ヘッケ指標のソースを表示

{{要改訳}}
[[数論]]では、'''ヘッケ指標'''(Hecke character)は[[ディリクレ指標]]の一般化であり、[[エーリッヒ・ヘッケ]]により[[ディリクレのL-函数]]よりも大きな [[L-函数]]のクラスを構成するために導入された。ヘッケのL-函数は[[デデキントゼータ函数]]の自然な設定と[[リーマンゼータ函数]]の満たす[[函数等式]]に似た函数等式を持つ。


<!---In [[number theory]], a '''Hecke character''' is a generalisation of a [[Dirichlet character]], introduced by [[Erich Hecke]] to construct a class of [[L-function|''L''-function]]s larger than [[Dirichlet L-function|Dirichlet ''L''-functions]], and a natural setting for the [[Dedekind zeta-function]]s and certain others which have [[functional equation (L-function)|functional equations]] analogous to that of the [[Riemann zeta-function]].

A name sometimes used for ''Hecke character''  is the German term  '''Größencharakter''' (often written Grössencharakter, Grossencharacter, etc.).-->

==定義==
'''ヘッケ指標'''は、[[代数体|数体]]や[[大域体|大域函数体]]の[[イデール類群]]の[[指標 (数学)#乗法的指標|（擬）指標]](Multiplicative character)である。ヘッケ指標は、射影的写像をもつ合成を経由して、主イデール上自明な{{仮リンク|イデール|en|principal idele}}の擬指標に一意に対応する。

この定義は指標の定義に依存している。指標の定義は書籍の筆者により少し異なっている。0 を含まない複素数（「擬指標とも言う）への準同型として定義されるかもしれないし、[[円周群|'''C''' の単位円の群]](unit circle in '''C''')（「ユニタリ性」）であるかもしれない。任意のイデール類群の擬指標は、一意的にユニタリ指標にノルムの実数べきをかけた値として書くことができ、2つの定義にさほどの大きな差異はない。

ヘッケ指標 χ の'''導手'''(conductor)は、χ が mod m のヘッケ指標となる最大イデアルの m のことである。ここにmod m のヘッケ指標 χ とは、全ての v-adic な成分が 1 + m O<sub>v</sub> にあるような有限なイデール群の上の指標と考えたとき、χ が自明な場合を言う。
<!---==Definition using ideles==
A '''Hecke character''' is a [[Character (mathematics)#Multiplicative character|character]] of the [[idele class group]] of a [[number field]] or [[global function field]]. It corresponds uniquely to a character of the [[idele group]] which is trivial on [[principal idele]]s, via composition with the projection map.

This definition depends on the definition of a character, which varies slightly between authors: It may be defined as a homomorphism to the non-zero complex numbers (also called a "quasicharacter"), or as a homomorphism to the [[circle group|unit circle in '''C''']] ("unitary"). Any quasicharacter (of the idele class group) can be written uniquely as a unitary character times a real power of the norm, so there is no big difference between the two definitions.

The '''conductor''' of a Hecke character χ is the largest ideal ''m'' such that χ is a Hecke character mod ''m''. Here we say that χ is a Hecke character mod ''m'' if χ (considered as a character on the idele group) is trivial on the group of finite ideles whose every v-adic component lies in 1 + ''m''O<sub>v</sub>.-->

==量指標==

ヘッケに遡ると、ヘッケ指標の元となる量指標(Größencharakter、Grössencharakter, Grossencharacterなどと書かれる）の定義は、分数イデアル上の指標を使っていた。[[代数体|数体]] K に対し、m = m<sub>f</sub>m<sub>∞</sub> を、'''有限部分'''としては K のイデアル m<sub>f</sub> を持ち、'''無限部分'''としては K の実数の[[#座|座]](place)の「形式的な」積として持つ {{仮リンク|K-モジュラス|en|Modulus (algebraic number theory)}}(modulus)とする。I<sub>m</sub> で K の分数イデアルの群を素イデアル m<sub>f</sub> を表し、P<sub>m</sub> で主分数イデアル (a) の部分群を表す。ここに a は、その因子の多重度に応じて、各々の m の座で 1 に近く。m<sub>f</sub> の中の各々の有限の座 v に対し、ord<sub>v</sub>(a - 1) は、少なくとも m<sub>f</sub> の中の v の成分と同じ大きさであり、a は m<sub>∞</sub> への各々の実埋め込みの下では正である。modulus m を持つ量指標は、I<sub>m</sub> から 0 でない複素数への群準同型であり、P<sub>m</sub> の中のイデアル (a) に対し、その値は、K のすべてのアルキメデス的完備化の乗法群の積から 0 でない複素数への連続写像の a での値に等しい。アルキメデス的完備化の乗法群上では、この準同型の各々の局所成分は、同じ実数成分を持っている。（ここに、K 上の様々なアルキメデス的な座に対応する埋め込みを使い、K のアルキメデス的完備化の積の中へ a を埋め込む。）このようにして、量指標は modulo m とする{{仮リンク|射類群|en|ray class group}}(ray class group)上で定義される。ここの射類群とは商 I<sub>m</sub>/P<sub>m</sub> である。

厳密に言うと、ヘッケは、総実な生成子を持つような場合の主イデアルの振る舞いについての基本的な事項を作った。従って、上の定義について、彼は全ての実数の座が現れるモジュラスを持つ仕事をしたのみであった。無限部分 m<sub>∞</sub> は、現在では無限タイプの考え方に含まれている。

<!---==Definition using ideals==

The original definition of a Hecke character, going back to Hecke, was in terms of
a character on [[fractional ideal]]s.  For a [[number field]] ''K'', let
''m'' = ''m''<sub>''f''</sub>''m''<sub>∞</sub> be a
''K''-[[Modulus (algebraic number theory)|modulus]], with ''m''<sub>''f''</sub>, the "finite part", being an integral ideal of ''K'' and ''m''<sub>∞</sub>, the "infinite part", being a (formal) product of real [[Place (mathematics)#Places|place]]s of ''K''.  Let ''I''<sub>''m''</sub>
denote the group of fractional ideals of ''K'' relatively prime to ''m''<sub>''f''</sub> and
let ''P''<sub>''m''</sub> denote the subgroup of principal fractional ideals (''a'')
where ''a'' is near 1 at each place of ''m'' in accordance with the multiplicities of
its factors: for each finite place ''v'' in ''m''<sub>''f''</sub>, ord<sub>''v''</sub>(''a'' - 1) is at least as large as the exponent for ''v'' in ''m''<sub>''f''</sub>, and ''a'' is positive under each real embedding in ''m''<sub>∞</sub>.  A Hecke character with modulus ''m''
is a group homomorphism from ''I''<sub>''m''</sub> into the nonzero complex numbers
such that on ideals (''a'') in ''P''<sub>''m''</sub> its value is equal to the
value at ''a'' of a continuous homomorphism to the nonzero complex numbers from the product of the multiplicative groups of all archimedean completions of ''K'' where each local component of the homomorphism has the same real part (in the exponent). (Here we embed ''a'' into the product of archimedean completions of ''K'' using embeddings corresponding to the various archimedean places on ''K''.)  Thus a Hecke character may be defined on the [[ray class group]] modulo ''m'', which is the quotient ''I''<sub>''m''</sub>/''P''<sub>''m''</sub>.

Strictly speaking, Hecke made the stipulation about behavior on principal ideals for those admitting a totally positive generator.  So, in terms of the definition given above, he really only worked with moduli where all real places appeared.
The role of the infinite part ''m''<sub>∞</sub> is now subsumed under the notion of
an infinity-type.-->

==量指標とヘッケ指標の関係==
両者は1対1に対応する本質的に同じ概念であるが、イデアルでの定義はイデール的な定義よりも非常に複雑で、ヘッケの定義したことの動機は、（ヘッケのL-函数と呼ばれる）L-函数の構成にあった。<ref>As in {{harvnb|Husemöller|2002|loc=chapter 16}}</ref> ヘッケのL-函数はディリクレのL-函数の考えを、有理数から他の代数体へ拡張したものである。量指標 &chi; に対し、そのL-函数は、次の[[ディリクレ級数]]として定義される。
:<math>\sum_{(I,m)=1} \chi(I) N(I)^{-s} = L(s, \chi)\, </math>
の和は、量指標のモジュラス m と素な整数イデアルを渡る。記号 N(I) は{{仮リンク|イデアルノルム|en|ideal norm}}(ideal norm)を意味する。部分群 P<sub>m</sub> 上の量指標の振る舞いを統制する共通の実数部の条件は、ディリクレ級数がある適切な半平面の領域で絶対収束することを意味している。ヘッケはこれらのL-函数が全複素平面へ有理型接続を持ち、指標が自明であるときには s = 1 でオーダー 1 である極を持ち、それ以外では解析的であることを証明した。原始ヘッケ指標（原始ディリクレ指標に同じ方法である modulus に相対的に定義された）に対し、ヘッケは、これらのL-函数が指標の L-函数の函数等式を満たし、L-函数の複素共役指標であることを示した。
<!---==Relationship between the definitions==
The ideal definition is much more complicated than the idelic one, and Hecke's motivation for his definition was to construct ''L''-functions (sometimes referred to as '''Hecke ''L''-functions''')<ref>As in {{harvnb|Husemöller|2002|loc=chapter 16}}</ref> that extend the notion of a Dirichlet ''L''-function from the rationals to other number fields.  For a Hecke character &chi;, its ''L''-function is defined to be the [[Dirichlet series]]

:<math>\sum_{(I,m)=1} \chi(I) N(I)^{-s} = L(s, \chi)\, </math>

carried out over integral ideals relatively prime to the modulus ''m'' of the Hecke character.
The notation ''N(I)'' means the [[ideal norm]].  The common real part condition governing the behavior of Hecke characters on the subgroups ''P''<sub>''m''</sub> implies these
Dirichlet series are absolutely convergent in some right half-plane.  Hecke proved these ''L''-functions have a meromorphic continuation to the whole complex plane, being analytic except for a simple pole of order 1 at ''s'' = 1 when the character is trivial.  For primitive Hecke characters (defined relative to a modulus in a similar manner to primitive Dirichlet characters), Hecke showed these ''L''-functions satisfy a functional equation relating the values of the ''L''-function of a character and the ''L''-function of its complex conjugate character.-->

主イデアル上の座と、無限での座を含む全ての例外有限集合の上で 1 である単円の上への写像を取ることで、イデール類群の指標 ψ を考える。すると、ψ はイデアル群 I<sup>S</sup> の指標 χ を生成し、イデアル群は S 上に入らない素イデアル上の[[自由アーベル群]]となる。<ref name=H204>Heilbronn (1967) p.204</ref> S に入らない各々の素イデアル '''p''' の統一された元 π を取り、各々の '''p''' を、'''p''' の中では π であり、そうでない場合は 1 であるようなイデールのクラスへ写すことにより、I<sup>S</sup> からイデアル類への写像 Π を定義することができる。χ を Π と ψ の合成とすると、χ はイデアル群上の指標としてうまく定義できる。<ref name=H205>Heilbronn (1967) p.205</ref>

逆の方向では、I<sup>S</sup> の'''許容'''(admissible)指標 χ が与えられると、一意にイデール類群 ψ が対応する。<ref>Tate (1967) p.169</ref> ここの許容とは、集合 S を基礎とする modulus '''m''' が存在し、指標 χ が 1 mod '''m''' であるイデアル上で 1 となることを言う。<ref name=H207>Heilbronn (1967) p.207</ref>
<!--Consider a character ψ of the idele class group, taken to be a map into the unit circle which is 1 on principal ideles and on an exceptional finite set ''S'' containing all infinite places.  Then ψ generates a character χ of the ideal group ''I''<sup>''S''</sup>, the free abelian group on the prime ideals not in ''S''.<ref name=H204>Heilbronn (1967) p.204</ref>  Take a uniformising element π for each prime '''p''' not in ''S'' and define a map Π from ''I''<sup>''S''</sup> to idele classes by mapping each '''p''' to the class of the idele which is π in the '''p''' coordinate and 1 everywhere else.  Let χ be the composite of Π and ψ.  Then χ is well-defined as a character on the ideal group.<ref name=H205>Heilbronn (1967) p.205</ref>

In the opposite direction, given an ''admissible'' character χ of ''I''<sup>''S''</sup> there corresponds a unique idele class character ψ.<ref>Tate (1967) p.169</ref>  Here admissible refers to the existence of a modulus '''m''' based on the set ''S'' such that the character χ is 1 on the ideals which are 1 mod '''m'''.<ref name=H207>Heilbronn (1967) p.207</ref>-->

指標が'''大きい'''ということは、指標が有限オーダーのタイプではないことを意味する無限タイプであるということである。有限オーダーのヘッケ指標は、ある意味で、すべて[[類体論]]により考慮されていて、それらの L-函数は[[アルティンのL-函数]]により[[アルティン相互法則]]として示されている。しかし、{{仮リンク|ガウス有理数|label=ガウス体|en|Gaussian rational}}(Gaussian field)と同じくらい単純な体でさえ、重要な方法で有限のオーダーを超えたヘッケ指標を持っている（以下の例を参照）。後日の[[虚数乗法]]論の発達では、大きな指標の固有な座の存在が、[[代数多様体]]の、（ひいては、[[モチーフ (数学)|モチーフ]]の）重要なクラスの[[ハッセ・ヴェイユのゼータ函数|ハッセ・ヴェイユのL-函数]]を提供することになることを示していた。
<!--The characters are 'big' in the sense that the infinity-type when present non-trivially means these characters are not of finite order. The finite-order Hecke characters are all, in a sense, accounted for by [[class field theory]]: their ''L''-functions are [[Artin L-function|Artin ''L''-function]]s, as [[Artin reciprocity]] shows. But even a field as simple as the [[Gaussian rational|Gaussian field]] has Hecke characters that go beyond finite order in a serious way (see the example below). Later developments in [[complex multiplication]] theory indicated that the proper place of the 'big' characters was to provide the [[Hasse-Weil L-function|Hasse-Weil ''L''-function]]s for an important class of [[algebraic varieties]] (or even [[motive (algebraic geometry)|motive]]s).-->

==特別の場合==
* '''ディリクレ指標'''(Dirichlet character)は、有限位数のヘッケ指標である。ディリクレ指標は、あるモジュラス '''m''' に関して 1 であるような総正な主イデアルの集合での値により決定される。<ref name=H207/>
* '''{{仮リンク|ヒルベルト指標|en|Hilbert character}}'''(Hilbert character)は、導手が 1 の ディリクレ指標である。<ref name=H207/> ヒルベルト指標の数は体の類群の位数であり、類体論は類群の指標とヒルベルト指標を同一視する。
<!---==Special cases==
*A '''Dirichlet character''' is a Hecke character of finite order.  It is determined by values on the set of totally positive principal ideals which are 1 with respect to some modulus '''m'''.<ref name=H207/>
*A '''[[Hilbert character]]''' is a Dirichlet character of conductor 1.<ref name=H207/>  The number of Hilbert characters is the order of the class group of the field; more precisely, class field theory identifies the Hilbert characters with the characters of the class group.-->

==例==

*有理数体に対し、イデール類群は正の実数なす乗法群と p 進整数環の単数群全てとの積に同型である。ヘッケ指標は絶対値のべきとディリクレ指標の積となる。

*導手 1 のガウス整数のヘッケ指標 χ は次の形となる。
:<math>\chi((a)) = |a|^s(a/|a|)^{4n}</math>
:s を虚数で n を整数として、イデアル (a) の生成子を a とする。ガウス整数環の単数は i のべきなので、指数が 4 の倍数である事から指標がイデアルの上で定義される。

==テイトの論文==

L(s,χ) の函数等式のヘッケによるもともとの証明は、明らかに[[テータ函数]]を使った。[[ジョン・テイト]](John Tate)の1950年の[[テイト論文|プリンストンの博士論文]]は、指導教官の[[エミール・アルティン]](Emil Artin)の元で書かれ、[[ポントリャーギン双対]]を系統的に適用し、特殊函数を使う必要性をなくした。同様な理論が独立に[[岩澤健吉]](Kenkichi Iwasawa)よっても開発されていて、1950年のICMの彼のトークの主題となった。後日、ヴェイユ(Weil)による{{仮リンク|ブルバキ・セミナー|en|Bourbaki seminar}}(Bourbaki seminar)での再定式化 {{harvnb|Weil|1966}} では、テイトの証明のある部分は、[[シュワルツ超函数]]により表現されるのではないかということであった。与えられた χ によるイデールの作用の下に変換される K の[[アデール環]]の上の（[[:en:Schwartz–Bruhat test function|シュヴァルツ・ブリュアのテスト函数]]の）超函数は、次元 1 となる。
<!---==Tate's thesis==

Hecke's original proof of the functional equation for ''L''(''s'',χ) used an explicit [[theta-function]]. [[John Tate]]'s 1950 Princeton doctoral dissertation, written under the supervision of [[Emil Artin]], applied [[Pontryagin duality]] systematically, to remove the need for any special functions. A similar theory was independently developed by [[Kenkichi Iwasawa]] which was the subject of his 1950 ICM talk. A later reformulation in a [[Bourbaki seminar]] by {{harvnb|Weil|1966}} showed that parts of Tate's proof could be expressed by [[Distribution (mathematics)|distribution theory]]: the space of distributions (for [[Schwartz–Bruhat test function]]s) on the [[adele group]] of ''K'' transforming under the action of the ideles by a given χ has dimension 1.-->

==代数的ヘッケ指標==
'''代数的ヘッケ指標'''(algebraic Hecke character)とは、ヘッケ指標のうちで像がある[[代数体]]にふくまれるものをいう。代数的ヘッケ指標は、ヴェイユにより1947年に'''タイプ A<sub>0</sub>''' の名前で導入された。その指標は、[[類体論]]や[[虚数乗法]]論の中に現れる。<ref>Husemoller (1987) pp.299-300; (2002) p.320</ref>

たとえば E を代数体 F 上定義された[[楕円曲線]]で虚二次体 K による虚数乗法を持つものとする。S を K の素点のうち E が悪い還元をもつ素点と無限素点をすべて集めた集合とする。このとき K の代数的ヘッケ指標 χ が存在し、p を S に属さない素点とすると値 χ('''p''') が[[フロベニウス自己準同型]]の[[固有多項式]]の根であるという性質を持っている。このことから、E の[[ハッセ・ヴェイユのゼータ函数]]は、χ とその共役の 2つの L 函数の積であることがわかる。<ref>Husemoller (1987) pp.302-303; (2002) pp.321-322</ref>

==脚注==
*{{Anchors|座}}座　k, K, L を体で、k ⊂ K、f が K から L ∪ {∞} への写像で、1/∞=0、1/0=∞ を満たすとする。また、f(ab) = f(a)f(b) と f(a+b) = f(a) + f(b) が成立するとき、k 上で f が同型写像のとき、f を k 上の'''座'''(place)と言う。このとき、代数体では、K の R={x|f(x)≠∞} は付値環であり、極大イデアル m を通して、k 上の座の同型類と k 上の付値の同型類とが、1：1 に対応する。また、函数体では、一般には基礎体上の座が無限個存在する。座という用語は、英語版では、[[:en:place (mathematics)]]に存在するが、日本語版には対応する用語が見当たらないので脚注化した．

{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book | editor1-first=J.W.S. | editor1-last=Cassels | editor1-link=J. W. S. Cassels | editor2-first=Albrecht | editor2-last=Fröhlich | editor2-link=Albrecht Fröhlich | title=Algebraic Number Theory | year=1967 | publisher=Academic Press | zbl=0153.07403 }}
* {{cite book | last=Heilbronn | first=H. | authorlink=Hans Heilbronn | chapter=VIII.  Zeta-functions and L-functions | pages=204–230  | editor1-first=J.W.S. | editor1-last=Cassels | editor1-link=J. W. S. Cassels | editor2-first=Albrecht | editor2-last=Fröhlich | editor2-link=Albrecht Fröhlich | title=Algebraic Number Theory | year=1967 | publisher=Academic Press | zbl= }}
* {{cite book | last=Husemöller | first=Dale H. | title=Elliptic curves | others=With an appendix by Ruth Lawrence | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=111 |publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1987 | isbn=0-387-96371-5 | zbl=0605.14032 }}
*{{cite book | last=Husemöller | first=Dale | title=Elliptic curves | year=2002 | edition=second | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=111 | isbn=0-387-95490-2 | doi=10.1007/b97292 | zbl=1040.11043 }}
*{{cite book | author=W. Narkiewicz | title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers | edition=2nd | publisher=[[Springer-Verlag]]/[[Polish Scientific Publishers PWN]] | year=1990 | isbn=3-540-51250-0 | pages=334–343 | zbl=0717.11045 }}
*{{Neukirch ANT}}
*J. Tate, ''Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta functions'' (Tate's 1950 thesis), reprinted in ''Algebraic Number Theory'' edd [[J. W. S. Cassels]], [[Albrecht Fröhlich|A. Fröhlich]] (1967) pp.&nbsp;305–347.  {{zbl|1179.11041}}
* {{cite book | last=Tate | first=J.T. | authorlink=John Tate | chapter=VII.  Global class field theory | pages=162–203  | editor1-first=J.W.S. | editor1-last=Cassels | editor1-link=J. W. S. Cassels | editor2-first=Albrecht | editor2-last=Fröhlich | editor2-link=Albrecht Fröhlich | title=Algebraic Number Theory | year=1967 | publisher=Academic Press | zbl=1179.11041 }}
* {{citation | last=Weil | first=André | authorlink=André Weil | title=Functions Zetas et Distributions | year=1966 | publisher=Séminaire Bourbaki | volume=312 | url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1964-1966__9_/SB_1964-1966__9__523_0/SB_1964-1966__9__523_0.pdf }}
和書：
* 末綱恕一：「解析的整數論」、岩波書店（1950年2月10日）。第二章"ヘッケのＬ函数"。

{{L-functions-footer}}
{{DEFAULTSORT:へつけしひよう}}
[[Category:数論]]
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:数学に関する記事]]