ヘロンの三角形のソースを表示

[[幾何学]]において'''ヘロンの三角形'''（ヘロンのさんかくけい）とは、3[[辺]]の長さと[[面積]]の全てが[[整数]]となる[[三角形]]である。この名称は、3辺の長さと面積を関連付けた[[アレクサンドリアのヘロン]]に由来している。広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。

== 性質 ==
3辺の長さがすべて整数である[[直角三角形]]は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。

[[Image:Heronian trig.png|thumb|right|''c'', ''e'', ''b''&nbsp;+&nbsp;''d'' の3つの辺と高さ ''a'' を持つ三角形]]
直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある（面積は 12）。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。

''a'', ''b'', ''c'' が直角三角形の3辺であり ''a'', ''d'', ''e'' もそうであるとすると、長さ ''a'' の辺で両者をつなぎ合わせた三角形（3辺の長さは ''c'' , ''e ,'' ''b''&nbsp;+&nbsp;''d'' ）の面積は <math>A=\frac{1}{2}(b+d)a</math> となる。''a'' が偶数であれば ''A'' は整数である。''a'' が奇数の場合、''b'' と ''d'' が共に偶数となる。''b''+''d'' が偶数なので、''A'' は整数となる。

すべてのヘロンの三角形が2つの「3辺の長さが整数である直角三角形」に分割されるとは限らない。一例として、3辺の長さが 5, 29, 30 である三角形がある。この三角形の面積は 72 でありヘロンの三角形の条件を満たすが、どの方向に配置しても[[高さ (三角形)|高さ]]が整数とならない。最初の条件を「3辺の長さが有理数である直角三角形」に緩和すると、常に分割は可能となる。例にあげた 5, 29, 30 の三角形は、7/5, 24/5, 5 と 143/5, 24/5, 29 の2つの三角形に分割することができる。全て有理数なので、適当な整数（この場合は5）をかけることにより全ての辺を整数にすることができる。

== 定理 ==
全てのヘロンの三角形は、3辺の長さが有理数である2つの直角三角形に分割することができる。

'''証明'''

右の図において、''b''&nbsp;+&nbsp;''d'', ''c'', ''e'' および面積 ''A'' は整数と仮定する。 ''b''&nbsp;+&nbsp;''d'' は ''c'', ''e'' より長いと仮定しても一般性を失わない。この仮定により、垂線の足が辺上に来ることが保障される。''c'', ''e'' は有理数（整数）なので、''a'', ''b'', ''d'' が有理数であることを示せばよい。

この三角形の面積の式は以下の通りである。
:<math>A=\frac{1}{2}(b+d)a</math>
この式を ''a'' ついて解くと以下のようになる。
:<math>a=\frac{2A}{b+d}</math>
仮定より <math>A</math> と <math>b+d</math> が整数なので、''a'' も有理数である。

[[ピタゴラスの定理]]より以下の2式が得られる。
:<math>a^2+b^2=c^2</math>
:<math>a^2+d^2=e^2</math>
上の式から下の式を引いて変形する。
:<math>b^2-d^2=c^2-e^2</math>
:<math>\Rightarrow (b-d)(b+d)=c^2-e^2</math>
:<math>\Rightarrow b-d=\frac{c^2-e^2}{b+d}</math>
''c'', ''e'', ''b''&nbsp;+&nbsp;''d'' は整数なので ''b'' - ''d'' も有理数となる。
:<math>b = \frac{(b+d)+(b-d)}{2}</math>
:<math>d = \frac{(b+d)-(b-d)}{2}</math>
なので、''b'', ''d'' も有理数となる。

== 3辺の一般式 ==
ヘロンの三角形の3辺の長さは以下の式で表すことができる<ref>Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine Analysis", pp.11-13; in R. D. Carmichael, 1959, ''The Theory of Numbers and Diophantine Analysis'', Dover.</ref>。

:<math>a=n(m^{2}+k^{2}) \, </math>
:<math>b=m(n^{2}+k^{2}) \, </math>
:<math>c=(m+n)(mn-k^{2}) \, </math>
:半周長<math>=s=(a+b+c)/2=mn(m+n) \, </math>
:面積<math>=mnk(m+n)(mn-k^{2}) \, </math>
:内接円の半径<math>=k(mn-k^{2}) \, </math>
:<math>s-a=n(mn-k^{2}) \, </math>
:<math>s-b=m(mn-k^{2}) \, </math>
:<math>s-c=(m+n)k^{2} \, </math>

''m'', ''n'', ''k'' は以下の条件を満たす整数である。
:<math>\gcd{(m,n,k)}=1</math>
:<math>mn > k^2 \ge m^2n/(2m+n)</math>
:<math> m \ge n \ge 1</math>

上の条件を満たさない ''m'', ''n'', ''k'' を用いてもヘロンの三角形になるが、これは小さいヘロン三角形を拡大したものになる。例えば ''m'' = 36, ''n'' = 4, ''k'' = 3 とすると、''a'' = 5220, ''b'' = 900, ''c'' = 5400 という三角形ができる。これは、5, 29, 30 という三角形と相似である。

== 例 ==
面積の小さいヘロンの三角形の例をあげる。

ここでは、3辺の長さが互いに素であるヘロンの三角形を、面積・周長の順に並べている。
{| class="wikitable"
|-
! 面積
! 周長
! b+d の長さ
! e の長さ
! c の長さ
|-
| 6
| 12
| 5
| 4
| 3
|-
| 12
| 16
| 6
| 5
| 5
|-
| 12
| 18
| 8
| 5
| 5
|-
| 24
| 32
| 15
| 13
| 4
|-
| 30
| 30
| 13
| 12
| 5
|-
| 36
| 36
| 17
| 10
| 9
|-
| 36
| 54
| 26
| 25
| 3
|-
| 42
| 42
| 20
| 15
| 7
|-
| 60
| 36
| 13
| 13
| 10
|-
| 60
| 40
| 17
| 15
| 8
|-
| 60
| 50
| 24
| 13
| 13
|-
| 60
| 60
| 29
| 25
| 6
|-
| 66
| 44
| 20
| 13
| 11
|-
| 72
| 64
| 30
| 29
| 5
|-
| 84
| 42
| 15
| 14
| 13
|-
| 84
| 48
| 21
| 17
| 10
|-
| 84
| 56
| 25
| 24
| 7
|-
| 84
| 72
| 35
| 29
| 8
|-
| 90
| 54
| 25
| 17
| 12
|-
| 90
| 108
| 53
| 51
| 4
|-
| 114
| 76
| 37
| 20
| 19
|-
| 120
| 50
| 17
| 17
| 16
|-
| 120
| 64
| 30
| 17
| 17
|-
| 120
| 80
| 39
| 25
| 16
|-
| 126
| 54
| 21
| 20
| 13
|-
| 126
| 84
| 41
| 28
| 15
|-
| 126
| 108
| 52
| 51
| 5
|-
| 132
| 66
| 30
| 25
| 11
|-
| 156
| 78
| 37
| 26
| 15
|-
| 156
| 104
| 51
| 40
| 13
|-
| 168
| 64
| 25
| 25
| 14
|-
| 168
| 84
| 39
| 35
| 10
|-
| 168
| 98
| 48
| 25
| 25
|-
| 180
| 80
| 37
| 30
| 13
|-
| 180
| 90
| 41
| 40
| 9
|-
| 198
| 132
| 65
| 55
| 12
|-
| 204
| 68
| 26
| 25
| 17
|-
| 210
| 70
| 29
| 21
| 20
|-
| 210
| 70
| 28
| 25
| 17
|-
| 210
| 84
| 39
| 28
| 17
|-
| 210
| 84
| 37
| 35
| 12
|-
| 210
| 140
| 68
| 65
| 7
|-
| 210
| 300
| 149
| 148
| 3
|-
| 216
| 162
| 80
| 73
| 9
|-
| 234
| 108
| 52
| 41
| 15
|-
| 240
| 90
| 40
| 37
| 13
|-
| 252
| 84
| 35
| 34
| 15
|-
| 252
| 98
| 45
| 40
| 13
|-
| 252
| 144
| 70
| 65
| 9
|-
| 264
| 96
| 44
| 37
| 15
|-
| 264
| 132
| 65
| 34
| 33
|-
| 270
| 108
| 52
| 29
| 27
|-
| 288
| 162
| 80
| 65
| 17
|-
| 300
| 150
| 74
| 51
| 25
|-
| 300
| 250
| 123
| 122
| 5
|-
| 306
| 108
| 51
| 37
| 20
|-
| 330
| 100
| 44
| 39
| 17
|-
| 330
| 110
| 52
| 33
| 25
|-
| 330
| 132
| 61
| 60
| 11
|-
| 330
| 220
| 109
| 100
| 11
|-
| 336
| 98
| 41
| 40
| 17
|-
| 336
| 112
| 53
| 35
| 24
|-
| 336
| 128
| 61
| 52
| 15
|-
| 336
| 392
| 195
| 193
| 4
|-
| 360
| 90
| 36
| 29
| 25
|-
| 360
| 100
| 41
| 41
| 18
|-
| 360
| 162
| 80
| 41
| 41
|-
| 390
| 156
| 75
| 68
| 13
|-
| 396
| 176
| 87
| 55
| 34
|-
| 396
| 198
| 97
| 90
| 11
|-
| 396
| 242
| 120
| 109
| 13
|}

(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17) の5つは、周長と面積が等しい。

== 正三角形に近いヘロンの三角形 ==
辺の長さが整数である[[正三角形]]の面積は[[無理数]]となるので、全ての正三角形はヘロンの三角形ではない。3辺の長さが公差1の等差数列をなす「正三角形に近い」ヘロンの三角形は無限に存在する（{{OEIS|A003500}}）。以下に最初のいくつかを示す。
{| class="wikitable" style="table-layout: fixed; width: 500px;"
! colspan="3" | 辺の長さ || rowspan="2" | 面積 || rowspan="2" | 内接円の半径 
|-
! ''n'' − 1 || ''n'' || ''n'' + 1
|- align="right"
| 3 || 4 || 5 || 6 || 1
|- align="right"
| 13 || 14 || 15 || 84 || 4
|- align="right"
| 51 || 52 || 53 || 1170 || 15
|- align="right"
| 193 || 194 || 195 || 16296 || 56
|- align="right"
| 723 || 724 || 725 || 226974 || 209
|- align="right"
| 2701 || 2702 || 2703 || 3161340 || 780
|- align="right"
| 10083 || 10084 || 10085 || 44031786 || 2911
|- align="right"
| 37633 || 37634 || 37635 || 613283664 || 10864
|}

中央の値 ''n'' は、前の ''n'' を4倍してもう1つ前の ''n'' を引いたものになっている(52&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;×&nbsp;14&nbsp;−&nbsp;4, 194&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;×&nbsp;52&nbsp;−&nbsp;14, etc.)。漸化式で表すと以下のようになる。
:<math>n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2}</math>
この数列は[[リュカ数列]]の一種であり、<math>n = (2 + \sqrt{3})^t + (2 - \sqrt{3})^t</math> と表すこともできる。面積 = ''A'', 内接円の半径 = ''y''とおくと、
:<math>\big((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\big)^2-2\big((n-1)^4+n^4+(n+1)^4\big) = (6n y)^2 = (4A)^2</math>
となり、{''n'', ''y''} の組は ''n''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;12''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;4 を満たす。''n'' = ''2x'' と変換すると、[[ペル方程式]] ''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;3''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1 が得られる。この解は√3の[[連分数]]展開によって得られる。

== 関連項目 ==
* [[ヘロンの公式]]

== 外部リンク ==
* {{mathworld|HeronianTriangle}}
* Online Encyclopedia of Integer Sequences [http://oeis.org/search?q=Heronian Heronian]
* {{citation |author=Wm. Fitch Cheney, Jr. |title=Heronian Triangles |journal=Am. Math. Monthly |volume=36 |issue=1 |pages=22–28 |date=January 1929 |jstor=2300173 }}
* {{citation |author=S. sh. Kozhegel'dinov |title=On fundamental Heronian triangles |journal=Math. Notes |volume=55 |issue=2 |pages=151–6 |year=1994 |doi=10.1007/BF02113294 |url=http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02113294}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:へろんのさんかくけい}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:三角形]]
[[Category:アレクサンドリアのヘロン]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]