ベッチ数のソースを表示

{{要改訳}}
[[代数的位相幾何学]]において、'''ベッチ数''' (ベッチすう、{{lang-en|Betti numbers}}) は、[[位相空間]]に対する[[不変量]]であり、自然数に値をもつ。
[[File:Torus.png|alt=A torus.|right|thumb|320px|トーラスはひとつの連結成分(b<sub>0</sub>)を持っていて、二つの円状の穴(b<sub>1</sub>)（ひとつは中心を原点とする円で、もうひとつは、管状になっている中の円状の部分）であり、2-次元の中身のない部分を中に持つ（内部が管状となっている）ものがひとつ(b<sub>2</sub>)であるので、ベッチ数は 1(b<sub>0</sub>), 2(b<sub>1</sub>), 1(b<sub>2</sub>) となる．]]

右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である<ref>{{cite web|last=Barile, and Weisstein|first=Margherita and Eric|title=Betti number|url=http://mathworld.wolfram.com/BettiNumber.html|publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource.|accessdate=26 Feb. 2014}}</ref>。直感的な言葉を使うと、 1 次以上のベッチ数は様々な次元の本質的な｢穴｣（閉曲線、閉曲面・・）の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は&nbsp;1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。

ベッチ数は、今日、数学のみならず[[計算機科学]]や[[デジタル画像]]などの分野でも研究されている。

「ベッチ数」ということばは、[[エンリコ・ベッチ]] (Enrico Betti) にちなみ、[[アンリ・ポアンカレ]] (Henri Poincaré) により命名された。

==定義==

k を非負の整数 として、空間 X の k 次ベッチ数 b<sub>k</sub>(X) は、X の k 次[[ホモロジー群]] H<sub>k</sub>(X) の[[アーベル群のランク|ランク]]として定義される。ホモロジー群は[[有理数|有理数体]] '''Q''' 上のベクトル空間とすることもできるので、H<sub>k</sub>(''X'';&nbsp;'''Q''') のベクトル空間の次元としてベッチ数を定義することもできる。[[普遍係数定理]]は、ねじれのない単純な場合には（係数の取り方に依存せず）これらの定義が同じであることを示している。

またベッチ数を係数にもつ多項式としてポアンカレ多項式を定義する。すなわち、X のポアンカレ多項式 P<sub>X</sub>(t) とは b<sub>0</sub>(X)+b<sub>1</sub>(X)t+b<sub>2</sub>(X)t<sup>2</sup>+...+b<sub>n</sub>(X)t<sup>n</sup> のことである。

==例==

=== 単体複体 ===
[[ファイル:Simplicialexample.png|代替文=Example|800x800ピクセル]]

上の図のような[[単体的複体|単体複体]]でのベッチ数を計算する。これは0-単体として a, b, c, d, 1-単体として E, F, G, H, I, 2-単体として色のついた部分 J ただ一つをもつものである。この図の連結成分はただ一つであり、1 次元の穴は色のついてない部分すなわち頂点 a, c, d をもつ三角形の部分である。また平面上にあり、「空洞」をもたない。以上の事からb<sub>0</sub>=1, b<sub>1</sub>=1,b<sub>2</sub>=0 であり、ポアンカレ多項式は 1+t となる。

=== グラフ理論 ===
{{仮リンク|位相的グラフ理論|en|topological graph theory}}では、頂点 n 個、m 本の辺、k 個の連結成分をもったグラフ G の 1次ベッチ数は、m − n + k に等しい。

このことは、辺の数についての[[数学的帰納法]]により直接証明ができる。つまり、新しい辺 1-サイクル分の数を増やすか、もしくは辺の連結成分の数を一つ減らすかのどちらかである。

第一ベッチ数は、[[グスタフ・キルヒホフ]](Gustav Kirchhoff)がベッチ(Betti)の論文以前に導入した用語である{{仮リンク|回路ランク|label=サイクロマチック数|en|Circuit rank}}(cyclomatic number)とも呼ばれる。<ref name="Kotiuga2010">{{cite book|author=Peter Robert Kotiuga|title=A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott|url=https://books.google.co.jp/books?id=mqLXi0FRIZwC&pg=PA20&redir_esc=y&hl=ja|year=2010|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-8381-5|page=20}}</ref>第一ベッチ数の[[ソフトウェア工学]]への応用は、[[循環的複雑度]]を参照のこと。

グラフの第 0 番めのベッチ数は、連結成分の数 k を単純に意味している。<ref name="Hage1996">{{cite book|author=Per Hage|title=Island Networks: Communication, Kinship, and Classification Structures in Oceania|url=https://books.google.co.jp/books?id=ZBdLknuP0BYC&pg=PA49&redir_esc=y&hl=ja|year=1996|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-55232-5|page=49}}</ref>

=== ポアンカレ多項式の計算例 ===
#点に対するベッチ数の列は、1, 0, 0, 0, 0, ... 
#円に対するベッチ数の列は、1, 1, 0, 0, 0, ...
#:ポアンカレ多項式は、
#::<math>1+x \,</math>.
#2-[[トーラス]]に対するベッチ数の列は&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;1,&nbsp;0,&nbsp;0,&nbsp;0,&nbsp;...
#:ポアンカレ多項式は、
#::<math>(1+x)^2=1+2x+x^2 \,</math>.
#3-トーラスに対するベッチ数の列は 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ...
#:ポアンカレ多項式は、
#::<math>(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3 \,</math>.
#同様に、n-次元トーラスに対して
#:ポアンカレ多項式は、
#::<math>(1+x)^n \,</math> （{{仮リンク|キネットの定理|en|Künneth theorem}}により）、ベッチ数は[[二項定理|二項係数]]である。

無限次元の[[複素射影空間]]のベッチ数の列は、1, 0, 1, 0, 1, ... と周期的となるので、周期の長さは 2 である。この場合は、ポアンカレ函数は多項式ではなく、無限級数
:<math>1+x^2+x^4+\dotsb</math>
となる。これは、幾何級数であり、次の有理函数として書き表すことができる。
: <math>\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3+\dotsb.</math>

コンパクトな単純リー群のポアンカレ多項式は、
:<math>P_{SU(n+1)_{}}(x) = (1+x^3)(1+x^5)...(1+x^{2n+1})</math>

:<math>P_{SO(2n+1)_{}}(x) = (1+x^3)(1+x^7)...(1+x^{4n-1})</math>

:<math>P_{Sp(n)_{}}(x) = (1+x^3)(1+x^7)...(1+x^{4n-1})</math>

:<math>P_{SO(2n)_{}}(x) = (1+x^{2n-1})(1+x^3)(1+x^7)...(1+x^{4n-5})</math>

:<math>P_{G_{2}}(x) = (1+x^3)(1+x^{11})</math>

:<math>P_{F_{4}}(x) = (1+x^3)(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{23})</math>

:<math>P_{E_{6}}(x) = (1+x^3)(1+x^{9})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{17})(1+x^{23})</math>

:<math>P_{E_{7}}(x) = (1+x^3)(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{19})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})</math>

:<math>P_{E_{8}}(x) = (1+x^3)(1+x^{15})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})(1+x^{39})(1+x^{47})(1+x^{59})</math>
となる。

==性質==
（有理）ベッチ数 b<sub>k</sub>(X) は、ホモロジー群の任意の[[ねじれ部分群]](torsion)を考慮に入れてはいないが、しかし、非常に基本的な位相不変量である。

有限の単体複体の場合は、ホモロジー群 H<sub>k</sub>(X,&nbsp;'''Z''') は全ての k で有限ランクであり、また k が単体の次元を超えている場合は 0 である。

有限の CW-複体 K に対し、

:<math>\chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K,F), \,</math>

が成り立つ。ここに <math>\chi(K)</math> は K の[[オイラー標数]]を表し、F は任意の体である。

2つの空間 X と Y に対し

:<math>P_{X\times Y}=P_X P_Y , \, </math>

が成り立つ。ここに P<sub>X</sub> は X の '''ポアンカレ多項式'''(Poincaré polynomial)（より一般的には、無限次元の空間に対しては[[ヒルベルト–ポワンカレ級数|ポワンカレ多項式]]）、すなわち X のベッチ数の[[母函数]]である
:<math>P_X(z)=b_0(X)+b_1(X)z+b_2(X)z^2+\cdots , \,\!</math>
である。{{仮リンク|キネットの定理|en|Künneth theorem}}(Künneth theorem)を参照。

X を向き付け可能な閉多様体で n 次元とすると、任意の k に対し k と n&nbsp;&minus;&nbsp;k を入れ替える[[ポアンカレ双対性]]

:<math>b_k(X)=b_{n-k}(X) , \,\!</math>

がある。

ホモロジー群が[[捩れ (代数)|捩れ]]を持たないとき、ベッチ数は係数体 F によらず決まる。素数 p に対し整数係数ホモロジー群の p-torsion は[[標数|標数 p]] をもつ係数体 F のベッチ数 b<sub>i</sub>(X,F) を用いて（単純な場合には、[[Tor函手]]を基礎とする）[[普遍係数定理]]により詳細に求められる。

==微分形式の空間の次元との関係==
X が[[閉多様体]]のとき、ベッチ数は[[ド・ラームコホモロジー]]の次元をあたえる。[[微分形式#閉形式と完全形式|閉形式]]の空間を[[微分形式#閉形式と完全形式|完全形式]]の空間でわった商空間の次元をあたえる。これは[[ド・ラームコホモロジー#ド・ラームの定理|ド・ラームの定理]]と[[ホモロジー (数学)|ホモロジー論]]の[[普遍係数定理]]によりえられる。
また X がリーマン多様体であれば、[[ホッジ理論]]によればベッチ数は[[調和形式]]の空間の次数を与えることがわかる。

[[モース理論]]によりベッチ数の交代和と、対応する適切な[[モース函数]]の[[臨界点 (数学)|臨界点]]の数 N<sub>i</sub> の交代和に関する不等式が以下のようにあたえられる。
:<math> b_i(X) - b_{i-1} (X) +  \cdots \le N _i - N_{i-1} + \cdots. </math>

[[エドワード・ウィッテン|ウィッテン]]は、モース函数を使いこれらの不等式の説明をして、[[ド・ラームコホモロジー#定義|ド・ラーム複体]]の[[微分形式#外微分|外微分]]を変形した。<ref>Witten, Edward (1982). ''Supersymmetry and Morse theory.'' J. Differential Geom. 17 (1982), no. 4, 661&ndash;692.</ref>

==参考文献==
{{reflist}}

*{{Citation |first=Frank Wilson |last=Warner |title=Foundations of differentiable manifolds and Lie groups |location=New York |publisher=Springer |year=1983 |isbn=0-387-90894-3 }}.
*{{Citation |first=John |last=Roe |title=Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods |edition=Second |series=Research Notes in Mathematics Series |volume=395 |location=Boca Raton, FL |publisher=Chapman and Hall |year=1998 |isbn=0-582-32502-1 }}.

{{Normdaten}}
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[[Category:位相幾何学的グラフ理論]]
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