ベッセルフィルタのソースを表示

'''ベッセルフィルタ'''（{{lang-en-short|Bessel filter}}）は、[[電子工学]]や[[信号処理]]における[[線形フィルタ]]の一種で、[[群遅延]]が最大限平坦（線形[[位相応答]]）であることが特徴である。ベッセルフィルタはクロスオーバー（高音域と低音域などの分離を行う回路）によく使われる。アナログのベッセルフィルタは[[通過帯域]]ではほぼ一定の群遅延を示すので、通過帯域の信号の波形をそのまま保つことができる。名称の由来は、ドイツの数学者[[フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル]]。

また、特定の[[フィルタ回路]]構成を指す用語ではなく、フィルタの応答特性を指す用語であるため、'''ベッセルフィルタ特性'''（あるいは'''ベッセル特性'''）と呼ぶ場合もある。

== 伝達関数 ==
[[ファイル:Bessel4 GainDelay-en.svg|360px|thumb|4次ローパス・ベッセルフィルタの利得と群遅延の図。通過帯域から除去帯域への変化は他のフィルタよりもゆるやかだが、通過帯域の群遅延はほとんど一定である。ベッセルフィルタの群遅延曲線の平坦性はゼロ周波数付近で最大となる。]]

ベッセル・[[ローパスフィルタ]]の[[伝達関数法|伝達関数]]は以下のようになる。

{{Indent|<math>H(s) = \frac{\theta_n(0)}{\theta_n(s/\omega_0)}\,</math>}}

ここで、{{Math|''&theta;''<sub>''n''</sub>(''s'')}} は逆[[ベッセル多項式]]であり、これが命名の由来である。また、{{Math|''&omega;''<sub>0</sub>}} は[[遮断周波数]]である。

== 単純な例 ==
3次ベッセル・ローパスフィルタの伝達関数は次の通り。

{{Indent|<math>H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15}\,</math>}}

利得は以下の通り。

{{Indent|<math>G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{15}{\sqrt{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}}</math>}}

位相は以下の通り。

{{Indent|<math>\phi(\omega)=-\mathrm{arg}(H(j\omega))=
-\mathrm{arctan}\left(\frac{15\omega-\omega^3}{15-6\omega^2}\right)\,</math>}}

すると、[[群遅延]]は以下のようになる。

{{Indent|<math>D(\omega)=-\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm d\omega} =
\frac{6 \omega^4+ 45 \omega^2+225}{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}
</math>}}

群遅延を[[テイラー展開]]すると、次を得る。

{{Indent|<math>D(\omega) = 1-\frac{\omega^6}{225}+\frac{\omega^8}{1125}+\cdots</math>}}

{{Math|1=''ω'' = 0}} のとき、{{Math|''&omega;''<sup>2</sup>}} と {{Math|''&omega;''<sup>4</sup>}} の項がゼロになるため、非常に平坦な群遅延が得られる。伝達関数の分子を定数とし、分母を高々3次の[[多項式]]とすると、全部で4つの係数があるが、{{Math|1=''ω'' = 0}} で利得が変化しないことを課し、かつ {{Math|1=''ω'' = ∞}} で利得がゼロになることを課すと、自由度は残り2となり、3次ベッセルフィルタはこの条件下で群遅延が最大限平坦になっていることがわかる。一般に {{Mvar|n}} 次のベッセルフィルタの群遅延を展開すると、最初の {{Math|''n'' &minus; 1}} 個の項はゼロとなり、{{Math|1=''ω'' = 0}} における群遅延の平坦性が最大化する。

== 関連項目 ==
* [[バターワースフィルタ]]
* [[コムフィルタ]]
* [[チェビシェフフィルタ]]
* [[楕円フィルタ]]
* [[ベッセル関数]]

== 外部リンク ==
* [http://www.filter-solutions.com/bessel.html Bessel and Linear Phase Filters]
* [http://www.rane.com/note147.html A Bessel Filter Crossover, and Its Relation to Others]
* [http://www.crbond.com/papers/bsf.pdf Bessel Filter Constants]
* [http://www-k.ext.ti.com/SRVS/Data/ti/KnowledgeBases/analog/document/faqs/bes.htm Bessel Filter]
* [http://ece-www.colorado.edu/~ecen2260/slides/FilterSlides.pdf Filter Circuits] R.W. Erickson

{{DEFAULTSORT:へつせるふいるた}}
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[[Category:電子工学]]
[[Category:信号処理]]
[[Category:フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル]]
[[Category:エポニム]]