{{sup|−3}})
|<math>P_P=\frac{E_P}{t_P}=\frac{c^5}{G}</math>
|{{val|3.62831|e=52|u=[[ワット|W]]}}
|-
|'''[[プランク密度]]'''
|[[密度]] (ML{{sup|−3}})
|<math>\rho_P=\frac{m_P}{{\ell_P}^3}=\frac{c^5}{\hbar G^2}</math>
|{{val|5.15500|e=96|u=[[キログラム毎立方メートル|kg/m<sup>3</sup>]]}}
|-
|'''[[プランク角周波数]]'''
|[[周波数]] (T{{sup|−1}})
|<math>\omega_P=\frac{1}{t_P}=\sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}</math>
|{{val|1.85487|e=43|u=[[角周波数|rad/s]]}}
|-
|'''[[プランク圧力]]'''
|[[圧力]] (ML{{sup|−1}}T{{sup|−2}})
|<math>p_P=\frac{F_P}{{\ell_P}^2}=\frac{c^7}{\hbar G^2}</math>
|{{val|4.63309|e=113|u=[[パスカル (単位)|Pa]]}}
|-
|'''[[プランク電流]]'''
|[[電流]] (QT{{sup|−1}})
|<math>I_P=\frac{q_P}{t_P}=\sqrt{\frac{c^64\pi\varepsilon_0}{G}}</math>
|{{val|3.4789|e=25|u=[[アンペア|A]]}}
|-
|'''[[プランク電圧]]'''
|[[電圧]] (ML{{sup|2}}T{{sup|−2}}Q{{sup|−1}})
|<math>V_P=\frac{E_P}{q_P}=\sqrt{\frac{c^4}{G4\pi\varepsilon_0}}</math>
|{{val|1.04295|e=27|u=[[ボルト (単位)|V]]}}
|-
|'''[[プランクインピーダンス]]'''
|[[電気抵抗]] (ML{{sup|2}}T{{sup|−1}}Q{{sup|−2}})
|<math>Z_P=\frac{V_P}{I_P}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0c}=\frac{Z_0}{4\pi}</math>
|{{val|2.99792458|e=1|u=[[オーム|&Omega;]]}}
|}
各数値のスケールについては以下の各項目を参照。
*[[エネルギーの比較#9|エネルギーの比較]]
*[[力の比較#44|力の比較]]
*[[仕事率の比較]]
*[[密度の比較#96|密度の比較]]
*[[角速度の比較#43|角周波数の比較]]
*[[圧力の比較#113|圧力の比較]]
*[[電流の比較]]
*[[電圧の比較]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}

== 関連項目 ==
* [[幾何学単位系]]
* [[自然単位系]]
* [[原子単位]]
* [[次元解析]]
* [[物理定数]]<!--

== 参考文献 ==

== 外部リンク == -->

{{DEFAULTSORT:ふらんくたんいけい}}
[[Category:自然単位系|*ふらんくたんいけい]]
[[Category:マックス・プランク]]
[[Category:物理学のエポニム]]