ベシコビッチの被覆定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2013年6月3日 (月) 09:31 (UTC)}}
'''ベシコビッチの被覆定理''' (ベシコビッチのひふくていり, Besicovitch covering lemma)とは、[[次元]]にのみ依存する[[定数]]によって成り立つ[[集合の被覆|被覆]]に関する[[定理]]で、[[幾何学]]的[[測度論]]などの[[実解析]]の分野で使われる。

== 定理 ==
<math>\mathcal{B} </math> を {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 内の[[有界]][[半径]]の[[球体|閉球]][[族 (数学)|族]]で、その中心点の[[集合]]を ''A'' とする。このとき、[[次元]] ''n'' にのみ依存する[[定数]] ''N''が存在して、<math>\mathcal{B} </math> の[[素集合|互いに素]]になる[[部分集合]][[族 (数学)|族]] <math>\mathcal{B}_1, \dots , \mathcal{B}_N </math> で、

:<math> A \subset \bigcup^N_{i=1} \bigcup_{B \in \mathcal{B}_i}B. </math>

となるようなものが存在する。
ここでの互いに素な部分集合族 <math>\mathcal{B}_1, \dots , \mathcal{B}_N </math>とは部分集合族を一つとったときにその要素の集合が同じ集合族の集合と交わらないのであって、<math>\mathcal{B}_1, \dots , \mathcal{B}_N </math> が同じ集合を持たないといった意味ではない。

とくに次の形で表現されることもある。

{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[部分集合]] ''E'' の各点 ''x'' に対して、有界半径の開球 ''B''(''x'', ''r<sub>x</sub>'') が定まっている。このとき次元 ''n'' にのみ依存する定数 ''N'' が存在して、''E'' を[[集合の被覆|被覆]]する部分集合族 {''B''(''x<sub>j</sub>'', ''r<sub>j</sub>'')} がその族において1つの球と交わる球は高々 ''N'' 個しかないようなものが存在する。''N'' は {{math|5{{sup|''n''}}}} を超えない<ref>http://www.ams.org/journals/proc/1994-121-04/S0002-9939-1994-1249875-4/S0002-9939-1994-1249875-4.pdf</ref>。

==脚注==
{{reflist}}

==関連項目==
* [[集合の被覆]]
* [[実解析]]
** [[測度論]]

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:へしこひつちのひふくていり}}
[[Category:実解析の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]