プロパゲーターのソースを表示

{{要改訳}}
{{場の量子論}}<!--- {{about|Quantum field theory|plant propagation|Plant propagation}} --><!--- {{Quantum field theory}} -->
[[量子力学]]と[[場の量子論]]では、'''プロパゲーター'''（{{lang-en-short|propagator}}'''；伝播函数'''ともいう）は、時間を指定されたときのある位置から別の位置へ移動する粒子の、あるいは移動するエネルギーと運動量の[[波動関数#確率振幅|確率振幅]]（probability amplitude）を与える函数である。場の量子論での衝突の確率を計算する[[ファインマン・ダイアグラム]]では、[[仮想粒子]]のプロパゲーターは、ダイアグラムにより記述される散乱事象の確率へ寄与する。プロパゲーターは、また、粒子に適切な波動作用素の逆とみなすこともできるので、しばしば、'''[[グリーン函数]]'''とも呼ばれる。
<!---In [[quantum mechanics]] and [[quantum field theory]], the '''propagator''' gives the [[probability amplitude]] for a particle to travel from one place to another in a given time, or to travel with a certain energy and momentum. In [[Feynman diagram]]s, which calculate the rate of collisions in quantum field theory, [[virtual particle]]s contribute their propagator to the rate of the scattering event described by the diagram. They also can be viewed as the inverse of the wave operator appropriate to the particle, and are therefore often called '''[[Green's function]]s'''.-->

== 非相対論的プロパゲーター ==
非相対論的な量子力学では、プロパゲーターはある時刻での空間位置から後の時刻での位置への移動する[[基本粒子]]の確率振幅を与える。プロパゲーターは[[シュレーディンガー方程式]]の[[グリーン函数]]（[[基本解]]）である。このことは、系が[[ハミルトニアン]] {{mvar|H}} を持っている場合は、適切なプロパゲーターが函数 {{math|''K(x,t;x',t')''}} であり、次の方程式を満たす。

:<math>\left( H_x - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x',t') = -i\hbar \delta(x-x')\delta(t-t')</math>

ここに {{math|''H<sub>x</sub>''}} は、{{mvar|x}} 座標の項で記述されたハミルトニアンであり、{{math| ''δ(x)''}} は[[ディラックのデルタ函数]]である。

これは次のようにも表すことができる。

:<math>K(x,t;x',t') = \langle x | \hat{U}(t,t') | x'\rangle </math>

ここに {{math| ''&Ucirc;''(''t,t' '')}} は時刻 {{mvar|t}} での状態を時刻 {{mvar|t}}' の状態とする系の[[ユニタリ作用素|ユニタリ]]な時間発展作用素である。
<!---In non-relativistic quantum mechanics the propagator gives the probability amplitude for a [[Elementary particle|particle]] to travel from one spatial point at one time to another spatial point at a later time. It is the [[Green's function]] ([[fundamental solution]]) for the [[Schrödinger equation]]. This means that if a system has [[Hamiltonian (quantum mechanics)|Hamiltonian]] {{mvar|H}} then the appropriate propagator is a function {{math|''K(x,t;x',t')''}} satisfying

:<math>\left( H_x - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x',t') = -i\hbar \delta(x-x')\delta(t-t')</math>

where {{math|''H<sub>x</sub>''}} denotes the Hamiltonian written in terms of the {{mvar|x}} coordinates and {{math| ''δ(x)''}} denotes the [[Dirac delta-function]].

This can also be written as 

:<math>K(x,t;x',t') = \langle x | \hat{U}(t,t') | x'\rangle </math>

where {{math| ''&Ucirc;''(''t,t' '')}} is the [[unitary operator|unitary]] time-evolution operator for the system taking states at time {{mvar|t}} to states at time {{mvar|t}}'.-->

量子力学のプロパゲーターはまた、[[経路積分]]の定式化を使うことにより見つけ出すこともできる。
:<math>K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q},q,t) dt\right] D[q(t)]</math>
ここに経路積分の境界条件は、 {{math|''q(t)''{{=}}''x''}}, {{math|''q(t')''{{=}}''x' ''}} を意味している。さらに {{mvar|L}} は系のラグランジアン ([[:en:Lagrangian]]) を表している。この足し上げられた経路は時間によってのみ進む。<!---The quantum mechanical propagator may also be found by using a [[Path integral formulation|path integral]],
:<math>K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q},q,t) dt\right] D[q(t)]</math>
where the boundary conditions of the path integral include {{math|''q(t)''{{=}}''x''}}, {{math|''q(t')''{{=}}''x' ''}}. Here {{mvar|L}} denotes the [[Lagrangian]] of the system. The paths that are summed over move only forwards in time.-->

非相対論的な[[量子力学]]では、プロパゲーターは与えられた初期状態と時間の区間の系の終了状態を求める。新しい状態は次の方程式で与えられる。

:<math>\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'.</math>

<math>K(x,t;x',t')</math> が差異 <math>x-x'</math> にのみ依存しているならば、この式は初期状態とプロパゲーターの[[畳み込み]]になる。
<!---In non-relativistic [[quantum mechanics]], the propagator lets you find the state of a system given an initial state and a time interval.  The new state is given by the equation:

:<math>\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'.</math>

If <math>K(x,t;x',t')</math> only depends on the difference <math>x-x'</math>, this is a [[convolution]] of the initial state and the propagator.-->

===基本的な例：自由粒子と調和振動子のプロパゲーター===
時間遷移不変な系に対し、プロパゲーターは時間の差異 {{math|(''t−t''')}} のみに依存するので、式は次のように書き換えることができる。
:<math>K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t') ~.</math>

[[:en:Wave_packet#Free_propagator|1次元の自由粒子のプロパゲーター]]は、{{仮リンク|鞍点近似|en|saddle-point approximation}}を通じて、右を無限遠点として表現<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/SaddlePointApproximation.html Saddle point approximation], planetmath.org</ref> は、次のようになる。
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>K(x,x';t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\,e^{ik(x-x')} e^{-i\hbar k^2 t/(2m)}=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^2/(2i\hbar t)} ~.</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}

[[:en:Quantum_harmonic_oscillator#Natural_length_and_energy_scales|1次元調和振動子のプロパゲーター]]は、{{仮リンク|メーラー核|en|Mehler kernel}}(Mehler kernel)
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>K(x,x';t)=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega t}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{m\omega((x^2+x'^2)\cos\omega t-2xx')}{2i\hbar \sin\omega t}\right) ~.</math>  
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
である。{{mvar|N}}-次元の場合は、プロパゲーターは、積
:<math>K(\vec{x},\vec{x}';t)=\prod_{q=1}^N K(x_q,x_q';t)~.</math>
により容易に得ることができる。
<!---===Basic Examples: Propagator of Free Particle and Harmonic Oscillator===
For a time-translationally invariant system, the propagator only depends on the time difference {{math|(''t−t''')}}, so it may be rewritten as
:<math>K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t') ~.</math>

Similarly, the propagator of a one-dimensional [[Quantum_harmonic_oscillator#Natural_length_and_energy_scales|quantum harmonic oscillator]] is the [[Mehler kernel]],
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>K(x,x';t)=\left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega t}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{m\omega((x^2+x'^2)\cos\omega t-2xx')}{2i\hbar \sin\omega t}\right) ~.</math>  
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
For the {{mvar|N}}-dimensional case, the propagator can be simply obtained by the product
:<math>K(\vec{x},\vec{x}';t)=\prod_{q=1}^N K(x_q,x_q';t)~.</math>-->

== 相対論的プロパゲーター ==
相対論的量子力学や[[場の量子論]]では、プロパゲーターは[[ローレンツ不変]]である。プロパゲーターは 2つの[[時空]]の点の間を移動する[[基本粒子|粒子]]の振幅を与える。
<!---In relativistic quantum mechanics and [[quantum field theory]] the propagators are [[Lorentz invariant]]. They give the amplitude for a [[Elementary particle|particle]] to travel between two [[spacetime]] points.-->

=== スカラープロパゲーター ===
場の量子論では、自由な（相互作用のない）[[スカラー場]]の理論は、より複雑な理論に必要な概念の説明に助けとなる使いよい単純な例である。スカラー場のプロパゲーターは[[スピン角運動量|スピン]]がゼロの粒子である。[[自由場|自由スカラー場]]の理論には、多数の可能なプロパゲーターが存在する。ここでは全体共通するプロパゲーターを記述する。
<!---In quantum field theory the theory of a free (non-interacting) [[scalar field]] is a useful and simple example which serves to illustrate the concepts needed for more complicated theories. It describes [[Spin (physics)|spin]] zero particles. There are a number of possible propagators for free scalar field theory. We now describe the most common ones.-->

=== 位置空間 ===
位置空間のプロパゲーターは、[[クライン-ゴルドン方程式]]の[[グリーン函数]]である。このことは、位置空間のプロパゲーターが次の式を満たす函数 {{math|''G(x,y)''}} であることを意味する。

:<math>(\square_x + m^2)G(x,y)=-\delta(x-y)</math>

ここに、
* <math>x,y</math> は、[[ミンコフスキー空間|ミンコフスキー時空]]の 2つの点
* <math> \square_x = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 </math> は <math>x</math> 座標上に作用する [[ダランベール演算子]] (d'Alembertian operator)
* <math>\delta(x-y)</math> は[[ディラックのデルタ函数]]

とする。（[[特殊相対論|相対論]]的な場の量子論の計算の典型として、[[光速]] {{mvar|c}} は 1 であるという単位系を使う。）
<!---The position space propagators are [[Green's function]]s for the [[Klein&ndash;Gordon equation]]. This means they are functions {{math|''G(x,y)''}} which satisfy

:<math>(\square_x + m^2)G(x,y)=-\delta(x-y)</math>

where:
* <math>x,y</math> are two points in [[Minkowski spacetime]].
* <math> \square_x = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 </math> is the [[d'Alembertian]] operator acting on the <math>x</math> coordinates.
* <math>\delta(x-y)</math> is the [[Dirac delta-function]].

(As typical in [[special relativity|relativistic]] quantum field theory calculations, we use units where the [[speed of light]], {{mvar|c}}, is 1.)-->

空間を4次元の[[ミンコフスキー空間|ミンコフスキー時空]]へ制限すると、プロパゲーターの式の[[フーリエ変換]]が可能となり、次の式を得る。

:<math>\,(-p^2 + m^2)G(p)=-1~.</math>

この式は、方程式 {{math|''xf(x)''{{=}}1}} は、{{mvar|ε}} がゼロとなる極限で、解
:<math>f(x)=1/(x\pm i\epsilon)=1/x\pm i\pi\delta(x)</math> 
となることに注意すると、[[シュワルツ超函数]]の意味で式を置き換えることが可能である。以下の議論では、因果律から要求される符号を正しく選択する。解は、

:<math>G(x,y) = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2\pm i\epsilon}</math>

であり、ここに <math>p(x-y):= p_0(x^0-y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x}-\vec{y})</math> は[[4元ベクトル]]の内積である。

上記の表現で{{仮リンク|積分路の方法|label=積分路|en|Methods of contour integration}}の変形がどのようにするかにより異なる選択が可能であるが、この選択によりプロパゲーターの形も異なることとなる。積分路の選択は普通、<math>p_0</math> の積分の項の中に記述される。

従って、非積分函数は <math>p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2}</math> で 2つの極を持ち、どのようにして異なるプロパゲーターとなることを避けるのかの選択が難しい。
<!---We shall restrict attention to 4-dimensional [[Minkowski spacetime]]. We can perform a [[Fourier transform]] of the equation for the propagator, obtaining

:<math>\,(-p^2 + m^2)G(p)=-1~.</math>

This equation can be inverted in the sense of [[Distribution (mathematics)|distributions]] noting that the equation {{math|''xf(x)''{{=}}1}} has the solution 
:<math>f(x)=1/(x\pm i\epsilon)=1/x\pm i\pi\delta(x)</math>, 
with {{mvar|ε}} implying the limit to zero. Below, we discuss the right choice of the sign arising from causality requirements.

The solution is

:<math>G(x,y) = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2\pm i\epsilon}</math>

where <math>p(x-y):= p_0(x^0-y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x}-\vec{y})</math> is the [[4-vector]] inner product.

The different choices for how to deform the [[Methods of contour integration|integration contour]] in the above expression lead to different forms for the propagator. The choice of contour is usually phrased in terms of the <math>p_0</math> integral.

The integrand then has two poles at <math>p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2}</math> so different choices of how to avoid these lead to different propagators.-->

==== 因果プロパゲーター ====

'''遅延プロパゲーター''' (Retarded propagator)：



[[Image:CausalRetardedPropagatorPath.svg]]



双方の極を時計周りでの積分路は、'''因果律遅延プロパゲータ''' (causal retarded propagator) を与える。<math>x</math> と <math>y</math> が空間的 (spacelike)、もしくは <math>x^0 < y^0</math> (すなわち、<math>y</math> が <math>x</math>の未来の場合には、この値はゼロとなる。

積分路の選択は[[極限]]での値を計算することと等価である。

:<math>G_\mathrm{ret}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}
= \begin{cases}
\dfrac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) - \dfrac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \text{ if } y \prec x \\
0 & \text{otherwise} 
\end{cases}</math>
<!---'''Retarded propagator''':

[[Image:CausalRetardedPropagatorPath.svg]]

A contour going clockwise over both poles gives the '''causal retarded propagator'''. This is zero if <math>x</math> and <math>y</math> are spacelike or if <math>x^0 < y^0</math> (i.e. if <math>y</math> is to the future of <math>x</math>).

This choice of contour is equivalent to calculating the [[Limit (mathematics)|limit]]:

:<math>G_\mathrm{ret}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix} 
\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) - \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, y \prec x \\
0 & \textrm{otherwise} 
\end{matrix} \right.</math>-->

ここで、

:<math>\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}</math>

は、<math>x</math> から <math>y</math> への[[固有時|固有時間]]であり、<math>J_1</math> は[[ベッセル函数#第一種ベッセル函数|第一種ベッセル函数]]である。表現 <math>y \prec x</math> は <math>y</math> が[[因果律|因果律に従っている]]ことを意味し、ミンコフスキー時空では、 

:<math>y^0 < x^0</math> and <math>\tau_{xy}^2 \geq 0</math>.

であることを意味する。この表現は、自由スカラー場の作用素の[[交換子]]の真空期待値 ([[:en:vacuum expectation value]]) の項でも、次のように表現することができる。

:<math>G_\mathrm{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)</math>

ここに <math>\Theta (x) := \begin{cases}
1 & \mbox{for} & x \ge 0 \\
0 & \mbox{for} & x < 0
\end{cases}</math>

は[[ヘヴィサイドの階段函数]]であり、

:<math>\left[\Phi(x),\Phi(y) \right]:= \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)</math>

は[[交換子]]である。
<!---Here 

:<math>\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}</math>

is the [[proper time]] from <math>x</math> to <math>y</math> and <math>J_1</math> is a [[Bessel function of the first kind]]. The expression <math>y \prec x</math> means <math>y</math> [[causal structure|causally precedes]] <math>x</math> which, for Minkowski spacetime, means 

:<math>y^0 < x^0</math> and <math>\tau_{xy}^2 \geq 0</math>.

This expression can also be expressed in terms of the [[vacuum expectation value]] of the [[commutator]] of the free scalar field operator,

:<math>G_\mathrm{ret}(x,y) = i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)</math>

where <math>\Theta (x) := \left \{ \begin{matrix}
1 & \mbox{for} & x \ge 0 \\
0 & \mbox{for} & x < 0
\end{matrix} \right.</math>

is the [[Heaviside step function]] and

:<math>\left[\Phi(x),\Phi(y) \right]:= \Phi(x) \Phi(y) - \Phi(y) \Phi(x)</math>

is the [[commutator]].-->

'''前進プロパゲーター''' (Advanced propagator):



[[Image:CausalAdvancedPropagatorPath.svg]]



2つの極の周りを反時計まわりの積分路は、'''因果律前進プロパゲーター'''である。この値は、<math>x</math> と <math>y</math> が空間的 (spacelike) であったり、<math>x^0 > y^0</math>（すなわち、<math>y</math> が <math>x</math> の過去であった場合）にはゼロとなる。

この積分路の選択は、次の極限を計算することと同等である。

:<math>G_\mathrm{adv}(x,y)
= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}
= \begin{cases} 
-\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \text{ if } x \prec y \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}.</math>

この表現もまた、自由スカラー場の[[交換子]]の真空期待値([[:en:vacuum expectation value]])の項で表現することができる。この場合は、次のようになる。

:<math>G_\mathrm{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0).</math>
<!---'''Advanced propagator''':

[[Image:CausalAdvancedPropagatorPath.svg]]

A contour going anti-clockwise under both poles gives the '''causal advanced propagator'''. This is zero if <math>x</math> and <math>y</math> are spacelike or if <math>x^0 > y^0</math> (i.e. if <math>y</math> is to the past of <math>x</math>).

This choice of contour is equivalent to calculating the limit:

:<math>G_\mathrm{adv}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix} 
-\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, x \prec y \\
0 & \textrm{otherwise}. 
\end{matrix} \right.</math>

This expression can also be expressed in terms of the [[vacuum expectation value]] of the [[commutator]] of the free scalar field.
In this case,

:<math>G_\mathrm{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0).</math>-->

==== ファインマンプロパゲータ ====
ファインマンプロパゲーター (Feynman propagator): 	



[[Image:FeynmanPropagatorPath.svg]]



左の極は下を右の極は上を通る積分路は、'''ファインマンプロパゲーター'''を与える。

この積分路の選択は、次の極限の計算と等価である（Huang p30を参照のこと）：

:<math> G_\mathrm{F}(x,y)
= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}
= \begin{cases}
- \dfrac{1}{4 \pi} \delta(s) + \dfrac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & \text{ if } s \geq 0 \\
 - \dfrac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & \text{if} s < 0.
\end{cases} </math>

ここで

:<math>s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2.</math>

である。ここに、<math>x</math> と <math>y</math> は[[ミンコフスキー空間|ミンコフスキー時空]]の 2つの点であり、指数の中のドットは[[4元ベクトル空間|4元ベクトル]]の[[内積]]である。<math>H_1^{(1)}</math> は[[ベッセル函数#ハンケル函数|ハンケル函数]]であり、<math>K_1</math> は[[ベッセル函数#変形ベッセル函数]]である。

<!---[[Image:FeynmanPropagatorPath.svg]]

A contour going under the left pole and over the right pole gives the '''Feynman propagator'''.

This choice of contour is equivalent to calculating the limit (see Huang p30):
:{|
|- 
|<math> \ G_F(x,y) </math>
|<math> \ = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}  </math>
|-
|
|<math> \ = \left \{ \begin{matrix}
-\frac{1}{4 \pi} \delta(s) + \frac{m}{8 \pi \sqrt{s}} H_1^{(1)}(m \sqrt{s}) & \textrm{ if }\, s \geq 0 \\
 -\frac{i m}{ 4 \pi^2 \sqrt{-s}} K_1(m \sqrt{-s}) & \textrm{if }\, s < 0.
\end{matrix} \right. </math>
|}
Here 

:<math>s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2.</math>

Here <math>x</math> and <math>y</math> are two points in [[Minkowski spacetime]], and the dot in the exponent is a [[four-vector]] [[inner product]]. <math>H_1^{(1)}</math> is a [[Hankel function]] and <math>K_1</math> is a [[modified Bessel function]].-->

<!---この表現は、直接This expression can be derived directly from the field theory as the [[vacuum expectation value]] of the ''[[time-ordered]] product'' of the free scalar field, that is, the product always taken such that the time ordering of the spacetime points is the same:

:{|
|- 
|<math> \ G_F(x-y) </math>
|<math> \ = i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang </math>
|-
|
|<math> \ = i \lang 0| [\Theta(x^0 - y^0) \Phi(x)\Phi(y) + \Theta(y^0 - x^0) \Phi(y)\Phi(x) ] |0 \rang. </math>
|}

This expression is [[Lorentz invariant]] as long as the field operators commute with one another when the points <math>x</math> and <math>y</math> are separated by a [[spacelike]] interval.

The usual derivation is to insert a complete set of single-particle momentum states between the fields with Lorentz covariant normalization, then show that the <math>\Theta</math> functions providing the causal time ordering may be obtained by a [[line integral|contour integral]] along the energy axis if the integrand is as above (hence the infinitesimal imaginary part, to move the pole off the real line).

The propagator may also be derived using the [[path integral formulation]] of quantum theory.-->
<!---This expression can be derived directly from the field theory as the [[vacuum expectation value]] of the ''[[time-ordered]] product'' of the free scalar field, that is, the product always taken such that the time ordering of the spacetime points is the same:

:{|
|- 
|<math> \ G_F(x-y) </math>
|<math> \ = i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang </math>
|-
|
|<math> \ = i \lang 0| [\Theta(x^0 - y^0) \Phi(x)\Phi(y) + \Theta(y^0 - x^0) \Phi(y)\Phi(x) ] |0 \rang. </math>
|}

This expression is [[Lorentz invariant]] as long as the field operators commute with one another when the points <math>x</math> and <math>y</math> are separated by a [[spacelike]] interval.

The usual derivation is to insert a complete set of single-particle momentum states between the fields with Lorentz covariant normalization, then show that the <math>\Theta</math> functions providing the causal time ordering may be obtained by a [[line integral|contour integral]] along the energy axis if the integrand is as above (hence the infinitesimal imaginary part, to move the pole off the real line).

The propagator may also be derived using the [[path integral formulation]] of quantum theory.-->

=== 運動量空間プロパゲーター ===
位置空間プロパゲーターの[[フーリエ変換]]は、[[位置空間と運動量空間|運動量空間]]の中のプロパゲーターと考えることができる。（運動量空間の中で考えると）位置空間のプロパゲーターを考えるよりも、非常に単純にすることができる。

運動量空間のプロパゲーターは、（上でみたように）積分路が適切な時にのみうまく理解することができるにもかかわらず、明白な項 <math>\epsilon</math> をもって書かれる。この <math>\epsilon</math> 項は、境界条件と[[因果性#因果律|因果律]]が協調していることを意味している。（以下にこのことを示す）

[[四元運動量|4元運動量]] <math>p</math> に対し、運動量空間内の因果律とファインマンプロパゲーターは、次のようになる。

:<math>\tilde{G}_\mathrm{ret}(p) = \frac{1}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>

:<math>\tilde{G}_\mathrm{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>

:<math>\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}. </math>

ファインマンダイアグラムの計算の目的には、普通は、これらに <math>-i</math> のファクタをかけてこれらを表すと便利である（記法の変更）。
<!---The [[Fourier transform]] of the position space propagators can be thought of as propagators in [[momentum space]]. These take a much simpler form than the position space propagators.

They are often written with an explicit <math>\epsilon</math> term although this is understood to be a reminder about which integration contour is appropriate (see above). This <math>\epsilon</math> term is included to incorporate boundary conditions and [[causality]] (see below).

For a [[4-momentum]] <math>p</math> the causal and Feynman propagators in momentum space are:

:<math>\tilde{G}_\mathrm{ret}(p) = \frac{1}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>

:<math>\tilde{G}_\mathrm{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}</math>

:<math>\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}. </math>

For purposes of Feynman diagram calculations it is usually convenient to write these with an additional overall factor of <math>-i</math> (conventions vary).-->

=== 光速より速い？ ===
ファインマンプロパゲーターは最初は一見不可解に見える性質をいくつか持っている。特に、交換子とな異なり、プロパテーターは[[光円錐]]の外側でも、空間的 (spacelike) な区間に急速に落ち込むにもかかわらず、'''非ゼロ'''である。粒子の運動の振幅として解釈すると、このことは光速より速く仮想粒子が移動していると解釈される。このことがどのように因果律と仲裁ができるのか、直ちには明らかにはならない。つまり光速より速い仮想粒子が光速より速くメッセージを運ぶことが可能なのであろうか？

答えはNOである。[[古典力学]]では粒子と因果関係にそって移動可能な区間は同じであることに対し、場の量子論ではこのことはもはや正しくなく、そこでは作用素が互いに影響を与えることを決定する[[交換子]]である。
<!---The Feynman propagator has some properties that seem baffling at first.  In particular, unlike the commutator, the propagator is ''nonzero'' outside of the [[light cone]], though it falls off rapidly for spacelike intervals.  Interpreted as an amplitude for particle motion, this translates to the virtual particle traveling faster than light.  It is not immediately obvious how this can be reconciled with causality: can we use faster-than-light virtual particles to send faster-than-light messages?

The answer is no: while in [[classical mechanics]] the intervals along which particles and causal effects can travel are the same, this is no longer true in quantum field theory, where it is [[commutator]]s that determine which operators can affect one another.-->

それでは、'''何が'''プロパゲーターの空間的 (spacelike) な部分なのだろうか。場の量子論では、[[真空]]は積極的に寄与していて、{{仮リンク|粒子数|en|particle number}}や場の値は[[不確定性原理]]により関係付けられている。場の値はたとえ粒子数が'''ゼロ'''であっても不確定である。局所的に計測すると（もう少し詳しく言うと、もし小さな領域上の場（の値）を平均することで作用素を計測しようとすると）、場 <math>\Phi(x)</math> の真空の値での重要な揺らぎを示す非ゼロの[[波動関数#確率振幅|確率振幅]]が存在する。さらに、場の力学は空間的に補正された揺らぎを大きくする傾向にある。空間的 (spacelike) に分地された場の非ゼロの時間順序積は、従って、[[アインシュタイン＝ポドルスキー＝ローゼンのパラドックス|EPR相関]] (EPR correlation) と類似して、これらの真空の揺らぎの中の非局所的な補正にたいする振幅を計測していることになる。実際、自由場に対しては'''2-相関函数'''としばしば呼ばれる。

場の量子論の仮定により、すべての[[観測可能量]]の作用素は互いに空間的 (spacelike) な分離と可換であるので、メッセージはこれ以上送信することができない。<!---through these correlations than they can through any other EPR correlations; the correlations are in random variables.

In terms of virtual particles, the propagator at spacelike separation can be thought of as a means of calculating the amplitude for creating a virtual particle-[[antiparticle]] pair that eventually disappear into the vacuum, or for detecting a virtual pair emerging from the vacuum.  In [[Richard Feynman|Feynman]]'s language, such creation and annihilation processes are equivalent to a virtual particle wandering backward and forward through time, which can take it outside of the light cone.  However, no causality violation is involved. --><!---So what ''does'' the spacelike part of the propagator represent?  In QFT the [[vacuum]] is an active participant, and [[particle number]]s and field values are related by an [[uncertainty principle]]; field values are uncertain even for particle number ''zero''.  There is a nonzero [[probability amplitude]] to find a significant fluctuation in the vacuum value of the field <math>\Phi(x)</math> if one measures it locally (or, to be more precise, if one measures an operator obtained by averaging the field over a small region).  Furthermore, the dynamics of the fields tend to favor spatially correlated fluctuations to some extent.  The nonzero time-ordered product for spacelike-separated fields then just measures the amplitude for a nonlocal correlation in these vacuum fluctuations, analogous to an [[EPR paradox|EPR correlation]].  Indeed, the propagator is often called a ''two-point correlation function'' for the free field.

Since, by the postulates of quantum field theory, all [[observable]] operators commute with each other at spacelike separation, messages can no more be sent through these correlations than they can through any other EPR correlations; the correlations are in random variables.

In terms of virtual particles, the propagator at spacelike separation can be thought of as a means of calculating the amplitude for creating a virtual particle-[[antiparticle]] pair that eventually disappear into the vacuum, or for detecting a virtual pair emerging from the vacuum.  In [[Richard Feynman|Feynman]]'s language, such creation and annihilation processes are equivalent to a virtual particle wandering backward and forward through time, which can take it outside of the light cone.  However, no causality violation is involved.-->

=== ファインマン図形のプロパゲーター ===
プロパゲーターの最も共通な使い方は、[[ファインマン・ダイアグラム]]を使う粒子の相互作用の[[波動関数#確率振幅|確率振幅]]の計算である。これらの計算は、普通は運動量空間の中で行われる。一般に振幅はすべての'''直線'''に対するプロパゲーターの要素となる。すなわち、初期状態の入ってくる粒子もしくは、終了状態の出ていく粒子を表さないすべての直線は、プロパゲーターである。直線が交叉するすべての内部の頂点に対する理論のラグランジアン ([[:en:Lagrangian mechanics]]) の中の相互作用項に比例し、同じ形をした要素をも得ます。これらの前提は'''ファインマン規則''' (Feynman rules) として知られている。

内部の直線は仮想粒子に対応する。プロパゲーターは、古典力学の運動方程式では禁止されているエネルギーと運動量の組み合わせでは消滅しないので、仮想粒子は[[オンシェルとオフシェル|オフシェル]] (off shell) であることが許されるという。実際、プロパゲーターは波動函数を逆とすることにより得られるので、一般には[[オンシェルとオフシェル|オンシェル]] (on shell) では特異点を持っている。
<!---The most common use of the propagator is in calculating [[probability amplitude]]s for particle interactions using [[Feynman diagram]]s.  These calculations are usually carried out in momentum space.  In general, the amplitude gets a factor of the propagator for every ''internal line'', that is, every line that does not represent an incoming or outgoing particle in the initial or final state.  It will also get a factor proportional to, and similar in form to, an interaction term in the theory's [[Lagrangian]] for every internal vertex where lines meet.  These prescriptions are known as ''Feynman rules''.

Internal lines correspond to virtual particles.  Since the propagator does not vanish for combinations of energy and momentum disallowed by the classical equations of motion, we say that the virtual particles are allowed to be [[off shell]].  In fact, since the propagator is obtained by inverting the wave equation, in general it will have singularities on shell.-->

プロパゲーターに仲の粒子によって運ばれるエネルギーは、'''負'''ということさえあり得る。このことは単純には、粒子がある方向へ動いている替わりに、[[反粒子]]が'''反対'''の方向へ動いていると解釈できて、従って正のエネルギーの版大のフローを運んでいると解釈できる。プロパゲーターは両方の可能性を持ち合わせている。このことは、[[フェルミオン]]の場合のマイナス符号について注意深く扱わねばならない。フェルミオンのプロパゲーターは、エネルギーと運動量の中では[[偶函数]]ではない。(以下を参照）

仮想粒子はエネルギーと運動量を保存する。しかし、それらはオフシェルであることも可能なので、図形が閉'''ループ'''を含んでいたとしても、ループを形成する仮想粒子のエネルギーと運動量は、部分的には光速されていない。その理由は、ループ中の一つの粒子の量の変化は、他の（大きさが）等しい反対の変化によりバランスをとることができる。従って、ファインマン図形のすべてのループは、可能なエネルギーと運動量の連続性を渡る積分を要求する。一般にこれらのプロパゲーターの積の積分は発散するので、[[繰り込み]]の過程によって扱われなければならない状況になる。
<!---The energy carried by the particle in the propagator can even be ''negative''.  This can be interpreted simply as the case in which, instead of a particle going one way, its [[antiparticle]] is going the ''other'' way, and therefore carrying an opposing flow of positive energy.  The propagator encompasses both possibilities.  It does mean that one has to be careful about minus signs for the case of [[fermions]], whose propagators are not [[even function]]s in the energy and momentum (see below).

Virtual particles conserve energy and momentum.  However, since they can be off shell, wherever the diagram contains a closed ''loop'', the energies and momenta of the virtual particles participating in the loop will be partly unconstrained, since a change in a quantity for one particle in the loop can be balanced by an equal and opposite change in another.  Therefore, every loop in a Feynman diagram requires an integral over a continuum of possible energies and momenta.  In general, these integrals of products of propagators can diverge, a situation that must be handled by the process of [[renormalization]].-->

=== ディラックの理論 ===
粒子が[[スピン角運動量|スピン]]を持っていると、そのプロパゲーターは一般的には、スピンや偏極のインデックスを持つように少し複雑となる。[[量子力学]]の中で[[電子]]を表すファインマン図形を使った[[ディラック方程式|ディラック]]場の運動量空間のプロパゲーターは、次の形となる。

:<math> \tilde{S}_F(p) = {(\gamma^\mu p_\mu + m) \over p^2 - m^2 + i \epsilon} </math>

ここに <math>\gamma^\mu</math> はディラック方程式の共変正を表す[[ガンマ行列]]である。しばしば、ガンマ行列は[[ファインマンのスラッシュ記法]]を使い、次のように短く書かれる。

:<math>\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\epsilon} = {1 \over p\!\!\!/ - m + i\epsilon}. </math>

位置空間では、

:<math>S_F(x-y) = \int{{d^4 p\over (2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} }\, {(\gamma^\mu p_\mu + m) \over p^2 - m^2 + i \epsilon} 

= \left({\gamma^\mu (x-y)_\mu \over |x-y|^5} 
+ {  m \over |x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|).
</math>
となる。
<!---If the particle possesses [[spin (quantum mechanics)|spin]] then its propagator is in general somewhat more complicated, as it will involve the particle's spin or polarization indices.  The momentum-space propagator used in Feynman diagrams for a [[Dirac equation|Dirac]] field representing the [[electron]] in [[quantum electrodynamics]] has the form

:<math> \tilde{S}_F(p) = {(\gamma^\mu p_\mu + m) \over p^2 - m^2 + i \epsilon} </math>

where the <math>\gamma^\mu</math> are the [[gamma matrices]] appearing in the covariant formulation of the Dirac equation.  It is sometimes written, using [[Feynman slash notation]],

:<math>\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\epsilon} = {1 \over p\!\!\!/ - m + i\epsilon} </math>

for short. In position space we have:

:<math>S_F(x-y) = \int{{d^4 p\over (2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} }\, {(\gamma^\mu p_\mu + m) \over p^2 - m^2 + i \epsilon} 

= \left({\gamma^\mu (x-y)_\mu \over |x-y|^5} 
+ {  m \over |x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|).
</math>-->

これは次の式でファインマンのプロパゲーターに関連付けられている。

:<math>S_F(x-y) = (i \partial\!\!\!/ + m) G_F(x-y)</math>

ここに <math>\partial\!\!\!/ := \gamma^\mu \partial_\mu</math> である。

=== 量子電磁力学 ===
[[ゲージ理論]]の中の[[ゲージ粒子|ゲージボゾン]] (gauge boson) のプロパゲーターは、ゲージ固定の方法の選択に依存している。ファインマンと[[エルンスト・シュテュッケルベルク]] (Ernst Stueckelberg) の使用したゲージに対して、[[光子]]のプロパゲーターは、

:<math>{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\epsilon }.</math>

である。質量を持つベクトル場のプロパゲーターはシュティッケルベルグのラグランジアンから導出することができる。ゲージパラメータ <math>\lambda</math> を持つ一般的な形式は次式となる。

:<math> \frac{g_{\mu\nu} - k_\mu k_\nu / m^2}{k^2-m^2 + i \epsilon} + \frac{k_\mu k_\nu /m^2}{k^2 -
 m^2/\lambda + i \epsilon}.</math>

<!---この一般的な形で、<math>\lambda=0</math> のユニタリゲージのプロパゲーターを得る。<math>\lambda=1</math> に対してはファインマン、もしくはトフーフトゲージのプロパゲーター、また、 <math>\lambda=\infty</math> に対してはランダウ、もしくはローレンツゲージのプロパゲーターである。また、他の記法もあり、ゲージパラメータは <math>\lambda</math> の逆数である記法もある。しかし、プロパゲーターの名前はその最終状態に関係していて、ゲージパラメータの値には関係する必然性はない。

ユニタリゲージ：
:<math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-m^2+i\epsilon}.</math>

ファインマン（トフーフト）ゲージ：
:<math>\frac{g_{\mu\nu}}{k^2-m^2+i\epsilon}.</math>

ランダウ（ローレンツ）ゲージ：
:<math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}}{k^2-m^2+i\epsilon}.</math>-->

<!---This is related to the Feynman propagator by 

:<math>S_F(x-y) = (i \partial\!\!\!/ + m) G_F(x-y)</math>

where <math>\partial\!\!\!/ := \gamma^\mu \partial_\mu</math>.

The propagator for a [[gauge boson]] in a [[gauge theory]] depends on the choice of convention to fix the gauge.  For the gauge used by Feynman and [[Ernst Stueckelberg|Stueckelberg]], the propagator for a [[photon]] is

:<math>{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\epsilon }.</math>

The propagator for a massive vector field can be derived from the Stueckelberg Lagrangian. The general form with gauge parameter <math>\lambda</math> reads

:<math> \frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-m^2+i\epsilon}+\frac{\frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-\frac{m^2}{\lambda}+i\epsilon}.</math>

With this general form one obtains the propagator in unitary gauge for <math>\lambda=0</math>, the propagator in Feynman or 't Hooft gauge for <math>\lambda=1</math> and in Landau or Lorenz gauge for <math>\lambda=\infty.</math> There are also other notations where the gauge parameter is the inverse of <math>\lambda</math>. The name of the propagator however refers to its final form and not necessarily to the value of the gauge parameter.

Unitary gauge:
:<math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{m^2}}{k^2-m^2+i\epsilon}.</math>

Feynman ('t Hooft) gauge:
:<math>\frac{g_{\mu\nu}}{k^2-m^2+i\epsilon}.</math>

Landau (Lorenz) gauge:
:<math>\frac{g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}}{k^2-m^2+i\epsilon}.</math>-->
== 関連する特異函数 ==
スカラープロパゲーターはクライン・ゴルドン方程式のグリーン函数である。[[場の量子論]]で重要な関連する特異函数が存在する。ビヨルケン (Bjorken) とドレル (Drell) の記法を使う<ref name="BD">Bjorken and Drell, Appendix C</ref>。またボゴリューボフ (Bogolyubov) とシルコフ (Shirkov) の (Appendix A) も参照のこと。これらの函数は非常に単純に、場の作用素の積の真空期待値 ([[:en:vacuum expectation value]]) で定義される。
<!---==Related singular functions==
The scalar propagators are Green's functions for the Klein&ndash;Gordon equation. There are related singular functions which are important in [[quantum field theory]]. We follow the notation in Bjorken and Drell.<ref name="BD">Bjorken and Drell, Appendix C</ref> See also Bogolyubov and Shirkov (Appendix A). These function are most simply defined in terms of the [[vacuum expectation value]] of products of field operators.-->

=== クライン&ndash;ゴルドン方程式のプロパゲーター ===

==== パウリ&ndash;ジョルダン函数 ====
2つのスカラー場の作用素の交換子はパウリ・ジョルダン函数 <math>\Delta(x-y)</math> を次のように定義する<ref name="BD"/>。

:<math>\langle 0 | \left[ \Phi(x),\Phi(y) \right] | 0 \rangle = i \Delta(x-y)</math>
で、ここに
:<math>\,\Delta(x-y) = G_\mathrm{adv} (x-y) - G_\mathrm{ret}(x-y)</math>
である。

これは <math>\,\Delta(x-y) = -\Delta(y-x)</math> 満たし、<math>(x-y)^2 < 0</math> であればゼロである。
<!---The commutator of two scalar field operators defines the Pauli&ndash;Jordan function <math>\Delta(x-y)</math> by<ref name="BD"/>

:<math>\langle 0 | \left[ \Phi(x),\Phi(y) \right] | 0 \rangle = i \Delta(x-y)</math>
with
:<math>\,\Delta(x-y) = G_\mathrm{adv} (x-y) - G_\mathrm{ret}(x-y)</math>

This satisfies <math>\,\Delta(x-y) = -\Delta(y-x)</math> and is zero if <math>(x-y)^2 < 0</math>.-->

==== 正と負の周波数部分（カットプロパゲーター） ====
カットプロパゲーターとしばしば呼ばれる、<math>\Delta(x-y)</math> の正と負の周波数部分を相対論的不変な方法で定義することができる。

正の周波数部分は次のように定義することができる。
:<math>\Delta_+(x-y) = \langle 0 | \Phi(x) \Phi(y) |0 \rangle </math>,

負の周波数部分は次のように定義することができる。
:<math>\Delta_-(x-y) = \langle 0 | \Phi(y) \Phi(x) |0 \rangle </math>.

これらは次の2つの式を満たす。<ref name="BD"/> 
:<math>\,i \Delta = \Delta_+ - \Delta_-</math>
:<math>(\Box_x + m^2) \Delta_{\pm}(x-y) = 0.</math>
<!---We can define the positive and negative frequency parts of <math>\Delta(x-y)</math>, sometimes called cut propagators,  in a relativistically invariant way.

This allows us to define the positive frequency part:
:<math>\Delta_+(x-y) = \langle 0 | \Phi(x) \Phi(y) |0 \rangle </math>,

and the negative frequency part:
:<math>\Delta_-(x-y) = \langle 0 | \Phi(y) \Phi(x) |0 \rangle </math>.

These satisfy<ref name="BD"/> 
:<math>\,i \Delta = \Delta_+ - \Delta_-</math>

and
:<math>(\Box_x + m^2) \Delta_{\pm}(x-y) = 0.</math>-->

==== 補助函数 ====
2つのスカラー場の作用素の反交換関係は、次式によって <math>\Delta_1(x-y)</math> 函数を定義する。
:<math>\langle 0 | \left\{ \Phi(x),\Phi(y) \right\} | 0 \rangle = \Delta_1(x-y)</math>
ここに
:<math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_+ (x-y) + \Delta_-(x-y)</math>
である。この式は、<math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_1(y-x).</math>を満たす。
<!---The anti-commutator of two scalar field operators defines <math>\Delta_1(x-y)</math> function by
:<math>\langle 0 | \left\{ \Phi(x),\Phi(y) \right\} | 0 \rangle = \Delta_1(x-y)</math>
with
:<math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_+ (x-y) + \Delta_-(x-y).</math>

This satisfies <math>\,\Delta_1(x-y) = \Delta_1(y-x).</math>-->

=== クライン・ゴルドン方程式のグリーン函数 ===
<!---===Green's functions for the Klein-Gordon equation===-->
上記に定義された遅延、前進、ファインマンプロパゲーターは、クライン・ゴルドン方程式のグリーン函数である。それらは、<ref name="BD"/>により特異函数へ関連づけられている。
*<math>\, G_\mathrm{ret}(x-y) = -\Delta(x-y) \Theta(x_0-y_0) </math>
*<math>\, G_\mathrm{adv}(x-y) = \Delta(x-y) \Theta(y_0-x_0) </math>
*<math>\,2 G_F(x-y) = -i \Delta_1(x-y) + \epsilon(x_0 - y_0) \Delta(x-y) </math>
ここに、<math>\,\epsilon(x_0-y_0) = 2 \Theta(x_0-y_0) - 1</math> である。
<!---The retarded, advanced and Feynman propagators defined above are all Green's functions for the Klein-Gordon equation. They are related to the singular functions by<ref name="BD"/>
*<math>\, G_\mathrm{ret}(x-y) = -\Delta(x-y) \Theta(x_0-y_0) </math>
*<math>\, G_\mathrm{adv}(x-y) = \Delta(x-y) \Theta(y_0-x_0) </math>
*<math>\,2 G_F(x-y) = -i \Delta_1(x-y) + \epsilon(x_0 - y_0) \Delta(x-y) </math>

where <math>\,\epsilon(x_0-y_0) = 2 \Theta(x_0-y_0) - 1.</math>-->

== 脚注・出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[James Bjorken|Bjorken, J.D.]], [[Sidney Drell|Drell, S.D.]], ''Relativistic Quantum Fields'' (Appendix C.), New York: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0.
* [[Nikolay Bogolyubov|N. N. Bogoliubov]], [[Dmitry Shirkov|D. V. Shirkov]], ''Introduction to the theory of quantized fields'', Wiley-Interscience, ISBN 0-470-08613-0 (Especially pp.&nbsp;136–156 and Appendix A)
* Edited by [[セシル・ドウィット＝モレット|DeWitt, Cécile]] and [[ブライス・ドウィット|DeWitt, Bryce]], ''Relativity, Groups and Topology'', section Dynamical Theory of Groups & Fields, (Blackie and Son Ltd, Glasgow), Especially p615-624, ISBN 0-444-86858-5
* Griffiths, David J., ''Introduction to Elementary Particles'', New York: John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-60386-4
* Griffiths, David J., ''Introduction to Quantum Mechanics'', Upper Saddle River: Prentice Hall, 2004. ISBN 0-131-11892-7
* Halliwell, J.J., Orwitz, M. ''Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology'', [[arXiv:gr-qc/9211004]]
* [[Kerson Huang|Huang, Kerson]], ''Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals'' (New York: J. Wiley & Sons, 1998), ISBN 0-471-14120-8
* Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard ''Quantum Field Theory'', New York: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
* Pokorski, Stefan, ''Gauge Field Theories'', Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-36846-4  ''(Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)''
* Schulman, Larry S., ''Techniques & Applications of Path Integration'', Jonh Wiley & Sons (New York-1981) ISBN 0-471-76450-7

== 外部リンク ==
* [https://arxiv.org/abs/quant-ph/0205085 Three Methods for Computing the Feynman Propagator]

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[[Category:量子力学]]
[[Category:場の量子論]]
[[Category:理論物理学]]