ヘルダー条件のソースを表示

[[数学]]において、{{mvar|d}} 次元[[ユークリッド空間]]上の実あるいは複素数値函数 {{mvar|f}} が'''ヘルダー条件'''（ヘルダーじょうけん、{{Lang-en-short|Hölder condition}}）を満たす、あるいは'''ヘルダー連続'''であるとは、{{mvar|f}} の定義域内のすべての点 {{mvar|x}} と {{mvar|y}} に対して次の不等式を満たす非負の実定数 {{mvar|C}}, {{mvar|α}} が存在することを言う。

: <math> | f(x) - f(y) | \leq C \|x - y\|^{\alpha}. </math>

より一般に、この条件は任意の二つの[[距離空間]]の間の函数に対して考えることが出来る。このような数 {{mvar|α}} はヘルダー条件の指数と呼ばれる。{{math|1=''α'' = 1}} の場合は[[リプシッツ連続|リプシッツ条件]]を意味し、{{math|1=''α'' = 0}} の場合は単純に函数が[[有界函数|有界]]であることを意味する。この条件の名は、[[オットー・ヘルダー]]にちなむ。

実数直線のコンパクトな部分集合上の函数に対して、{{math|1=0 < ''α'' ≤ 1}} のときは、次の包含関係が成り立つ。

: '''[[微分可能函数|連続的微分可能]]''' ⊆'''[[リプシッツ連続]]''' ⊆ '''{{mvar|α}} ヘルダー連続''' ⊆ '''[[一様連続]]''' ⊆ '''[[連続写像|連続]]'''

== ヘルダー空間 ==

ヘルダー条件を満たす函数からなるヘルダー空間は、[[偏微分方程式]]の解法に関連して[[函数解析学]]の分野や、[[力学系]]の分野において基本的な概念である。あるユークリッド空間の開部分集合 Ω と非負の整数 ''k'' ≥ 0 に対するヘルダー空間 ''C''<sup>''k'',α</sup>(Ω) は、Ω 上高々 ''k'' 階までの連続な[[導函数]]を持ち、''k'' 階偏導函数が 0 < α ≤ 1 を満たす指数 α に対してヘルダー連続であるような函数からなる。この空間は局所凸[[位相線型空間]]である。ヘルダー係数

:<math> | f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x \neq y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha}, </math>

が有限であるなら、函数 ''f'' は「Ω において指数 α で一様ヘルダー連続」と言われる。この場合、ヘルダー係数は[[ノルム|半ノルム]]を与える。ヘルダー係数が単純に Ω の[[コンパクト空間|コンパクト]]な部分集合上で有界であるだけなら、函数 ''f'' は「Ω において指数 α で局所ヘルダー連続」と言われる。

函数 ''f'' と、その高々 ''k'' 階までの導函数が Ω の閉包上で有界であるなら、ヘルダー空間 <math>C^{k,\alpha}(\overline{\Omega})</math> には次のノルムが与えられる。

:<math> \| f \|_{C^{k, \alpha}} = \|f\|_{C^k}+\max_{| \beta | = k} \left | D^\beta f  \right |_{C^{0,\alpha}}</math>

ここで β は[[多重指数]]について変化し、

:<math>\|f\|_{C^k} = \max_{| \beta | \leq k} \sup_{x\in\Omega} \left |D^\beta f (x) \right |</math>

である。これらのノルムと半ノルムは単純に <math>| f |_{0,\alpha}</math> と <math>\| f \|_{k,\alpha}</math>、あるいは ''f'' の定義域への依存性を強調するために <math>| f |_{0, \alpha,\Omega}\;</math> と <math>\| f \|_{k, \alpha,\Omega}</math> のように表記される。Ω が開かつ有界であるなら、<math> C^{k,\alpha}(\overline{\Omega}) </math> はノルム <math> \|\cdot\|_{C^{k, \alpha}} </math> に関して[[バナッハ空間]]となる。

== ヘルダー空間のコンパクトな埋め込み ==

Ω をあるユークリッド空間（あるいはより一般に、全有界な距離空間）の有界部分集合とし、0 < α < β ≤ 1 を二つのヘルダー指数とする。このとき、対応するヘルダー空間には次の明らかな包含が存在する：

:<math>C^{0,\beta}(\Omega)\to C^{0,\alpha}(\Omega).</math>

ヘルダーノルムの定義より、''C''<sup>0,β</sup>(Ω) 内のすべての ''f'' に対して、不等式

:<math>| f |_{0,\alpha,\Omega}\le \mathrm{diam}(\Omega)^{\beta-\alpha} | f |_{0,\beta,\Omega}</math>

が成り立つため、この包含は連続である。さらにこの包含は、‖ · ‖<sub>0,β</sub> ノルムにおける有界集合が ‖ · ‖<sub>0,α</sub> ノルムにおいて相対コンパクトであるという意味で、コンパクトである。これは[[アスコリ＝アルツェラの定理]]の直接的な帰結である。実際、(''u<sub>n</sub>'') を ''C''<sup>0,β</sup>(Ω) 内のある有界列とすると、アスコリ＝アルツェラの定理より、一般性を失うことなく一様収束 ''u<sub>n</sub>'' → ''u'' と ''u'' = 0 を仮定できる。すると、

:<math>\frac{|u_n(x)-u_n(y)|}{|x-y|^\alpha}\le\left(\frac{|u_n(x)-u_n(y)|}{|x-y|^\beta}\right)^{\alpha/\beta}|u_n(x)-u_n(y)|^{1-\alpha/\beta} \le |u_n|_{0,\beta}^{\beta/\alpha}\,\left(2\|u_n\|_\infty\right)^{1-\alpha/\beta}=o(1)
 </math>

であるために、

:<math>|u_n-u|_{0,\alpha}=|u_n|_{0,\alpha}\to 0</math>

が成り立つ。


== 例 ==
* 0 < α ≤ β ≤ 1 なら、有界集合 Ω 上のすべての <math>C^{0,\beta}(\overline{\Omega})</math> ヘルダー連続な函数は、<math>C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})</math> ヘルダー連続でもある。これは β = 1 の場合も含むため、有界集合上のすべての[[リプシッツ連続]]な函数は ''C''<sup>0,α</sup> ヘルダー連続でもある。

* [0, 1] 上で定義される函数 ''f''(''x'') = ''x''<sup>β</sup>（β ≤ 1）は、0 < α ≤ β に対して ''C''<sup>0,α</sup> ヘルダー連続であるが、α > β に対してはそのようにならない典型的な例である。また、同様の函数 ''f'' を <math>[0,\infty)</math> 上に定義すると、それは α = β の場合のみ ''C''<sup>0,α</sup> ヘルダー連続となる。

* α > 1 に対し、[0, 1]（あるいは任意区間）上の任意の α&ndash;ヘルダー連続函数は定数である。

* 任意の α に対して ''α''&ndash;ヘルダー連続でないような一様連続函数も存在する。例えば、[0, 1/2] 上では ''f''(0) = 0 で定義され、その他では ''f''(''x'') = 1/log(''x'') で定義される函数は連続であり、[[ハイネ・カントールの定理]]によって一様連続となる。しかしその函数はどの位数のヘルダー条件も満たさない。

* [[カントール関数|カントール函数]]は α ≤ log(2)/log(3) に対してヘルダー連続であるが、それより大きいものに対してはそのようにならない。前者の場合、定義における不等式は定数 ''C'' := 2 に対して成立する。

* [0, 1] から正方形 [0, 1]<sup>2</sup> の上への[[ペアノ曲線]]は、1/2&ndash;ヘルダー連続であるように構成することが出来る。α > 1/2 の場合、単位区間からその正方形への α&ndash; ヘルダー連続函数の像は、正方形全体を埋めることはない。

* [[ブラウン運動]]のサンプルパスは、すべての α < 1/2 に対してほとんど確実に至る所、局所 α-ヘルダー連続である。

* 局所可積分で、その積分が適切な成長条件を満たす函数はヘルダー連続である。例えば、

::<math>u_{x,r} = \frac{1}{|B_r|} \int_{B_r(x)} u(y) dy</math>

:とし、''u'' が

::<math>\int_{B_r(x)} |u(y) - u_{x,r}|^2 dy \leq C r^{n+2\alpha}</math>

:を満たすなら、''u'' は指数 α のヘルダー連続である<ref>例えば Han and Lin, Chapter 3, Section 1 を参照。この結果はもともと [[:en:Sergio Campanato|Sergio Campanato]] によるものであった。</ref>。

* 距離に関してある固定された割合で振動が減衰する函数は、その減衰率によって決定される指数に関してヘルダー連続である。例えば、ある函数 ''u''(''x'') に対し、

::<math>w(u,x_0,r) = \sup_{B_r(x_0)} u - \inf_{B_r(x_0)} u</math>

:が、0 < λ < 1 を満たす固定された λ と、十分小さな任意の ''r'' に対して

::<math>w(u,x_0,\tfrac{r}{2}) \leq \lambda w(u,x_0,r)</math>

:を満たすなら、''u'' はヘルダー連続である。

* [[ソボレフ空間]]の指数が空間次元よりも低い場合、[[ソボレフ不等式|モレーの不等式]]によってソボレフ空間の函数は適切なヘルダー空間に埋め込まれる。正確には、''n'' < ''p'' ≤ ∞ であるなら ''p'' と ''n'' にのみ依存する定数 ''C'' が存在し、すべての ''u'' ∈ ''C''<sup>1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) ∩ ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) に対して

::<math>\|u\|_{C^{0,\gamma}(\mathbf{R}^n)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(\mathbf{R}^n)}</math>

:が成立する。ここで γ = 1 − (''n''/''p'') である。したがって、''u'' ∈ ''W''<sup>1, ''p''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) であるなら、必要に応じて測度 0 の集合上で再定義された後、''u'' は実際に指数 γ のヘルダー連続となる。

== 性質 ==
* α > 1/2 に対し、α&ndash;ヘルダー連続な弧によって連結される無限次元ヒルベルト空間 ''H'' の閉加法的部分群は、線型部分群である。1/2&ndash;ヘルダー連続な弧によって連結される ''H'' の閉加法的部分群には、線型部分群でないものもある。その一例として、ヒルベルト空間 ''L''<sup>2</sup>('''R''', '''R''') の加法的部分群 ''L''<sup>2</sup>('''R''', '''Z''') がある。

* 距離空間 ''X'' 上の任意の α&ndash;ヘルダー連続函数 ''f'' は、''k''-リプシッツな函数 ''f<sub>k</sub>'' の函数列 (''f<sub>k</sub>'') に対して、次を満たす意味でリプシッツ近似を許すものである：

::<math>\|f-f_k\|_{\infty,X}=O \left (k^{-\frac{\alpha}{1-\alpha}} \right ).</math>

:逆に、そのようなリプシッツ函数の列 (''f<sub>k</sub>'') は、ある α&ndash;ヘルダー連続な一様極限に収束する。

* ノルム空間 ''E'' の部分集合 ''X'' 上の任意の α&ndash;ヘルダー函数 ''f'' は、全空間への一様連続拡張を許す。そのような拡張は同じ定数 ''C'' と同じ指数 α に関してヘルダー連続である。そのような拡張の内、最も大きいものは次である：

::<math>f^*(x):=\inf_{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^\alpha\right\}.</math>

* 任意の α&ndash;ヘルダー函数 ''f'' の像のハウスドルフ次元は、高々 1/α である。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book | author=[[:en:Lawrence C. Evans|Lawrence C. Evans]] | title=Partial Differential Equations | publisher=American Mathematical Society, Providence | year=1998 | isbn=0-8218-0772-2}}
*{{Cite book|first1=D.|last=Gilbarg|first2=Neil|last2=Trudinger|authorlink2=:en:Neil Trudinger|title=Elliptic Partial Differential Equations of Second Order|publisher=Springer|publication-place=New York|year=1983|isbn=3-540-41160-7}}.
*{{Cite book|first1=Qing|last1=Han|first2=Fanghua|last2=Lin|authorlink2=:en:Lin Fanghua|title=Elliptic Partial Differential Equations|publisher=[[:en:Courant Institute of Mathematical Sciences|Courant Institute of Mathematical Sciences]]|publication-place=New York|year=1997|isbn=0-9658703-0-8|oclc=38168365|postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}} {{MathSciNet|id=1669352}}

{{DEFAULTSORT:へるたあしようけん}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:リプシッツ写像]]
[[Category:オットー・ヘルダー]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]