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'''ベルグマン核''' (ベルグマンかく、{{lang-en-short|Bergman kernel}}) は、数学の[[多変数複素関数論]]において、領域 ''D'' in&nbsp;'''C'''<sup>''n''</sup> 上のすべての[[二乗可積分]][[正則関数]]からなる[[ヒルベルト空間]]に対する{{仮リンク|再生核|en|reproducing kernel}}である。{{仮リンク|ステファン・ベルグマン|en|Stefan Bergman}}に因んで名づけられている。

詳しくは、[[Lp空間|L<sup>2</sup>(''D'')]] を ''D'' 上の自乗可積分関数のヒルベルト空間とし、''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') を ''D'' における正則関数からなる部分空間とする。つまり、
:<math>L^{2,h}(D) = L^2(D)\cap H(D)</math>
ただし ''H''(''D'') は ''D'' における正則関数全体の空間。すると ''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') はヒルベルト空間である。なぜならば、''L''<sup>2</sup>(''D'') の[[閉集合|閉]]線型部分空間であり、したがってそれ自身[[完備距離空間|完備]]だからである。これは次の基本的な評価から従う。''D'' における正則二乗可積分関数 ''&fnof;'' に対し、
{{NumBlk|:|<math>\sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K\|f\|_{L^2(D)}</math>|{{EquationRef|1}}}}
が ''D'' のすべての[[コンパクト集合|コンパクト]]部分集合 ''K'' に対して成り立つ。したがって、''L''<sup>2</sup>(''D'') における正則関数列の収束は[[コンパクト収束]]も意味し、そのため極限関数もまた正則である。

({{EquationRef|1}}) の別の結果は、すべての ''z''&nbsp;&isin;&nbsp;''D'' に対し、評価写像
:<math>\operatorname{ev}_z : f\mapsto f(z)</math>
が ''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') 上の[[連続線型汎関数]]であるというものである。[[リースの表現定理]]により、この汎関数は ''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') の元により内積で表せる、つまり、
:<math>\operatorname{ev}_z f = \int_D f(\zeta)\overline{\eta_z(\zeta)}\,d\mu(\zeta).</math>
ベルグマン核 ''K'' は
:<math>K(z,\zeta) = \overline{\eta_z(\zeta)}</math>
で定義される。核 ''K''(''z'',&zeta;) は ''z'' について正則で、&zeta; について反正則で、
:<math>f(z) = \int_D K(z,\zeta)f(\zeta)\,d\mu(\zeta)</math>
を満たす。

これについての1つの重要なことは、''L''<sup>2,''h''</sup>(''D'') を、 <math>dz^1\wedge \cdots \wedge dz^n</math> による積により、''D'' 上 ''L''<sup>2</sup> 正則 (''n'',0) ノルムの空間と同一視できることである。この空間上の <math>L^2</math> 内積は ''D'' の双正則の下で明らかに不変であるから、ベルグマン核およびそれに伴う[[ベルグマン計量]]は自動的に領域の自己同型群の下で不変である。

==関連項目==
* [[ベルグマン計量]]
* [[ベルグマン空間]]
* {{仮リンク|Szegő kernel|en|Szegő kernel}}

==参考文献==
* {{Citation | last1=Krantz | first1=Steven G. | authorlink=Steven Krantz|title=Function Theory of Several Complex Variables | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2724-6 | year=2002}}.
* {{SpringerEOM|title=Bergman kernel function|last=Chirka|first=E.M.|urlname=Bergman_kernel_function}}.
* 大沢健夫：「関数論外伝：Bergman 核の100 年」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0592-6（2022年10月）。

{{デフォルトソート:へるくまんかく}}
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