プリューファー整域のソースを表示

数学において、'''プリューファー整域'''（プリューファーせいいき、{{lang-en-short|Prüfer domain}}）とは、[[遺伝環|半遺伝的]]な[[整域]]のことである。整域が遺伝的であることと[[デデキント整域]]であることは同値なので、プリューファー整域はデデキント整域の一般化であり、[[ネーター環|ネーター性]]を仮定しない状況におけるデデキント整域の類似である。可換環がデデキント整域であることとネーター的プリューファー整域であることは同値である。プリューファー整域はハインツ・プリューファーにちなんで名づけられた。

== 特徴づけ ==
整域 ''R'' について以下は同値。

（ただし不ねじれとねじれなしは異なる用語であることに注意せよ）

* ''R'' はプリューファー整域（すなわち半遺伝的）である
* すべての [[不ねじれ加群|不ねじれ]]（左または右）''R''-加群は平坦である
* すべての[[ねじれなし加群|ねじれのない]]（左または右）''R''-加群は平坦である
* すべての有限生成なねじれのない ''R''-加群は射影的である
* 平坦加群の部分加群は平坦である
* [[有限生成イデアル]]がすべて[[可逆イデアル|可逆]]である
* すべてのイデアルが平坦である

== 性質 ==
* 整域 ''R'' がプリューファー整域ならば、''R'' 上の ''n'' 次[[全行列環]]は半遺伝的である。
* プリューファー整域上の（左または右）加群が平坦であることと、ねじれなしなことは同値である。
* 可換環 ''R'' と ''R''-加群 ''M'' について、<math>\mathrm{Tor}_1^R(A,C)</math> が ''C'' の函手として0であれば ''A'' は ねじれなしだが、''A'' がプリューファー整域ならば逆も成り立つ。
* プリューファー整域 ''R'' 上の加群 ''M'' が ねじれなしならば <math>M\otimes_RC,\,C\otimes_RM</math> は ''C'' の函手として完全である。
* ''R'' がプリューファー整域で、''A''、''C'' が ねじれなし ''R''-加群であれば、''R''-加群 <math>A\otimes_RC</math> も ねじれなし。
* ''R'' をプリューファー整域、''A'' を ''R''-加群とする。すべての ''R'' 加群 ''C'' に対し ''R''-加群 <math>\mathrm{Ext}^1_R(A,C)</math> が移入的であれば ''A'' は ねじれなし。

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last1=Lam
|first1=Tsit-Yuen
|title=Lectures on modules and rings
|publisher=[[Springer-Verlag]]
|location=Berlin, New York
|series=Graduate Texts in Mathematics No. 189
|isbn=978-0-387-98428-5
|id={{MathSciNet|id=1653294}}
|year=1999
|ref=harv
}}
* {{Cite book
|last1=中山
|first1=正
|last2=服部
|first2=昭
|title=復刊　ホモロジー代数学
|publisher=共立出版株式会社
|location=東京
|isbn=978-4-320-01946-1
|year=2010
|ref=harv
}}

== 関連項目 ==
* [[遺伝環]]
* [[デデキント整域]]

{{デフォルトソート:ふりゆうふああせいいき}}
[[Category:環論]]
[[Category:可換環論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]