プロカ方程式のソースを表示

{{場の量子論}}
[[場の量子論]]において、'''プロカ方程式'''（プロカほうていしき、Proca equation）は、[[スピン角運動量|スピン]]1を持ち、0でない[[質量]]を持つ[[相対性理論|相対論]]的な[[ボース粒子]]、及びそれと対応する[[ベクトル場]]を記述する[[運動方程式]]である。質量が0のプロカ方程式は[[マクスウェル方程式]]である。名称は[[ルーマニア]]出身の物理学者[[アレクサンドル・プロカ]]に由来する<ref>{{cite journal|author=Proca, A.|title=Sur la théorie ondulatoire des électrons positifs et négatifs|journal=Journal de Physique et le Radium|volume=7|pages=347–353|year=1936|doi=10.1051/jphysrad:0193600708034700}}</ref>。

プロカ方程式は以下のように表記される。

:<math>\left(\partial_\mu \partial^\mu+m^2\right)A^\nu=0</math>

ここで、A<sup>ν</sup>は実[[ベクトル場]]、mはベクトル場の[[質量]]であり、[[ミンコフスキー空間]]の[[計量テンソル]]はdiag(+1, -1, -1, -1)を採用している。この形式を見れば分かるように、プロカ方程式は[[クライン＝ゴルドン方程式]]で記述される[[スカラー場]]を、時空について4成分の[[ベクトル場]]と入れ換えた式である。

== ラグランジアン密度 ==
この項で解説するのは、プロカ方程式を導出する最も単純な[[ラグランジアン密度]]である'''プロカ形式'''である。質量を持つベクトル場を記述する形式として、他に[[シュテュッケルベルク形式]]がある。プロカ形式は、シュテュッケルベルク形式における補助スカラー場を0とした場合と等しい形式である。

プロカ形式のラグランジアン密度は以下のように表記される。

:<math>\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2A_\nu A^\nu</math>

ここで、A<sub>ν</sub>は実[[ベクトル場]]で、<math>F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu </math>（A<sub>ν</sub>が[[電磁場]]の場合は[[電磁場テンソル]]）である。このラグランジアン密度はベクトル場の質量項が存在するために[[ゲージ不変性]]を破っている。
 
上記のラグランジアン密度を[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]

:<math> \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu A_\nu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0</math>

に代入して得られる運動方程式がプロカ方程式である。

:<math>\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)+
m^2 A^\nu=0</math>

ここで、両辺に <math>\partial_\nu</math> をかけて、<math>\partial_\mu \partial_\nu F^{\mu\nu}=0</math> を用いると、m≠0 のとき、[[ローレンツゲージ]]条件
:<math>\partial_\mu A^\mu=0 </math>

が自動的に導ける。これより、結局、プロカ方程式は

:<math>\left(\partial_\mu \partial^\mu+
m^2\right)A^\nu=0</math>

となる。

なお、四元ベクトルポテンシャルは本来４成分であるが、ローレンツゲージ条件が課されていることにより、独立な成分は３成分になる。これはプロカ方程式によって記述される粒子がスピン1の粒子であることに対応している。

== 出典 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:ふろかほうていしき}}
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[[Category:微分方程式]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:人名を冠した数式]]