ベクトルポテンシャルのソースを表示

{{Otheruses|数学におけるベクトルポテンシャル|電磁気学におけるベクトルポテンシャル|電磁ポテンシャル|流体力学におけるベクトルポテンシャル|流れ関数}}
{{複数の問題
|精度=2015年4月
|正確性=2015年4月
}}
[[数学]]のうち[[ベクトル解析]]において、3次元[[ベクトル場]]'''''A''''' が、3次元ベクトル場'''''v''''' の'''ベクトルポテンシャル'''<ref name=fujimo>{{cite|和書
|author=藤本 淳夫
|title=ベクトル解析 (現代数学レクチャーズ C- 1)
|publisher=[[培風館]]
|date=1979-1
}}</ref><ref name=fukaya>{{cite|和書
|author=深谷 賢治
|title=電磁場とベクトル解析 (現代数学への入門)
|publisher=[[岩波書店]]
|date=2004-1-7
}}</ref>（{{lang-en-short|vector potential}}）であるとは、
:<math>\operatorname{rot}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{v}</math>
であることを意味する。3次元以外のベクトル場については、[[微分形式]]を用いた拡張（例えば、[[ポアンカレの補題]]<ref name=iwaho>{{cite|和書
|author=岩堀 長慶|author2= 近藤 武, 他
|title=微分積分学
|publisher=[[裳華房]]
|date=1993-1
}}</ref>）が考えられる。

==定義==
''D'' を、'''R'''<sup>3</sup> の領域とする。'''''v''''' : '''R'''<sup>3</sup> &rarr; '''R'''<sup>3</sup> を、''D'' の[[近傍]]で定義された、[[微分]]可能な3次元ベクトル場とする。

このとき、3次元ベクトル場'''''A''''' が、'''''v''''' の'''ベクトルポテンシャル'''であるとは、
:<math>\operatorname{rot}\boldsymbol{A} =\boldsymbol{v}</math>
であることを意味する。

==性質==
===ベクトルポテンシャルが存在する必要条件===
3次元ベクトル場 {{mvar|'''A'''}} が、{{mvar|'''v'''}} のベクトルポテンシャルであるとき、ベクトル解析の[[恒等式]]
:<math>\operatorname{div}\operatorname{rot}=0</math>
を考えあわせると、
:<math>0=\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})=\operatorname{div}\boldsymbol{v}</math>
が成立する。従って、{{math|div '''''v''''' {{=}} 0}} でない限り、{{mvar|'''v'''}} はベクトルポテンシャルを持たない{{efn2|{{math|1=div '''''v''''' = 0}} でない場合、[[ヘルムホルツの定理]]より {{mvar|'''v'''}} はベクトルポテンシャルの回転とスカラーポテンシャルの勾配との和で表される。}}。

===不定性===
3次元ベクトル場'''''A''''' が、'''''v''''' のベクトルポテンシャルであるとする。このとき、rot '''''X''''' = '''0''' となるようなベクトル場に対し、
:<math>\operatorname{rot}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{X}) =\boldsymbol{v}</math>
が成立する。従って、以下の[[定理]]が成り立つ。

<div style="border: 1px solid; padding: 4px;">
定理

'''''A''''' が、'''''v''''' のベクトルポテンシャルであるとき、ベクトル場'''''X''''' が
:rot '''''X''''' = '''0'''
を満たせば、'''''A''''' + '''''X''''' もまた、'''''v''''' のベクトルポテンシャルである。
</div>

==求め方==
ベクトルポテンシャルの求め方には様々な方法がある。一般には、ベクトルポテンシャルは、求め方によって異なるものが得られる。しかし、いずれの解法で得られたものも、互いに[[ゲージ変換]]で移りあう。

本項では、他の項目を見る際に混乱しないよう、敢えて、ベクトルポテンシャルを求められる方のベクトル場も、得られたベクトルポテンシャルも、それぞれの解法がよく用いられる分野でよく用いられる記法を採用した。

===その1===
以下の定理は[[物理学]]的な意味づけに乏しいが、微分形式論の、ポアンカレの補題の証明において、よく使われる手法に基づいている。

<div style="border: 1px solid; padding: 4px;">
定理（[[ホモトピー]]法によるベクトルポテンシャルの求め方）<ref name=fujimo/>

'''''p''''' を、'''R'''<sup>3</sup> の一点とする。''M'' は'''R'''<sup>3</sup> の領域であり、かつ、点'''''p''''' を中心に{{仮リンク|星形領域|en|star domain|label=星形}}とする。

また、'''''X''''' を、''M'' 上で定義された3次元ベクトル場で、div '''''X''''' = 0 とする。

このとき、3次元ベクトル場 '''''F''''' ('''''x''''' ) を、
:<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})
=\int_0^1 s ((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p})\times ( \boldsymbol{X}( s \boldsymbol{x} + (1-s) \boldsymbol{p} ))\ ds
</math>
とすると、'''''F''''' は、'''''X''''' のベクトルポテンシャルである。
</div>

===その2===
[[ビオ・サバールの法則]]の[[アナロジー]]により以下の定理が成り立つ。以下のベクトルポテンシャルは、[[電流密度]]と、[[磁場]]との関係を表しているので、電流ベクトルポテンシャルといわれる。
<div style="border: 1px solid; padding: 4px;">
定理

'''''j''''' を、無限遠で '''0''' であり、かつ、div '''''j''''' = 0 を満たす、単連結領域''V'' 上で定義されている3次元ベクトル場とする。このとき、
:<math>\boldsymbol{H} =\int_V \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{s}) \times (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{s})}{4 \pi |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{s}|^3} d^3 \boldsymbol{s}</math>
は、'''''j''''' のベクトルポテンシャルである。
</div>

証明：

両辺にrotを作用させると、
:<math>\operatorname{rot}\boldsymbol{H}  = \frac{1}{4 \pi} \int_V \operatorname{rot} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\right) d^3 \boldsymbol{s}</math>
となる。ここで、ベクトル解析の恒等式より
:<math>\operatorname{rot} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\right)
= \left(\operatorname{div} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\right) \boldsymbol{j} - (\operatorname{div}\boldsymbol{j}) \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}</math>
また、
:<math>\operatorname{div} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}= 4\pi \delta (r) </math>
なので、
:<math>\operatorname{rot} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V 4\pi \delta (r) \boldsymbol{j} d^3 \boldsymbol{s}</math>
となる。積分を実行して、最終的に
:<math>\operatorname{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}</math>
が得られる。

===その3===
以下の定理は、[[ヘルムホルツの定理]]の特殊な場合であり、時間変動のない磁場から[[電磁ベクトルポテンシャル]]（物理学では、単にベクトルポテンシャルといったらこれを指す）を求める際によく用いられる手法である。

<div style="border: 1px solid; padding: 4px;">
定理

'''''H''''' を、無限遠で '''0''' であり、かつ、div '''''H''''' = 0 を満たす、単連結領域''V'' 上で定義されている3次元ベクトル場とする。このとき、
:<math>\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\boldsymbol{H}(\boldsymbol{s})}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}\right|}\mathrm{d}s</math>
は、'''''H''''' のベクトルポテンシャルである。
</div>

==脚注==
===注釈===
{{notelist2}}

===出典===
<references/>

== 関連項目 ==
*[[アハラノフ＝ボーム効果]]
*[[スカラーポテンシャル]]
*[[ベクトル解析]]
*[[電磁気学]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:へくとるほてんしやる}}
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:物理学の概念]]
[[Category:ポテンシャルエネルギー]]
[[Category:数学に関する記事]]