ベルグマン空間のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[複素解析]]において、{{仮リンク|ステファン・ベルグマン|en|Stefan Bergman}}の名にちなむ'''ベルグマン空間'''（ベルグマンくうかん、バーグマンくうかん、{{Lang-en-short|Bergman space}}）とは、[[複素平面]]におけるある[[領域 (解析学)|領域]] ''D'' 内の[[正則函数]]で、絶対[[ルベーグ積分|可積分]]であり境界において十分良い振る舞いをするものからなる[[函数空間]]のことを言う。具体的に、<math>A^p(D)</math> を ''D'' 内の[[正則函数]]で次の [[ノルム|p-ノルム]] 評価を満たすものからなる空間とする：

:<math>\|f\|_p = \left(\int_D |f(x+iy)|^p\,dx\,dy\right)^{1/p} < \infty.</math>

この評価から、<math>A^p(D)</math> は空間 [[Lp空間|L<sup>''p''</sup>(''D'')]] 内の正則函数の部分空間であることが分かる。ベルグマン空間はこの評価の帰結として得られる[[バナッハ空間]]で、''D'' の[[コンパクト空間|コンパクト部分集合]] ''K'' に対して有効なものとなる。すなわち

{{NumBlk|:|<math>\sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K\|f\|_{L^p(D)}</math>|{{EquationRef|1}}}}

が成立する。したがって正則函数の列の ''L''<sup>''p''</sup>(''D'') における収束は、[[コンパクト一様収束|コンパクト収束]]を意味し、したがってその極限函数もまた正則である。

''p''&nbsp;=&nbsp;2 であるなら <math>A^p(D)</math> は、核が[[ベルグマン核]]で与えられるような[[再生核ヒルベルト空間]]となる。

== 参考文献 ==

{{reflist}}
*{{citation|last=Bergman|first= Stefan|title=The kernel function and conformal mapping|edition=2nd|series=Mathematical Surveys|volume=5| publisher=American Mathematical Society|year= 1970}}
*{{SpringerEOM|title=Bergman spaces|last=Richter|first=Stefan|urlname=Bergman_spaces}}.
*{{citation|last=Hedenmalm|first= H.|last2= Korenblum|first2= B.|last3= Zhu |first3=K.|title=Theory of Bergman Spaces|year=2000|publisher=Springer|isbn=978-0-387-98791-0|url=http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-98791-0}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:へるくまんくうかん}}
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]