ベクトル測度のソースを表示

[[数学]]の分野における'''ベクトル測度'''（ベクトルそくど、{{Lang-en-short|''vector measure''}}）とは、ある[[族 (数学)|集合族]]上で定義される、ある特定の性質を備えた[[空間ベクトル|ベクトル値]][[関数 (数学)|関数]]である。[[正の数と負の数|非負]][[実数|実数値]]のみを取る[[測度]]の概念の一般化である。

==定義と第一の帰結==
[[完全加法族|集合体]] <math>(\Omega, \mathcal F)</math> と[[バナッハ空間]] <math>X</math> が与えられたとき、'''有限加法的ベクトル測度'''（あるいは、簡潔に'''測度'''）とは、<math>\mathcal{F}</math> 内の任意の[[素集合|互いに素な集合]] <math>A</math> と <math>B</math> に対して
: <math>\mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B) </math>
が成り立つような関数 <math>\mu:\mathcal {F} \to X</math> のことを言う。

ベクトル測度 <math>\mu</math> が'''可算加法的'''であるとは、<math>\mathcal F</math> 内の任意の互いに素な集合の[[列 (数学)|列]] <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> でその[[合併 (集合論)|合併]]が　<math>\mathcal F</math> に含まれるようなものに対して、

: <math>\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) =\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)</math>

が成り立つことを言う。但し、右辺の[[級数]]はバナッハ空間 <math>X</math> の[[ノルム]]について収束するものとする。

加法的ベクトル測度 <math>\mu</math> が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 <math>(A_i)_{i=1}^{\infty}</math> に対して
: <math>\lim_{n\to\infty}\left\|\mu\left(\displaystyle\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)\right\|=0, \quad\quad\quad (*)</math>
が成り立つことである。ここで <math>\|\cdot\|</math> は <math>X</math> のノルムである。

[[完全加法族|σ-代数]]上で定義される可算加法的ベクトル測度は、[[測度]]や[[符号付測度]]、[[複素測度]]よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ[[拡大実数|拡大区間]] <math>[0, \infty]</math>、[[実数]]の集合、および[[複素数]]の集合上に値を取る[[測度|可算加法的関数]]である。

== 例 ==
区間 <math>[0, 1]</math> およびその区間に含まれるすべての[[ルベーグ測度|ルベーグ可測集合]]の族 <math>\mathcal F</math> から成る[[有限加法族|集合体]]を考える。そのような任意の集合 <math>A</math> に対して

: <math>\mu(A)=\chi_A\,</math>

を定義する。ここで <math>\chi</math> は <math>A</math> の[[指示関数]]である。この <math>\mu</math> がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。

* <math>\mathcal F</math> から [[Lp空間|''L<sup>p</sup>'' 空間]] <math>L^\infty([0, 1])</math> への関数と見なされたとき、<math>\mu </math> は可算加法的ではないベクトル測度である。

*  <math>\mathcal F</math> から ''L<sup>p</sup>'' 空間 <math>L^1([0, 1])</math> への関数と見なされたとき、<math>\mu </math> は可算加法的なベクトル測度である。

これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。

== ベクトル測度の変分 ==
ベクトル測度 <math>\mu:\mathcal{F}\to X</math> に対し、その'''変分'''（variation）<math>|\mu|</math> は

: <math>|\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|</math>

によって定義される。ここで右辺の[[上限 (数学)|上限]]は、<math>\mathcal{F}</math> 内のすべての <math>A</math> に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての[[集合の分割|分割]]

: <math>A=\bigcup_{i=1}^n A_i</math>

に対して取られる。また <math>\|\cdot\|</math> は <math>X</math> 上のノルムである。<math>\mu</math> の変分は <math>[0, \infty]</math> に値を取る有限加法的関数である。<math>\mathcal{F}</math> 内の任意の <math>A</math> に対して

: <math>\|\mu(A)\|\le |\mu|(A)</math>

が成立する。<math>|\mu|(\Omega)</math> が有限であるなら、測度 <math>\mu</math> は'''有界変分'''（bounded variation）に属すると言われる。<math>\mu</math> が有界変分のベクトル測度であるなら、<math>\mu</math> が可算加法的であることと <math>|\mu|</math> が可算加法的であることは同値である。

== リャプノフの定理 ==
ベクトル測度の理論における'''[[アレクサンドル・リャプノフ|リャプノフ]]の定理'''によれば、（{{仮リンク|原子元|label=非原子的|en|atom (measure theory)}}な）ベクトル測度の値域は[[閉集合|閉]]かつ[[凸集合|凸]]である<ref name="KluvanekKnowles">[[:en:Igor Kluvánek|Kluvánek, I.]], Knowles, G., ''Vector Measures and Control Systems'', North-Holland Mathematics Studies&nbsp;'''20''', Amsterdam, 1976.
</ref><ref name="DiestelUhl" >{{cite book
 | last1       = Diestel
 | first1      = Joe
 | last2  = Uhl,
 | first= Jerry&nbsp;J.,&nbsp;Jr.
 | title      = Vector measures
 | publisher  = American Mathematical Society
 | location = Providence, R.I
 | year       = 1977
 | pages      =
 | isbn       = 0-8218-1515-6
}}</ref><ref name="RolewiczControl">{{Cite book | title=Functional analysis and control theory: Linear systems|last=Rolewicz |first=Stefan|year=1987| isbn=90-277-2186-6| publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers|oclc=13064804|edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk|series=Mathematics and its Applications (East European Series)|location=Dordrecht; Warsaw|volume=29|pages=xvi+524|mr=920371| ref=harv | postscript=}}</ref> <!-- Lyapunov's theorem -->。実際、非原子的なベクトル測度の値域はゾノイド（[[ゾーン多面体|ゾノトープ]]の収束列の極限であるような閉凸集合）である<ref name="DiestelUhl"/>。この定理は、[[数理経済学]]<ref>{{Cite book|last=Roberts|first=John|authorlink=:en:Donald John Roberts|chapter=Large economies|title=Contributions to the ''New Palgrave''|editor=David&nbsp;M. Kreps|editor1-link=デイヴィッド・クレプス|editor2=John Roberts|editor2-link=Donald John Roberts|editor3=Robert&nbsp;B. Wilson|editor3-link=Robert B. Wilson|date=July 1986|pages=30–35|url=https://gsbapps.stanford.edu/researchpapers/library/RP892.pdf|accessdate=7 February&nbsp;2011|series=Research paper|volume=892|publisher=Graduate School of Business, Stanford University|location=Palo Alto,&nbsp;CA|id=(Draft of articles for the first  edition of ''New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics'')|ref=harv|postscript=}}</ref><ref name="Aumann">{{cite journal|last=Aumann|first=Robert&nbsp;J.|month=January|year=1966|title=Existence of competitive equilibrium in markets with a continuum of traders|journal=Econometrica|volume=34|number=1|pages=1–17|jstor=1909854|authorlink=ロバート・オーマン|mr=191623}} This paper builds on two papers by Aumann: {{cite journal|<!-- authorlink=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann -->|date=1964-01|title=Markets with a continuum of traders|journal=Econometrica|volume=32|number=1–2|pages=39–50|jstor=1913732|mr=172689}}
{{cite journal|<!-- authorlink=Robert Aumann|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann -->|month=August|year=1965|title=Integrals of set-valued functions|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=12|number=1|pages=1–12|doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1|mr=185073}}</ref><ref>{{cite article|last=Vind|first=Karl|year=1964|title=Edgeworth-allocations in an exchange economy with many traders|journal=International Economic Review|volume=5|pages=165–77|number=2|month=May|ref=harv|jstor=2525560}} Vind's article was noted by {{harvtxt|Debreu|1991|p=4}} with this comment:
<blockquote>
The concept of a convex&nbsp;set (i.e., a set containing the segment connecting any two of its points) had repeatedly been placed at the center of economic&nbsp;theory before&nbsp;1964. It appeared in a new&nbsp;light with the introduction of integration&nbsp;theory in the study of economic&nbsp;competition: If<!-- original "if" inconsistent with our capitization  --> one associates with every&nbsp;agent of an economy an arbitrary&nbsp;set in the commodity&nbsp;space and ''if one averages those individual&nbsp;sets'' over a collection of insignificant agents, ''then the resulting set is necessarily convex''. [Debreu appends this footnote: "On this direct consequence of a theorem of A.&nbsp;A.&nbsp;Lyapunov, see {{harvtxt|Vind|1964}}."] But explanations of the <!-- three --> ... functions of prices <!-- taken as examples --> ... can be made to rest&nbsp;on the ''convexity of sets derived by that averaging&nbsp;process''. ''Convexity'' in the commodity&nbsp;space ''obtained by aggregation'' over a collection of insignificant&nbsp;agents is an insight that economic&nbsp;theory owes <!-- in its revealing clarity --> ... to integration&nbsp;theory. [''Italics added'']
</blockquote>
{{cite article|title=The Mathematization of economic theory|first=Gérard|last=Debreu|authorlink=ジェラール・ドブルー|issue=Presidential address delivered at the&nbsp;103rd meeting of the American Economic Association,&nbsp;29 December&nbsp;1990, Washington,&nbsp;DC|journal=[[American Economic Review|The American Economic Review]]|volume=81|number=1|month=March|year=1991|mr= | jstor = 2006785}}
</ref>や、[[ビッグバン]][[制御理論]]<ref name="KluvanekKnowles"/><ref name="RolewiczControl"/><ref>{{cite book|title=Functional analysis and time optimal control|last1=Hermes|first1=Henry |last2=LaSalle|first2=Joseph&nbsp;P.|series=Mathematics in Science and Engineering|volume=56|publisher=Academic Press|location=New York—London|year=1969|pages=viii+136|mr=420366|unused_data=<!-- authorlink1=Henry Hermes -->}}</ref><ref name="Artstein"/>、および{{仮リンク|統計理論|en|statistical theory}}<ref name="Artstein" >{{cite article|last=Artstein|first=Zvi|title=Discrete&nbsp;and&nbsp;continuous bang-bang and facial&nbsp;spaces, or: Look for the extreme points|journal=SIAM Review|volume=22|year=1980|number=2|pages=172–185|doi=10.1137/1022026|jstor=2029960 | mr = 564562}}</ref>において用いられる。リャプノフの定理は、その[[離散]]相似と見なされる{{仮リンク|シャープレー＝フォークマンの補題|en|Shapley–Folkman lemma}}を用いることによって証明される<ref>{{cite article|last=Tardella|first=Fabio|title=A new proof of the Lyapunov convexity&nbsp;theorem|journal=SIAM Journal on Control and Optimization|volume=28|year=1990|number=2|pages=478–481|doi=10.1137/0328026|mr=1040471}}</ref><ref name="Artstein" /><ref name="Starr08" >{{cite book|last=Starr|first=Ross&nbsp;M.|authorlink=:en:Ross Starr|chapter=Shapley–Folkman theorem|title=The New&nbsp;Palgrave Dictionary of Economics|editor-first=Steven&nbsp;N.|editor-last=Durlauf|editor2-first=Lawrence&nbsp;E.,&nbsp;ed.|editor2-last=Blume|publisher=Palgrave Macmillan|year=2008|edition=Second|pages=317–318 (1st&nbsp;ed.)|url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000107|doi=10.1057/9780230226203.1518|ref=harv}}</ref>
<ref>Page 210: {{cite article|last=Mas-Colell|first=Andreu|authorlink=:en:Andreu Mas-Colell|title=A note on the core&nbsp;equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?|journal=Journal of Mathematical Economics|volume=5|year=1978|number=3|pages=207–215|doi=10.1016/0304-4068(78)90010-1|mr=514468}}</ref>

== 脚注 ==
{{Reflist}}

=== 書籍 ===
*{{Cite book
  | last = Cohn
  | first = Donald L.
  | title = Measure theory
  | place = Boston&ndash;Basel&ndash;Stuttgart
  | publisher = [[:en:Birkhäuser Verlag|Birkhäuser Verlag]]
  | origyear = 1980
  | year = 1997
  | edition = reprint
  | pages = IX+373
  | url = https://books.google.it/books?id=vRxV2FwJvoAC&printsec=frontcover&dq=Measure+theory+Cohn&cd=1#v=onepage&q&f=false
  | doi =
  | zbl = 0436.28001
  | isbn = 3-7643-3003-1
  | ref = harv
  | postscript = 
}}
*{{cite book
 | last1       = Diestel
 | first1      = Joe
 | last2  = Uhl,
 | first= Jerry&nbsp;J.,&nbsp;Jr.
 | title      = Vector measures
 | publisher  = American Mathematical Society
 | location = Providence, R.I
 | year       = 1977
 | pages      =
 | isbn       = 0-8218-1515-6
}}
* [[:en:Igor Kluvánek|Kluvánek, I.]], Knowles, G, ''Vector Measures and Control Systems'', North-Holland Mathematics Studies&nbsp;'''20''', Amsterdam, 1976.
* {{springerEOM|title=Vector measures|id=Vector_measure|first=D. |last=van Dulst}}

== 関連項目 ==
* [[ボホナー積分]]

{{DEFAULTSORT:へくとるそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:制御理論]]
[[Category:数学に関する記事]]