ベルヌーイ多項式のソースを表示

[[数学]]において、'''ベルヌーイ多項式'''（ベルヌーイたこうしき、{{lang-en-short|''Bernoulli polynomial''}}）とは、多くの[[特殊関数]]の研究、特に[[リーマンのゼータ関数]]や[[フルヴィッツのゼータ関数]]の研究において現れる。これはベルヌーイ多項式列が{{仮リンク|アペル列|en|Appell sequence}}、すなわち通常の[[微分]]に対する[[シェファー列]]であることによるところが大きい。直交多項式系とは異なり、ベルヌーイ多項式列は、単位区間における ''x'' 軸との交点の個数が多項式の次数が増えるにともない増えないという点に注目すべきである。ベルヌーイ多項式を適切に定数倍し次数を大きくした極限では、[[三角関数|正弦・余弦関数]]に近づく。
[[Image:Bernoulli polynomials.svg|thumb|right|ベルヌーイ多項式]]

また、この記事では、オイラー多項式、[[ベルヌーイ数]]、[[オイラー数]]についても解説する。

== 定義 ==
ベルヌーイ多項式 {{math|''B''<sub>''n''</sub>}} の[[表現 (数学)|定義の仕方]]は（同値なものが）いくつもある。そのうちのどれを定義とするかは、目的に応じて決めればよい。

=== 明示公式 ===
{{math|''n'' ≥ 0}} に対して、
:<math>B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_{n-k} x^k,</math>

ただし {{mvar|b<sub>k</sub>}} は[[ベルヌーイ数]]である。

=== 母関数 ===
ベルヌーイ多項式の[[母関数|指数型母関数]]は、
:<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
である。
また、オイラー多項式の指数型母関数は
:<math>\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
となる。

=== 微分表示 ===
{{math|1= ''D'' = {{fraction|''d''|''dx''}}}} は {{mvar|x}} についての[[微分]]演算として、ベルヌーイ多項式は
: <math>B_n(x)={D \over e^D -1} x^n</math>
としても与えられる。ただし、この分数は[[形式的冪級数]]として展開される（[[演算子法]]を参照）。これにより
: <math>\int _a^x  B_n (u) \,du = \frac{B_{n+1}(x) - B_{n+1}(a)}{n+1}</math>
が従う（後述する[[#積分公式]]の節も参照）。

=== 積分表示 ===

ベルヌーイ多項式列は
: <math>\int_x^{x+1} B_n(u)\,du = x^n</math>
で決定される唯一の多項式列である。

多項式 {{mvar|f}} の上に定義される[[積分変換]]

:<math>(Tf)(x) = \int_x^{x+1} f(u)\,du</math>

は、以下の単純な和
:<math>
\begin{align}
(Tf)(x) = {e^D - 1 \over D}f(x) & {} = \sum_{n=0}^\infty {D^n \over (n+1)!}f(x) \\
& {} = f(x) + {f'(x) \over 2} + {f''(x) \over 6} + {f'''(x) \over 24} + \cdots  ~.
\end{align}
</math>
である。これは、[[#反転公式|反転公式]]の導出に利用できる。

== もう一つの明示公式 ==
ベルヌーイ多項式に対する一つの明示公式が
: <math>B_m(x)=
\sum_{n=0}^m \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m</math>
で与えられる（[[フルヴィッツのゼータ函数]]に対する大域収束級数表現との著しい類似性に注意せよ。実際、{{math|''ζ''(''s'',&nbsp;''q'')}} をフルヴィッツゼータ函数として
: <math>B_n(x) = -n \zeta(1-n,x)</math>
が成り立つ。つまりある意味では、フルヴィッツゼータ函数はベルヌーイ多項式を {{mvar|n}} が非整数の場合へ一般化するものである）。

上記の明示式の内側の和は、{{mvar|''x''<sup>''m''</sup>}} の {{mvar|n}}-階[[有限差分|前進差分]]、すなわち {{math|Δ}} を[[前進差分作用素]]として
: <math>\Delta^n x^m = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (x+k)^m</math>
と理解することができるから、上記の明示式を
: <math>B_m(x)= \sum_{n=0}^m \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n x^m</math>
と書くこともできる。この式を上で述べた（微分による定義の）等式から導くこともできる。{{mvar|x}} に関する微分 {{mvar|D}} に対して、前進差分 {{mvar|Δ}} は 
: <math>\Delta = e^D - 1</math>
に等しいから、[[メルカトル級数]]を用いて
: <math>{D \over e^D - 1} = {\log(\Delta + 1) \over \Delta} = \sum_{n=0}^\infty {(-\Delta)^n \over n+1}</math>
を得る。この作用素を {{mvar|x<sup>m</sup>}} のような {{mvar|m}}-次多項式の上に作用させる限り、右辺の和は {{mvar|n}} を {{math|0}} から {{mvar|m}} まで動かした有限和にすることができる。

ベルヌイ多項式の積分表示は有限差分としての表示から得られる[[ノルルンド&ndash;ライス積分]]で与えられる。

オイラー多項式に対する一つの明示公式が
: <math>E_m(x)=
\sum_{n=0}^m \frac{1}{2^n}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m</math>
で与えられる。これはまた、オイラー数 {{mvar|E<sub>k</sub>}} を用いれば
: <math>E_m(x)=
\sum_{k=0}^m {m \choose k} \frac{E_k}{2^k}
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{m-k}</math>
とも書ける。

== 冪和公式 ==
{{mvar|p}}-乗和は、

:<math>\sum_{k=0}^{x} k^p = \frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}</math>

の様にかける(ただし[[0の0乗|0<sup>0</sup>]]=1)。[[ファウルハーバーの公式]]も参照。

== ベルヌーイ数とオイラー数 ==
[[ベルヌーイ数]]は、ベルヌーイ多項式を用いて、<math>\textstyle B_n=B_n(0)</math>とかける。  

この定義は<math>\textstyle \zeta(-n) = -\frac{1}{n+1}B_{n+1} </math>を<math>\textstyle n=0, 1, 2 \cdots</math>に対し与える。 

別の定義では、ベルヌーイ数は<math>\textstyle B_n=B_n(1)</math>とされる。

二つの定義は、<math>B_1(1)= \frac{1}{2} = -B_1(0)</math>から<math>n=0</math>の場合に対してのみ異なる。

また、オイラー数は、オイラー多項式を用いて、<math>E_n=2^nE_n(\frac{1}{2})</math>とかける。

== 低次の場合の明示展開 ==
最初のいくつかの''n''に対するベルヌーイ多項式は以下のようになる。
:<math>B_0(x)=1\,</math>
:<math>B_1(x)=x-\frac{1}{2}\,</math>
:<math>B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}\,</math>
:<math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,</math>
:<math>B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,</math>
:<math>B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,</math>
:<math>B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.\,</math>

また、最初のいくつかの''n''に対するオイラー多項式は以下のようになる。
:<math>E_0(x)=1\,</math>
:<math>E_1(x)=x-\frac{1}{2}\,</math>
:<math>E_2(x)=x^2-x\,</math>
:<math>E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\,</math>
:<math>E_4(x)=x^4-2x^3+x\,</math>
:<math>E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}\,</math>
:<math>E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x.\,</math>

== 最大値と最小値 ==
{{mvar|n}} が大きくなるにつれ、{{math|''B''<sub>''n''</sub>(''x'')}} の {{math|1= ''x''&nbsp;=&nbsp;0}} と {{math|1= ''x''&nbsp;=&nbsp;1}} の間での変動量は大きくなる。例えば

:<math>B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-\frac{182}{3}x^{12}+\frac{572}{3}x^{10}-429x^8+\frac{1820}{3}x^6
-\frac{1382}{3}x^4+140x^2-\frac{3617}{510}</math>

は {{math|1= ''x''&nbsp;=&nbsp;0}} における値が（{{math|1= ''x''&nbsp;=&nbsp;1}} における値も）{{math|−3617/510 ≈&nbsp;−7.09}} である一方、{{math|1= ''x''&nbsp;=&nbsp;1/2}} における値は {{math|118518239/3342336 ≈&nbsp;+7.09}} である。 {{仮リンク|デリック・ヘンリー・レーマー|en|Derrick Henry Lehmer}}<ref>D.H. Lehmer, "On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'', volume 47, pages 533–538 (1940)</ref>は {{math|''B''<sub>''n''</sub>(''x'')}} の {{math|0}} と {{math|1}} の間での最大値が {{mvar|n}} が法 {{math|4}} に関して {{math|2}} でない限り

:<math>M_n < \frac{2n!}{(2\pi)^n}</math>

を満たすことを示した。{{mvar|n}} が法 {{math|4}} に関して {{math|2}} であるときは、

:<math>M_n = \frac{2\zeta(n)n!}{(2\pi)^n}</math>

（ここで <math>\zeta(x)</math> は[[リーマンゼータ関数]]）となる。一方で、最小値は {{mvar|n}} が法 {{math|4}} に関して {{math|0}} でない限り

:<math>m_n > \frac{-2n!}{(2\pi)^n}</math>

を満たす。{{mvar|n}} が法 {{math|4}} に関して {{math|0}} であるときは、

:<math>m_n = \frac{-2\zeta(n)n!}{(2\pi)^n}</math>

である。これらの評価は実際の最大値・最小値に極めて近く、またレーマーはより精緻な評価も与えている。

== 微分と差分 ==
[[陰計算]]により、ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式に関する多くの関係式が得られる。

:<math>\Delta B_n(x) = B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1},</math>
:<math>\Delta E_n(x) = E_n(x+1)-E_n(x)=2(x^n-E_n(x)).</math>

(Δは[[前進差分作用素]])。

これらの[[多項式列]]はアペル列である。即ち
:<math>B_n'(x)=nB_{n-1}(x),</math>
:<math>E_n'(x)=nE_{n-1}(x).</math>
を満たす。

=== 平行移動 ===
{{main|二項型多項式列}}
:<math>B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k},</math>
:<math>E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}.</math>
これらの等式が成り立つこともまた、これらの多項式列がアペル列であるという主張と同値である。（[[エルミート多項式]]列も同様の例として挙げられる）。

=== 対称性 ===

:<math>B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)\quad (n \ge 0),</math>
:<math>E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x),</math>
:<math>(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1},</math>
:<math>(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n,</math>
:<math>B_n(1/2) = (1/2^{n-1}-1)B_n \quad (n \geq 0)</math>: 後述の乗法公式から従う。

[[孫智偉]]とハオ・パン<ref>{{cite journal |author1=Zhi-Wei Sun |author2=Hao Pan |journal=Acta Arithmetica |volume=125 |year=2006 |pages=21–39 |title=Identities concerning Bernoulli and Euler polynomials  |arxiv=math/0409035 |doi=10.4064/aa125-1-3}}</ref>は以下の驚くべき対称関係を確立した。今、{{math| ''r'' + ''s'' + ''t'' {{=}} ''n''}}かつ{{math| ''x'' + ''y'' + ''z'' {{=}} 1}}とすると、

:<math>r[s,t;x,y]_n+s[t,r;y,z]_n+t[r,s;z,x]_n=0,</math>

が成り立つ。ただし、

:<math>[s,t;x,y]_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{s \choose k}{t\choose {n-k}}
B_{n-k}(x)B_k(y)</math>
である。
== フーリエ級数 ==
ベルヌーイ多項式の[[フーリエ級数]]は、

:<math>B_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}= -2 n! \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\left(2 k \pi x- \frac{n \pi} 2 \right)}{(2 k \pi)^n}</math>
なる式で与えられる[[ディリクレ級数]]でもある（単純に {{mvar|n}} が大きいとき、適当にスケール変換された三角函数に近づくことに注意せよ）。

これは[[フルヴィッツのゼータ函数]]に対する同様の表示の特別の場合

:<math>B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty
\frac{ \exp (2\pi ikx) + e^{i\pi n} \exp (2\pi ik(1-x)) } { (2\pi ik)^n }</math>

である。この展開は {{math|''n''&nbsp;≥&nbsp;2}} のとき {{math|0&nbsp;≤&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1}} で、{{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;1}} のとき {{math|0&nbsp;<&nbsp;''x''&nbsp;<&nbsp;1}} で有効である。

オイラー多項式のフーリエ級数も求められる。フーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数を以下のように定義すると。

:<math>C_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty
\frac {\cos((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu},</math>
:<math>S_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty
\frac {\sin((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu}.</math>

ただし、<math>\nu > 1</math>とする。また、

:<math>C_{2n}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n-1)!}
\pi^{2n} E_{2n-1} (x)</math>
:<math>S_{2n+1}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n)!}
\pi^{2n+1} E_{2n} (x)</math>

である。{{mvar|C{{msub|ν}}}} および {{mvar|S{{msub|ν}}}} はそれぞれ（{{math|''x'' {{=}} 1/2}} に関して）[[偶関数と奇関数|奇関数および偶関数]]、即ち
:<math>C_\nu(x) = -C_\nu(1-x),</math>
:<math>S_\nu(x) = S_\nu(1-x)</math>
を満たすことに注意せよ。これらは[[ルジャンドルのカイ関数]] <math>\chi_\nu</math>を用いて、
:<math>C_\nu(x) = \operatorname{\Re\mathit{e}} \chi_\nu (e^{ix}),</math>
:<math>S_\nu(x) = \operatorname{\Im\mathit{m}} \chi_\nu (e^{ix})</math>
ともかける。

== 反転公式 ==
ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式は、逆にこれらの多項式列の各項を用いて[[単項式]]を表すことができる。

具体的には、[[#積分表示]]で書いたことから、
:<math>x^n = \frac {1}{n+1}
\sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k (x)
</math>
:<math>x^n = E_n (x) + \frac {1}{2}
\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} E_k (x)
</math>
と分かる。

== 下降階乗との関係 ==
ベルヌーイ多項式は[[下降階乗冪]]<math>x^{\underline{n}}</math>を用いて

:<math>B_{n+1}(x) =  B_{n+1} + \sum_{k=0}^n
\frac{n+1}{k+1}
\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}
x^{\underline{n+1}}</math>
と展開できる。ここで、<math>B_n=B_n(0)</math> および

:<math>\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} = S(n,k)</math>

は[[スターリング数#第2種スターリング数|第二種スターリング数]]をあらわす。上記とは反対に、ベルヌーイ多項式を用いて、下降階乗冪を

:<math>x^{\underline{n+1}} = \sum_{k=0}^n
\frac{n+1}{k+1}
\left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]
\left(B_{k+1}(x) - B_{k+1} \right) </math>
と表すこともできる。ここで、
:<math>\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = s(n,k)</math>

は[[スターリング数#第1種スターリング数|第一種スターリング数]]を表す。

== 乗法定理 ==
この[[乗法定理]]は[[ジョセフ・ルートヴィヒ・ラーベ]]が1851年に与えた。

1以上の自然数''m''に対して、

:<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math>
:<math>E_n(mx)= m^n \sum_{k=0}^{m-1}
(-1)^k E_n \left(x+\frac{k}{m}\right)
\quad \mbox{ for } m=1,3,\dots</math>
:<math>E_n(mx)= \frac{-2}{n+1} m^n \sum_{k=0}^{m-1}
(-1)^k B_{n+1} \left(x+\frac{k}{m}\right)
\quad \mbox{ for } m=2,4,\dots</math>
である。

== 積分公式 ==
[[不定積分]]は、
:<math>\int_a^x B_n(t)\,dt =
\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}</math>
:<math>\int_a^x E_n(t)\,dt =
\frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}</math>
である。[[定積分]]は、
:<math>\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt =
(-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m}
\quad \mbox { for } m,n \ge 1 </math>
:<math>\int_0^1 E_n(t) E_m(t)\,dt =
(-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m! n!}{(m+n+2)!} B_{n+m+2}</math>
のような式が知られている。

== 周期ベルヌーイ多項式 ==
'''周期ベルヌーイ多項式''' {{math|''P''<sub>''n''</sub>(''x'')}} は、{{mvar|x}} の小数部分におけるベルヌーイ多項式の値に等しい。これらの関数は、[[オイラーの和公式]]の積分に関連した和の剰余項を提供するために用いられる。最初の多項式は[[のこぎり波|のこぎり波関数]]である。

厳密にいえば、これらの関数は多項式ではまったくないので、より適切に'''周期ベルヌーイ関数'''と呼ばれるべきである。  

以下の性質は興味深い。任意の {{mvar|x}} に対して:

* 任意の {{math|''k'' &ne; 1}} に対して、{{math|''P''{{msub|''k''}}(''x'')}} は連続である。
* {{math|''P''{{msub|''k''}}{{'}}(''x'')}} は存在して、{{math|1= ''k'' = 0, ''k'' &ge; 3}} のとき連続である。
* {{math|''k'' &ge; 3}} に対して {{math|''P''{{msub|''k''}}{{'}}(''x'') {{=}} ''kP''{{msub|''k''&minus;1}}(''x'')}} が成り立つ。

== 注釈 ==
<references />

== 参考文献 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', (1972) Dover, New York. ''(See  [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_804.htm Chapter 23])''

* {{Apostol IANT}} ''(See chapter 12.11)''
*{{dlmf|first=K. |last=Dilcher|id=24|title=Bernoulli and Euler Polynomials}}

* {{Cite journal | last1 = Cvijović | first1 = Djurdje | last2 = Klinowski | first2 = Jacek | year = 1995 | title = New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments | url = | journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 123 | issue = | pages = 1527–1535 | doi=10.2307/2161144}}

* {{Cite journal | doi = 10.1007/s11139-007-9102-0 | last1 = Guillera | first1 = Jesus | last2 = Sondow | first2 = Jonathan | year = 2008 | title = Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent | arxiv = math.NT/0506319 | journal = The Ramanujan Journal | volume = 16 | issue = 3| pages = 247–270 }} ''(Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)''

* {{cite book | author=Hugh L. Montgomery | authorlink=Hugh Montgomery (mathematician) |author2=Robert C. Vaughan |authorlink2=Robert Charles Vaughan (mathematician)  | title=Multiplicative number theory I. Classical theory | series=Cambridge tracts in advanced mathematics | volume=97 | year=2007 | isbn=0-521-84903-9 | pages=495–519 | publisher=Cambridge Univ. Press | location=Cambridge }}

== 関連項目 ==
* [[ベルヌーイ数]]
* {{仮リンク|スターリング多項式|en|Stirling polynomial}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:へるぬういたこうしき}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数論]]
[[Category:多項式]]
[[Category:ベルヌーイ家]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]