ベクトル値函数のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年7月}}
[[File:Vector-valued function-2.png|right|thumb|ベクトル値函数 <math>(2\cos(t),4\sin(t),t)</math> の像は三次元ユークリッド空間内の螺旋になる]]
[[数学]]のとくに[[初等解析学]]における'''ベクトル値函数'''（ベクトルちかんすう、{{lang-en-short|''vector-valued function''}}）あるいは'''ベクトル函数''' (vector function) は、実[[数ベクトル空間]] <math>\mathbb{R}^{n}</math> に値をとる{{ill2|実変数函数|en|Function of a real variable}}を言う。ベクトル値函数 <math>\boldsymbol{f}</math> に対し、像ベクトルの第 {{mvar|i}}-成分 ({{math|1=''i'' = 1, …, ''n''}}) のみを追跡する函数を {{mvar|''f''{{sub|i}}}} とすれば、 <math>\boldsymbol{f}</math> は[[実函数]] {{mvar|''f''{{sub|i}}}} たちの [[順序組|{{mvar|n}}-組]]として表すことができる。[[定義域]]は一次元でもそれ以上の次元でもよい。

例えば、二次元ベクトルに値を取るベクトル値函数は、<math>f_{1}, f_{2} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> を用いて
<math display="block">\boldsymbol{f}(x) = (f_1(x),f_2(x))</math> 
あるいは[[単位ベクトル]]を用いれば
<math display="block">\boldsymbol{f}(x)=
f_1(x)\boldsymbol{{\hat{\imath}}}+f_2(x)\boldsymbol{{\hat{\jmath}}}</math> 
と書ける。

<math>\boldsymbol{f}</math> の[[定義域]]は、成分函数 {{mvar|f{{sub|i}}}} の定義域すべての[[交叉 (数学)|交わり]]とするのが自然である。

== ベクトル値函数の微分 ==
実変数ベクトル値函数 <math>\boldsymbol{f} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}</math> に対し、その[[微分]]は実函数の場合とまったく同じ形で、[[前進差分]]商の[[函数の極限|極限]]
<math display="block">\boldsymbol{f}'(t):=\lim_{h\to 0}\frac{\boldsymbol{f}(t+h) - \boldsymbol{f}(t)}{h}</math> 
で定義できる。ベクトルの演算が[[成分ごと]]に定義されているから、上記の極限が存在すれば、それは成分函数の微分からなるベクトル値函数と一致する： <math>\boldsymbol{f}'(t) = \left( f_{1}'(x), f_{2}'(x), \dotsc , f_{n}'(x) \right)</math>

実函数の微分に関する重要な性質はほとんどがベクトル値函数に対しても成立する。とくに微分の[[線型性]]と[[積の微分法則|積の法則]]が成り立つ: これらの結果はベクトル値函数をベルソルを用いた形に書いて計算してみればわかる（ベルソルの微分は零ベクトルであることに注意）。

ベクトル変数のベクトル値函数 <math>\boldsymbol{f} \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}</math> の場合は、これを {{mvar|m}} 本の {{mvar|n}}-変数函数 {{mvar|y{{sub|i}}}} ({{math|1=''i'' = 1, …, ''m''}}) の組とみれば、{{mvar|mn}} 個の[[偏微分]]が考えられて、これら偏導函数を第 {{mvar|i}} 行がスカラー値函数 {{mvar|y{{sub|i}}}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]となるようにして得られる {{mvar|m}} 行 {{mvar|n}} 列の排列 <math display="block">\begin{pmatrix} 
 \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\
 \vdots & \ddots & \vdots \\
 \dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix} </math>
は <math>\boldsymbol{f}</math> の[[ヤコビ行列]]と呼ばれる。

== 例 ==
* 与えられた実数に対し、その[[床函数|整数部]]および{{ill2|小数部|en|Fractional part}}の組を対応させる函数は二次元ベクトル値の函数である。
* [[平面]]または[[三次元空間]]内の[[曲線]]の{{ill2|媒介表示曲線|en|parametric curve|label=媒介表示}}はベクトル値函数の自明でない重要な例を与えている。

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
* [[ベクトル場]]
* [[集合値函数]]
* {{ill2|実多変数函数|en|Function of several real variables}}
* [[可微分函数]]

== 外部リンク ==
{{commonscat|Vector-valued functions}}
* {{MathWorld|urlname=VectorFunction|title=Vector Function}}
* {{PlanetMath|urlname=VectorValuedFunction|title=vector-valued function}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Vector-Valued_Function|title=Definition:Vector-Valued Function}}
* {{SpringerEOM|urlname=Vector_function|title=Vector function|first=L.P.|last=Kuptsov}}

{{DEFAULTSORT:へくとるちかんすう}}
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:数学に関する記事]]