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[[ファイル:Ben Green.jpg|thumb|right|ベン・グリーン]]
'''ベン・グリーン''' （''Ben Joseph Green'', [[1977年]][[2月27日]] - ）は、[[イギリス]]の[[ブリストル]]出身の[[数学者]]。元[[ブリストル大学]]教授([[2005年]][[1月]] - [[2006年]][[9月]]),元[[ケンブリッジ大学]]教授([[2006年]][[9月]] - [[2013年]][[7月]],[[w:Herchel Smith]] Professor of Pure Mathematics)。現在は[[オックスフォード大学]]教授（[[2013年]][[8月]] - , Waynflete Professor of Pure Mathematics）。専門は数論的組合わせ論。

[[ケンブリッジ大学]]に学び、[[ウィリアム・ティモシー・ガワーズ|ティモシー・ガワーズ]]の指導のもと2003年に博士号を取得。
2004年には[[テレンス・タオ]]との共同研究（[[素数]]の集合のなかには任意の長さの[[等差数列]]が存在することを証明）を発表して一躍注目を集めた。

またグリーン個人により、[[自然数]]に関する{{仮リンク|キャメロン・エルデシュ予想|en|Cameron–Erdős conjecture}}を解決した。2010年[[王立協会フェロー]]選出。

== 幼少期と教育 ==
ベン・グリーンは1977年2月27日にイングランドの[[ブリストル]]で生まれた。彼はブリストルの地元の学校、[[ビショップ・ロード小学校]]および[[フェアフィールド・グラマースクール]]で学び、1994年と1995年に[[国際数学オリンピック]]に出場した。<ref>{{IMO results |id=1137}}</ref> 1995年に[[ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジ]]に入学し、1998年に数学の[[文学士|BA]]を修了し、[[シニア・ラングラー（ケンブリッジ大学）|シニア・ラングラー]]の称号を獲得した。彼は[[数理トリポス パートIII|パートIII]]に進学し、[[ティモシー・ガワーズ]]の指導の下、博士論文「算術組合せ論のトピック」（2003年）を提出して博士号を取得した。博士課程在籍中、1年間を[[プリンストン大学]]で客員学生として過ごした。彼は2001年から2005年までケンブリッジ大学トリニティ・カレッジのリサーチ・フェローを務め、その後、2005年1月から2006年9月まで[[ブリストル大学]]の数学教授を務め、2006年9月から2013年8月まで[[ケンブリッジ大学]]の初代[[ハーシェル・スミス純粋数学教授職]]に就任した。2013年8月1日には[[オックスフォード大学]]の[[ウェインフリート純粋数学教授職]]に就任した。また、彼は[[クレイ数学研究所]]のリサーチ・フェローでもあり、[[プリンストン大学]]、[[ブリティッシュコロンビア大学]]、[[マサチューセッツ工科大学]]などの研究機関で様々な職を務めた。

== 数学 ==

グリーンの研究の大部分は[[解析的整数論]]と[[加法的組合せ論]]の分野に属していますが、[[調和解析]]や[[群論]]においても成果を上げています。彼の最も有名な定理は、彼の頻繁な共同研究者である[[テレンス・タオ]]と共同で証明したもので、[[素数]]の中には任意の長さの[[等差数列]]が存在するというものです。これは現在、[[グリーン＝タオの定理]]として知られています。<ref>{{Cite journal|last1=Green|first1=Ben|last2=Tao|first2=Terence|date=2008|title=The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions|jstor=40345354|journal=Annals of Mathematics|volume=167|issue=2|pages=481–547|arxiv=math/0404188|doi=10.4007/annals.2008.167.481|s2cid=1883951}}</ref>

グリーンの加法的組合せ論における初期の成果には、[[ジャン・ブルガン]]の結果を改善した[[和集合]]における等差数列のサイズに関するもの<ref>{{Cite journal|last=Green|first=B.|date=1 August 2002|title=Arithmetic progressions in sumsets|journal=Geometric & Functional Analysis|language=en|volume=12|issue=3|pages=584–597|doi=10.1007/s00039-002-8258-4|s2cid=120755105|issn=1016-443X}}</ref>や、[[カメロン・エルデシュ予想]]を[[自然数]]の和のない集合に対して証明したものがあります。<ref>{{Cite journal|last=GREEN|first=BEN|date=19 October 2004|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|language=en|volume=36|issue=6|pages=769–778|doi=10.1112/s0024609304003650|issn=0024-6093|arxiv=math/0304058|title=The Cameron–Erdos Conjecture|s2cid=119615076}}</ref> また、彼は、グラフに対する[[セメレディ正則補題]]に類似する、最初の<math>N</math>個の自然数上に定義された関数に対する算術的正則補題を証明しました。<ref>{{Cite journal|last=Green|first=B.|date=1 April 2005|title=A Szemerédi-type regularity lemma in abelian groups, with applications|journal=Geometric & Functional Analysis|language=en|volume=15|issue=2|pages=340–376|doi=10.1007/s00039-005-0509-8|issn=1016-443X|arxiv=math/0310476|s2cid=17451915}}</ref>

2004年から2010年にかけて、グリーンは[[テレンス・タオ]]や[[タマー・ツィーグラー]]と共同で、いわゆる[[高次フーリエ解析]]を発展させました。この理論は[[ゴワーズノルム]]と[[ニル列]]と呼ばれるオブジェクトを関連付けます。この理論の名前は、古典的な[[フーリエ解析]]における[[指標群]]の役割に似た役割を果たすニル列から取られています。グリーンとタオは高次フーリエ解析を用いて、特定の整数集合（素数を含む）における連立方程式の解の数を数える新しい方法を提案しました。<ref>{{Cite journal|last1=Green|first1=Benjamin|last2=Tao|first2=Terence|date=2010|title=Linear equations in primes|jstor=20752252|journal=Annals of Mathematics|volume=171|issue=3|pages=1753–1850|doi=10.4007/annals.2010.171.1753|doi-access=free|arxiv=math/0606088}}</ref> これは、古典的な[[ハーディ＝リトルウッド円法]]を一般化したものです。この理論の多くの側面、特にゴワーズノルムに対する逆定理の定量的側面<ref>{{Cite journal|last1=Green|first1=Ben|last2=Tao|first2=Terence|last3=Ziegler|first3=Tamar|date=2012|title=An inverse theorem for the Gowers U s+1 [N]-norm|jstor=23350588|journal=Annals of Mathematics|volume=176|issue=2|pages=1231–1372|doi=10.4007/annals.2012.176.2.11|doi-access=free|arxiv=1006.0205}}</ref>は、現在も研究が続けられています。

グリーンはまた、[[エマニュエル・ブルイアール]]と共同で群論のトピックにも取り組んでいます。特に、[[テレンス・タオ]]との共同研究において、彼らは[[近似群]]に対する構造定理を証明しました。これは、[[フライマン＝ルーザの定理]]を整数の小さな倍加を持つ集合に対して一般化したものです。<ref>{{Cite journal|last1=Breuillard|first1=Emmanuel|last2=Green|first2=Ben|last3=Tao|first3=Terence|date=1 November 2012|title=The structure of approximate groups|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS|language=en|volume=116|issue=1|pages=115–221|doi=10.1007/s10240-012-0043-9|issn=0073-8301|arxiv=1110.5008|s2cid=119603959}}</ref> グリーンはまた、[[ケビン・フォード]]や[[ショーン・エバーハード]]と共同で[[対称群]]の理論に取り組み、特に<math>k</math>個の集合を固定する要素の割合に関する研究を行っています。<ref>{{Cite journal|last1=Eberhard|first1=Sean|last2=Ford|first2=Kevin|last3=Green|first3=Ben|date=23 December 2015|title=Permutations Fixing a k-set|journal=International Mathematics Research Notices|language=en|volume=2016|issue=21|pages=6713–6731|doi=10.1093/imrn/rnv371|issn=1073-7928|arxiv=1507.04465|bibcode=2015arXiv150704465E|s2cid=15188628}}</ref>

グリーンとタオはまた、[[代数的離散幾何学]]に関する論文を発表しており、[[シルベスター＝ガライの定理#通常の直線の数|シルベスター＝ガライの定理]]に関連するディラック＝モツキン予想を解決しました。特に、平面上の任意の<math>n</math>個の点がすべて[[一直線上]]にない場合、<math>n</math>が十分に大きければ、平面上には正確に2点を含む直線が少なくとも<math>n/2</math>本存在することを証明しました。<ref>{{Cite journal|last1=Green|first1=Ben|last2=Tao|first2=Terence|date=1 September 2013|title=On Sets Defining Few Ordinary Lines|journal=Discrete & Computational Geometry|language=en|volume=50|issue=2|pages=409–468|doi=10.1007/s00454-013-9518-9|issn=0179-5376|arxiv=1208.4714|s2cid=15813230}}</ref>

[[ケビン・フォード]]、ベン・グリーン、[[セルゲイ・コニャギン]]、[[ジェームズ・メイナード]]、[[テレンス・タオ]]は、当初は2つの別々の研究グループで、その後合同で、<math>X</math>以下の素数の中で連続する2つの素数の間の最大の間隔の下限を改善しました。<ref>{{cite arXiv|last1=Ford|first1=Kevin|last2=Green|first2=Ben|last3=Konyagin|first3=Sergei|last4=Maynard|first4=James|last5=Tao|first5=Terence|date=16 December 2014|title=Long gaps between primes|eprint=1412.5029|class=math.NT}}</ref> ランキンによって本質的に証明された以前の最良の下限形式は、76年間改良されていませんでした。

最近では、グリーンは算術的[[ラムゼー理論]]における問題に取り組んでいます。[[トム・サンダース]]との共同研究で、十分に大きな素数位数の[[有限体]]が固定された色数で彩色されると、その体には<math>x, y</math>という要素が存在し、<math>x, y, x + y, xy</math>がすべて同じ色を持つことを証明しました。<ref>{{Cite journal|last1=Green|first1=Ben|last2=Sanders|first2=Tom|date=1 March 2016|title=Monochromatic sums and products|journal=Discrete Analysis|language=en|volume=5202016|issue=1|doi=10.19086/da.613|issn=2397-3129|arxiv=1510.08733|s2cid=119140038}}</ref>

グリーンはまた、[[クルート＝レブ＝パハ＝エレンベルグ＝ヒスワイト]]による、[[組合せ論における多項式法]]を応用して、[[線形方程式]]を解を持たない有限[[ベクトル空間]]の部分集合のサイズに制限を設ける新しい方法にも関与しています。彼はこれらの方法を適応させ、関数体において[[ファーステンベルグ–サルコジの定理]]の強い版を証明しました。<ref>{{Cite journal|last=Green|first=Ben|date=23 November 2016|title=Sárközy's Theorem in Function Fields|journal=The Quarterly Journal of Mathematics|language=en|volume=68|issue=1|pages=237–242|doi=10.1093/qmath/haw044|issn=0033-5606|arxiv=1605.07263|s2cid=119150134}}</ref>

== 受賞歴 ==
*2004年 [[クレイ研究賞]]
*2005年 [[サレム賞]]
*2005年 [[ホワイトヘッド賞]]
*2007年 [[SASTRAラマヌジャン賞]]
*2008年 [[ヨーロッパ数学会賞]]
*2014年 [[シルヴェスター・メダル]]
*2019年 [[シニア・ホワイトヘッド賞]]

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 外部リンク ==
* [http://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/ Ben Green's website]
* [http://www.dpmms.cam.ac.uk/site2002/People/green_bj.html Prof B.J. Green]

{{典拠管理}}

{{DEFAULTSORT:くりいん へん}}
[[Category:20世紀イングランドの数学者]]
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[[Category:イギリスの数論学者]]
[[Category:ケンブリッジ大学の教員]]
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[[Category:ブリストル出身の人物]]
[[Category:王立協会フェロー]]
[[Category:アメリカ数学会フェロー]]
[[Category:1977年生]]
[[Category:存命人物]]
[[Category:クレイ研究賞受賞者]]<!-- 2004年 -->
[[Category:サレム賞の受賞者]]<!-- 2005年 -->
[[Category:ホワイトヘッド賞の受賞者]]<!-- 2005年 -->
[[Category:ヨーロッパ数学会賞受賞者]]<!-- 2008年 -->
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[[Category:数学に関する記事]]