ベクトル空間の双対系のソースを表示

{{脚注の不足|date=2023年7月}}

[[数学]]の[[函数解析学]]周辺分野における[[ベクトル空間]]の'''双対系'''（そうついけい、{{lang-en-short|''dual system''}}）あるいは'''双対組''' (''dual pair''; '''双対対''') は、付随する[[双線型形式]]（[[内積]], ''pairing''）を持つようなベクトル空間の対である。

[[ノルム線型空間]]の研究においてよく用いられる函数解析学的方法に、もとの空間とその[[連続的双対空間]]、すなわちもとの空間上の[[連続線型形式]]全体の成すベクトル空間（[[双対ベクトル空間]]）との関係性を調べるというものがある。双対対はこのような双対性の概念を一般化して、素性の良い双線型形式によって「双対性」が与えられる任意のベクトル空間の対を考えるものである。付随する双線型形式を用いて、[[半ノルム]]から[[極位相]]を定めると、ベクトル空間は[[局所凸空間]]（ノルム空間の一般化）になる。 

== 定義 ==
同じ[[可換体|体]] {{math|'''K'''}} 上の二つの[[ベクトル空間]]（あるいはより一般に[[可換環]] '''K''' 上の[[環上の加群|加群]]）{{math|''X'', ''Y''}} および[[双線型形式]] {{math|{{angbr|}}: ''X'' &times; ''Y'' &rarr; '''K'''}} からなる[[タプル|三つ組]] {{math|(''X'', ''Y'', {{angbr|}})}} が'''双対対'''<ref name=Jarchow>{{cite book|last=Jarchow|first=Hans|title=Locally convex spaces|year=1981|location=Stuttgart|isbn=9783519022244|page=145-146}}</ref>であるとは、
: <math>\forall x \in X \setminus \{0\} \quad \exists y \in Y : \langle x,y \rangle \neq 0,</math>
: <math>\forall y \in Y \setminus \{0\} \quad \exists x \in X : \langle x,y \rangle \neq 0</math>
を満たすときに言う。またこのとき、双線型形式 {{math|{{angbr|}}}} は {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} との間に'''双対性を定める'''と言う。

* 二つの元 {{math|''x'' &isin; ''X'', ''y'' &isin; ''Y''}} が {{math|1={{angbr|''x'', ''y''}} = 0}} を満たすとき、{{mvar|x}} と {{mvar|y}} とは互いに[[直交]]すると言う。
* 二つの集合 {{math|''M'' &sub; ''X'', ''N'' &sub; ''Y''}} が直交するとは、それらが元ごとに直交すること、すなわち {{mvar|M}} の任意の元と {{mvar|N}} の任意の元とが必ず直交することを言う。

== 例 ==
ベクトル空間 {{mvar|V}} とその[[双対空間|代数的双対空間]] {{math|''V''*}} は双線型形式
: <math>\langle x, f\rangle := f(x) \qquad (x \in V, f \in V^*)</math>
に関して双対対を成す。これによって定まる標準内積 (canonical pairing) {{math|{{angbr|}}: ''V'' &times; ''V''* &rarr; '''K'''}} を'''自然対''' (natural pairing) とも呼ぶ。

[[局所凸位相線型空間]] {{mvar|E}} とその位相的双対空間（[[連続的双対空間]]）{{mvar|E&prime;}} は双線型形式
: <math>\langle x, f\rangle := f(x) \qquad (x \in E, f \in E')</math>
に関して双対対を成す（証明には[[ハーン・バナッハの定理]]が必要）。

双対対は成分に関して対称的に定義されるので、任意の双対対 {{math|(''X'', ''Y'', {{angbr|}})}} に対して、
: <math>\langle\rangle': (y,x) \to \langle x , y\rangle</math>
で定まる双線型形式 {{math|{{angbr|}}''&prime;''}} によって {{math|(''X'', ''Y'', {{angbr|}}''&prime;'')}} もまた双対対を定める。

[[数列空間]] {{mvar|E}} とその {{仮リンク|β双対空間|en|Beta-dual space|label={{mvar|β}}-双対}} {{mvar|E{{sup|β}}}} は双線型形式
:<math>\langle x, y\rangle := \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i \qquad (x \in E , y \in E^\beta)</math> 
に関して双対対を成す。

== 注意 ==
双対対 {{math|(''X'', ''Y'', {{angbr|}})}} に付随して、{{mvar|X}} から {{math|''Y''*}} への[[単射]]が
:<math>x \mapsto (y \mapsto \langle x , y\rangle)</math>
と置くことによって得られる。{{mvar|Y}} から {{math|''X''*}} への単射も同様に定められる。

特に {{mvar|X, Y}} の何れか一方が有限次元ならば、この写像は線型同型になる。

== 関連項目 ==
* [[双対位相]]
* [[極集合]]
* [[極位相]]
* {{仮リンク|簡約双対対|en|reductive dual pair}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:そうついけい}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:双対性]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ベクトル空間]]