ベクトルのなす角のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年1月31日 (水) 22:36 (UTC)}}
[[平面]]や[[空間]]上では、ふたつの[[幾何ベクトル|ベクトル]]のなす[[角度|角]]は[[図形]]的に求めることができる。
そしてベクトルはさらに、図形とは無関係なベクトルに一般化されるが、この一般的なベクトルでも二つの'''ベクトルのなす角'''を定義することができ、それにはベクトルの長さと内積を用いる。

==定義と性質==
任意の[[零ベクトル|零]]でないベクトル <math>\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}</math> について、次の値がベクトルのなす角となる。

:<math> \theta = \operatorname{Arccos} \frac{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle}{\lVert \boldsymbol{x} \rVert  \lVert \boldsymbol{y} \rVert} </math>

⟨'''''x''''', '''''y'''''⟩ は '''''x''''', '''''y''''' の[[内積]]、||'''''x'''''|| は '''''x''''' の[[ノルム]]（長さ）である。[[主値]]は 0 ≦ ''θ'' ≦ &pi; とするのが普通である。

ベクトルのなす角が 0 の場合、二つのベクトルは[[一次従属]]すなわち方向が同じであり、π/2 の場合は[[直交]]する。

==類似度==
{{詳細記事|コサイン類似度}}
ベクトルのなす角 ''θ'' の余弦である次の値をベクトルの'''類似度'''として、以下を定義する。

:<math> \cos \theta = \frac{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle}{\lVert \boldsymbol{x} \rVert \lVert \boldsymbol{y} \rVert} </math>

この値は0から1の間の値を取るが、2つのベクトル'''''x''''', '''''y'''''の向きが等しい（[[一次従属]]）ほど1に近づき、類似していることが分かる。

n個の要素をもつデータをn次のベクトル空間に落とし込み、それらがどれだけ類似しているかを比べるのにこの性質が利用されることがあり、特に'''コサイン類似度'''（{{lang-en-short|Cosine similarity}}）と呼ばれる。
この類似度を高速に算出するアルゴリズムに{{仮リンク|MinHash|en|MinHash}}などがあり、文章間の類似度判定などに用いられる。

== 関連項目 ==
* [[ハミング距離]]
* [[相関]]
* [[情報検索]]

{{DEFAULTSORT:へくとるのなすかく}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:角度]]
[[Category:人工知能]]