プロホロフの定理のソースを表示

[[数学]]の[[測度論]]の分野における'''プロホロフの定理'''（プロホロフのていり、{{Lang-en-short|Prokhorov's theorem}}）とは、[[確率測度]]の空間内での[[測度の緊密性]]と相対[[コンパクト性]]（したがって{{仮リンク|測度の収束|label=弱収束|en|Convergence of measures}}）の概念を関連付けるものである。完備距離空間上の確率測度の研究を行った[[ソビエト連邦]]の数学者{{仮リンク|ユリ・プロホロフ|en|Yuri Vasilyevich Prokhorov}}の名にちなむ。「プロホロフの定理」という語はまた、直接的あるいは逆に関する一般化に対しても用いられている。

== 定理の内容 ==

<math>(S, \rho)</math> を[[可分空間|可分]][[距離空間]]とする。
（[[ボレルσ代数|ボレル σ-代数]]を備える）<math>S</math> 上で定義される確率測度の全体を <math>\mathcal{P}(S)</math> とする。

'''定理'''
# ある確率測度の全体 <math>K\subset \mathcal{P}(S)</math> が[[測度の緊密性|緊密]]であるための必要十分条件は、{{仮リンク|測度の収束|label=弱収束|en|weak convergence of measures}}位相を備える空間 <math>\mathcal{P}(S)</math> において <math>K</math> の閉包が[[点列コンパクト]]であることである。
# そのような弱収束位相を備える空間 <math>\mathcal{P}(S)</math> は、[[距離化定理|距離化可能]]である。
# さらに <math>(S,\rho)</math> は[[完備距離空間|完備距離]]（したがって <math>(S,\rho)</math> は[[ポーランド空間]]）であると仮定する。このとき、弱収束位相と同値であるような <math>\mathcal{P}(S)</math> 上のある完備距離 <math>d_0</math> が存在する。さらに、<math> K\subset \mathcal{P}(S)</math> が緊密であるための必要十分条件は、<math> K</math> の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]が <math>(\mathcal{P}(S),d_0)</math> においてコンパクトであることである。

== 系 ==

ユークリッド空間に対しては、次が成立する。
* <math> (\mu_n)</math> が <math>k</math>-次元[[ユークリッド空間]]上の確率測度の全体 <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^k)</math> 内の緊密な[[列 (数学)|列]]であるなら、ある確率測度 <math>\mu\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^k)</math> に弱収束するようなある[[部分列]] <math>(\mu_{n_k})</math> が存在する。

* <math> (\mu_n)</math> が <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^k)</math> 内の緊密な列で、そのすべての弱収束する部分列 <math>(\mu_{n_k})</math> が同一の極限 <math>\mu\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^k)</math> を持つものであるなら、列 <math>(\mu_n)</math> も <math>\mu</math> に弱収束する。

== 拡張 ==

プロホロフの定理は、[[複素測度]]や有限の[[符号付測度]]を考慮できるように次のように拡張される。

'''定理'''
<math>(S,\rho)</math> をある完備な可分距離空間とし、<math>\Pi</math> を <math>S</math> 上のあるボレル複素測度の族とする。このとき、以下の二つの陳述は同値である。
* <math>\Pi</math> は点列コンパクト。すなわち、すべての列 <math>\{\mu_n\}\subset\Pi</math> には弱収束する部分列が存在する。
* <math>\Pi</math> は{{仮リンク|全変動|label=全変動ノルム|en|total variation}}について緊密かつ一様有界である。

== 解説 ==

プロホロフの定理はコンパクト性の概念を用いて緊密性を表現するものであるため、コンパクト性については[[アスコリ＝アルツェラの定理]]がしばしば代用される。函数空間において、このことは{{仮リンク|連続率|en|modulus of continuity}}あるいは同様の適当な概念を用いて緊密性を特徴付けることを意味する &mdash; 
{{仮リンク|古典ウィーナー空間|label=古典ウィーナー空間における緊密性|en|classical Wiener space}}あるいは[[スコロホッド空間における緊密性]]を参照されたい。

プロホロフの定理には、いくつかの非自明かつ深い議論を必要とする拡張が存在する。しかしそれらの結果は、元の結果の応用との関連性や重要性を見え辛くしてしまうものではない。

== 参考文献 ==
<references/>
* {{cite book | last=Billingsley | first=Patrick | title=Convergence of Probability Measures | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1999 | isbn=0-471-19745-9}}
* {{cite book | last=Bogachev| first=Vladimir | title=Measure Theory Vol 1 and 2| publisher=Springer | year=2006| isbn=978-3-540-34513-8}}
* {{cite journal| last=Prokhorov | first=Yuri V.| title=Convergence of random processes and limit theorems in probability theory | journal=Theory of Prob. And Appl. I | volume=2 | year=1956 | pages=157&ndash;214 | language=English translation| doi=10.1137/1101016| issue=2 }}
* {{cite book | last=Dudley| first=Richard. M. | title=Real analysis and Probability| publisher=Chapman & Hall | year=1989 | isbn=0-412-05161-3 }}

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