プロス数のソースを表示

{{Unsolved|数学|プロス素数は無数に存在するか。}}
'''プロス数'''（プロスすう、{{lang-en-short|Proth number}}）とは、以下の制約を満たす式で表される[[自然数]]<math>N</math>のことである。プロス数の名は、19世紀フランスの数学者 {{仮リンク|フランソワ・プロス|en|François_Proth}} にちなんで付けられた。

:<math>N=k \cdot 2^n+1 </math>
* 制約1: <math>k</math>は正の[[奇数]]。
* 制約2: <math>n</math>は正の整数。
* 制約3: <math>2^n > k</math> である。

※ 制約3が無い場合、1より大きなあらゆる奇数がこの式から生まれてしまう<ref>{{MathWorld|title=Proth Number|urlname=ProthNumber}}</ref>。

プロス数の最初の数項は
:[[3]], [[5]], [[9]], [[13]], [[17]], [[25]], [[33]], [[41]], [[49]], [[57]], [[65]], [[81]], [[97]], [[113]], [[129]], [[145]], [[161]], [[177]], [[193]], [[209]], [[225]], [[241]],… ({{OEIS|id=A080075}})
である。

[[カレン数]] (''n''·2<sup>''n''</sup>+1) や [[フェルマー数]] (2<sup>2<sup>''n''</sup></sup>+1) は、プロス数の特殊なケースと考えることもできる。

==プロス素数==
'''プロス素数'''（プロスそすう、{{lang-en-short|Proth prime}}）とは、[[素数]]であるプロス数のことである<ref>{{MathWorld|title=Proth Prime |urlname=ProthPrime}}</ref>。

プロス素数の最初の数項は
:[[3]], [[5]], [[13]], [[17]], [[41]], [[97]], [[113]], [[193]], [[241]], [[257]], [[353]], 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, …({{OEIS|id=A080076}})
である。プロス素数は無数にあると予想されているが、証明されていない。

{{仮リンク|プロスの定理|en|Proth%27s_theorem}}を用いて、プロス数が[[素数判定|素数であるか否かの判定]]を行うことができる<ref>{{MathWorld |title=Proth's Theorem|urlname=ProthsTheorem}}</ref>。
<math>p</math>をプロス数とする。以下の[[合同式]]を満たす整数<math>a</math>があれば、<math>p</math>はプロス素数である。なければ、プロス素数でない。

:<math>a^{(p-1)/2}\equiv -1\pmod{p}</math>

すなわち、<math>a^{(p-1)/2}</math>に1を加えた数が<math>p</math>で割り切れるよう、<math>a</math>を探せばよい。

{{as of|2016|lc=on}}、発見済みである最大のプロス素数は 10223×2<sup>31172165</sup> + 1 であり、9,383,761桁の大きさを持つ<ref>Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=66 The Top Twenty: Proth], from The [[:en:Prime Pages]].</ref>。これが素数であることは [[PrimeGrid]] プロジェクトの Péter Szabolcs によって導き出された事が2016年11月6日に発表された<ref>{{cite web|url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7116|title=World Record Colbert Number discovered!|accessdate=2016-12-07|publisher=}}</ref>。この数は、[[メルセンヌ素数]]でないような既知の[[巨大な素数の一覧|最大の素数]]でもある<ref>Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 The Top Twenty: Largest Known Primes], from The [[:en:Prime Pages]].</ref>。

==関連項目==
* [[シェルピンスキー数]]
* [[ピアポン素数]]
* [[PrimeGrid]] - 巨大なプロス素数を探す[[分散コンピューティング]]プロジェクト

==脚注==
{{reflist}}

{{素数の分類}}
{{DEFAULTSORT:ふろすすう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:素数]]
[[Category:数学のエポニム]]