ベルンシュタインの定理のソースを表示

'''ベルンシュタインの定理'''（ベルンシュタインのていり、'''カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理'''、'''シュレーダー＝ベルンシュタインの定理'''、'''カントール＝ベルンシュタインの定理'''とも、{{Lang-en-short|Schröder–Bernstein theorem}}）とは、[[集合]] ''A'' から集合 ''B'' に[[単射]] があり、集合 ''B'' から集合 ''A'' へも単射があれば、集合 ''A'' から集合 ''B'' への[[全単射]]があるというものである。[[濃度 (数学)|濃度]]においては、これは |''A''| &le; |''B''| かつ |''B''| &le; |''A''| ならば |''A''| = |''B''| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。

== 歴史 ==
数学ではよくあることだが、この定理は歴史的に込み入った事情を経て成立しており、歴史的経緯を正確に反映した名前を決めるのは難しい。伝統的によく用いられていた「シュレーダー＝ベルンシュタイン」は1898年に独立に公刊された2つの証明<ref>{{cite|last=Schröder| first=E. | title= Über zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor'sche Sätze| journal= Abh. Kaiserl. Leop.-Car. Akad. Naturf| volume= 71| year=1898| pages= 301-362}}</ref><ref name="borel">{{cite book|last=Borel|first= E.|title= Leçons sur la théorie des fonctions|place= Paris| publisher= Gauthier-Villars et fils|year= 1898}}</ref>の著者を反映している。一方、歴史的に最初（1895年）にこの定理の主張を初めて発表したカントールの名前が加えられたり、シュレーダーの証明には誤りが含まれていた<ref>{{cite|last=Korselt|first= A.|title= Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes| journal= Math. Ann.| volume= 70 |year=1911| pages= 295-296|doi=10.1007/BF01461161}} </ref>ためシュレーダーの名前は加えられなかったり、という事情がある。さらに、歴史的にこの定理を初めて証明したデデキントの名前は普通加えられていない。

時系列をまとめると次のようになる。
* 1887年 [[リヒャルト・デデキント]]がこの定理を証明する<ref>{{cite book| first=R.| last=Dedekind|title= Gesammelte Werke III|place= Braunschweig|year= 1932}}</ref>が発表せず
* 1895年 [[ゲオルク・カントール]]の最初の集合論と超限数の論文<ref>{{cite|first=G.| last=Cantor| title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre I| journal= Math. Ann.|volume=46 |year= 1895|pages= 481–512|doi=10.1007/BF02124929}}</ref>に基数の比較可能性の帰結としてこの定理の主張が述べられる
* 1896年 [[エルンスト・シュレーダー]]が証明を発表する<ref>{{cite|last=Schröder|first= E.|title= Über G. Cantor'sche Sätze |journal= Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung| volume= 5 | year=1896|pages= 81-82}}</ref>
* 1897年 カントールのセミナーに参加していた学生だった[[フェリックス・ベルンシュタイン]]が証明を付ける
* 1897年 ベルンシュタインの訪問を受けた後でデデキントが独立に2つ目の証明を見つける
* 1898年 [[エミール・ボレル]]の著書<ref name="borel" />の中で（1897年にチューリッヒでカントールから教わった）ベルンシュタインの証明が述べられる
デデキントの2つの証明はどちらも、自身によるモノグラフ<ref>{{cite book|last=Dedekind| first=R. |title=Was sind und was sollen die Zahlen? |year=1893 |place=Braunschweig}}</ref>中で示された、
: <math> A \subset B \subset C, | A | = | C | \Rightarrow | A | = | B | = | C | </math>
に相当する命題に基づくものだった。カントールはこの定理に相当する現象を1882年か83年ごろには集合論と超限数の研究の過程で（選択公理の仮定の下で、ということになるが）発見していたとされる。

==証明==
集合 ''A'' と ''B'' との間に単射写像
:<math>f \colon A \to B,\ g \colon B \to A</math>
が与えられたとする。
集合族
<math>\{ C_n \}_{n \in \mathbb{N}}</math>
を、次のように帰納的に定義する。
:<math>
  C_0 := A \setminus g(B), 
</math>
:<math>
  C_{n+1}  := g( f( C_n ) )
</math>
これらの和集合を
:<math>C = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n</math>
とすると、''C'' の補集合は ''g'' の像に含まれる。ここで、''g'' の単射性によって式
:<math>h(x) = \begin{cases} 
  f(x)& \text{if }x \in C \\ 
  g^{-1}(x)& \text{if } x \notin C
\end{cases}</math>
は写像を定めているが、この''h'' は全単射になっている。実際、''x'' &isin; ''C''<sub>''i''</sub>, ''y'' &isin; ''A''で <math>g^{-1}(y) = f(x)</math> が成り立つならば ''y'' &isin; ''C''<sub>''i'' + 1</sub>となることから ''h'' の単射性が従う。一方、
:<math>g^{-1}(A\setminus C) = g^{-1}(A)\setminus g^{-1}(C)</math>
であり、''g''<sup>-1</sup>(''A'') = ''B'' と
:<math>\quad g^{-1}(C) = g^{-1}(C \setminus C_0) = \cup_{i=1}^\infty g^{-1}(C_i) = \cup_{i=1}^\infty g^{-1}(g (f (C_{i-1}))) = \cup_{i=0}^\infty f(C_i) = f(C)</math>
から、<math>g^{-1}(A \setminus C)  = B \setminus f(C)</math>であるが、これは ''h'' が全射であることを示している。

==例==
ベルンシュタインの定理を用いて、 <math>[0, \infty)</math> から <math>(0, \infty)</math> への全単射を構成する。<br />
関数 <math>f\colon [0, \infty) \to (0, \infty)</math>, <math> g\colon (0, \infty) \to [0, \infty)</math>
を <math>f(x)=x+1</math>, <math>g(x)=x</math> と定めると、どちらも単射である。<br />
このとき、<math>g\circ f(x)=x+1</math>, <math>(g\circ f)^n(x)=x+n</math> であるから、
:<math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}(g\circ f)^n([0, \infty)\setminus g((0, \infty)))=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}(g\circ f)^n([0, \infty)\setminus (0, \infty))=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}(g\circ f)^n(\{0\})=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}\{n\}=\mathbb{N}</math>
となる。<br />
したがって、 <math>g^{-1}(x)=x</math> に注意して、関数 <math>h\colon [0, \infty) \to (0, \infty)</math> を
:<math>h(x) = \begin{cases} 
  x+1& \text{if }x \in \mathbb{N}\\ 
  x& \text{if } x \notin \mathbb{N}
\end{cases}</math>
と定めると、<math>h</math> は <math>[0, \infty)</math> から <math>(0, \infty)</math> への全単射になる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author={{仮リンク|マーティン・アイグナー|en|Martin Aigner}}|coauthors={{仮リンク|ギュンター・ツィーグラー|en|Gunter M. Ziegler}}|others=[[蟹江幸博]] 訳|origdate=2002-12|date=2012-09|title=天書の証明|edition=縮刷版|publisher=丸善出版|isbn=978-4-621-06535-8|url=http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621065358.html|ref={{Harvid|アイグナー|ツィーグラー|2012}}}} - 原タイトル：''Proofs from The Book''。
*{{citation|mr=3026479|last=Hinkis|first= Arie
|title=Proofs of the Cantor-Bernstein theorem. A mathematical excursion|series= Science Networks. Historical Studies
|volume= 45|publisher= Birkhäuser/Springer|place= Heidelberg|year= 2013
|isbn= 978-3-0348-0223-9|url=http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-0224-6/page/1|doi=10.1007/978-3-0348-0224-6 }}

== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
*{{仮リンク|可測空間のシュレーダー＝ベルンシュタインの定理|en|Schröder–Bernstein theorem for measurable spaces}}
*{{仮リンク|作用素環のシュレーダー＝ベルンシュタインの定理|en|Schröder–Bernstein theorems for operator algebras}}
*{{仮リンク|シュレーダー＝ベルンシュタインの性質|en|Schröder–Bernstein property}}
*{{仮リンク|マイヒルの同型定理|en|Myhill isomorphism theorem}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ベルンシュタインの定理|2=法則の辞典}}
*{{MathWorld|title=Schröder-Bernstein Theorem|urlname=Schroeder-BernsteinTheorem}}
*{{nlab|id=Cantor-Schroeder-Bernstein+theorem|title=Cantor-Schroeder-Bernstein theorem}}

{{集合論}}

{{DEFAULTSORT:へるんしゆたいん}}<!--カテゴリの50音順-->
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