ベルトランの定理のソースを表示

[[ファイル:Bertrand.jpg|サムネイル|右|代替文=ジョゼフ・ベルトラン|ジョゼフ・ベルトラン]]
'''ベルトランの定理''' (ベルトランのていり、{{lang-en|Bertrand's theorem}}) は[[ニュートン力学]]において任意の有界な軌道が安定な閉曲線を描くような[[中心力]]場は[[調和振動子]]ポテンシャルと[[逆2乗の法則|逆二乗則]]ポテンシャルに限られる、という定理。[[ジョゼフ・ベルトラン]]によって[[1873年]]に証明された<ref>{{Cite journal |last=Bertrand |first=J |year=1873 |title=Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe |journal=C. R. Acad. Sci. |volume=77 |pages=849–853 |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3034n/f849.item}} 英訳は {{Cite journal |title=An English translation of Bertrand's theorem |first1=F. C. |last1=Santos |first2=V. |last2=Soares |first3=A. C. |last3=Tort |date=2011 |journal=Latin American Journal of Physics Education |volume=5 |issue=4 |pages=694–696 |arxiv=0704.2396 |bibcode=2007arXiv0704.2396S}}</ref>。

== 概要 ==
3次元空間において[[中心力]]ポテンシャル <math>V ( r )</math> のもとでの粒子の運動は[[可積分]]であり、[[角運動量]]の保存に対応して2次元平面内に限られる。一般には[[有界]]な軌道は[[閉曲線]]を描かないが、動径方向の運動の[[振動数]]と角度方向の振動数が一致するときには閉曲線となる。ベルトランの定理は、任意の有界な軌道が安定な閉曲線となるのは[[調和振動子]]ポテンシャル
:<math>V ( r ) = \frac{ 1 }{ 2 } k r^2</math>
および[[万有引力|万有引力の法則]]や[[クーロンの法則]]に対応する[[逆2乗の法則|逆二乗則]]ポテンシャル
:<math>V ( r ) = - \frac{ \mu }{ r }</math>
の二種類に限られることを主張する<ref>{{Cite book |和書 |last=ゴールドスタイン |first=H. |title=新版 古典力学（上） |others=瀬川富士、矢野忠、江沢康生（訳）|publisher=吉岡書店 |date=1983-08-25 |pages=117-122, 447-452 |isbn=4-8427-0208-7}}</ref>。以上の結論は[[ルンゲ＝レンツベクトル]]の存在と関係しており<ref>{{Cite book |和書 |last=ゴールドスタイン |first=H. |title=新版 古典力学（上） |others=瀬川富士、矢野忠、江沢康生（訳）|publisher=吉岡書店 |date=1983-08-25 |pages=133-137 |isbn=4-8427-0208-7}}</ref>、現代的な観点では調和振動子およびケプラー問題が[[超可積分系]]であることに対応する<ref>{{Cite journal |和書 |author=吉田春夫 |title=同次式ポテンシャル系の超可積分性の必要条件 |date=2008-02-27 |journal=応用力学研究所研究集会報告 |volume=19 |url=https://www.riam.kyushu-u.ac.jp/fluid/meeting/19ME-S2/papers/Article_No_17.pdf}}</ref>。

=== 解軌道 ===
調和振動子ポテンシャル <math>V = \frac{ 1 }{ 2 } m \omega^2 r^2</math> の場合、その解軌道は[[リサジュー図形|リサージュ曲線]]
:<math>x = A \cos ( \omega t + \phi_x ) , \ \ y = B \cos ( \omega t + \phi_y )</math>
であり、これは周期 <math>T = 2 \pi / \omega</math> の閉曲線である。一方、逆二乗ポテンシャル <math>V = - \mu / r</math> の場合、有界な解軌道は[[楕円]]
:<math>r = \frac{ a ( 1 - e^2 ) }{ 1 - e \cos ( \theta - \varpi ) }</math>
であり、明らかに閉曲線となる (<math>a</math> は[[長半径]]、<math>e</math> は[[離心率]], <math>\varpi</math> は[[近点引数]])<ref>{{Cite book |和書 |last=ゴールドスタイン |first=H. |title=新版 古典力学（上） |others=瀬川富士、矢野忠、江沢康生（訳）|publisher=吉岡書店 |date=1983-08-25 |pages=122-127 |isbn=4-8427-0208-7}}</ref>。

== 応用 ==
[[ハーバート・ゴールドスタイン]]は自身の教科書の中で多くの天体が閉曲線を描くという観測事実だけに基づいて万有引力が逆二乗則に従うことが結論できると指摘している<ref>{{Cite book |和書 |last=ゴールドスタイン |first=H. |title=新版 古典力学（上） |others=瀬川富士、矢野忠、江沢康生（訳）|publisher=吉岡書店 |date=1983-08-25 |page=122 |isbn=4-8427-0208-7}}</ref>。調和振動子型の相互作用は遠方で力が無限に大きくなるために万有引力の法則としては不適切であり、ベルトランの定理から残された可能性は逆二乗則に限られるからである。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ケプラーの法則]]

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[[Category:天体力学]]
[[Category:天文学に関する記事]]
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