ベータ関数のソースを表示

{{No footnotes|date=2016年11月27日 (日) 07:10 (UTC)}}
{{Otheruses|[[特殊関数]]であるベータ関数|[[場の量子論]]であつかうベータ関数|ベータ関数 (物理学)}}

[[数学]]における'''ベータ関数'''（ベータかんすう、{{lang-en-short|beta function}}）とは、[[特殊関数]]のひとつである。ベータ関数は、'''[[オイラー積分|第一種オイラー積分]]'''とも呼ばれる（なお、ベータ関数と深い関わりをもつ[[ガンマ関数]]は、第二種オイラー積分と呼ばれる）。

一般化された関数として、[[セルバーグ積分]]がある。

== 定義 ==
<math>\Re(x)>0</math>, <math>\Re(y)>0</math> を満たす[[複素数]] <math>x</math>, <math>y</math> に対して、ベータ関数は次式で定義される:
:<math>\Beta(x,\, y) := \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,{\rm d}t.</math>

== 性質 ==
=== 対称性 ===
ベータ関数は次のような[[対称性]]を持つ。
:<math>\Beta(x,\, y) = \Beta(y,\, x).</math>
==== 証明 ====
置換積分による計算を行う。<math>u =1 -t</math> とおくと、<math>{\rm d}t =-{\rm d}u</math> であり、また積分区間は <math>t\colon 0\to 1</math> から <math>u\colon 1\to 0</math> へと変化するから、
:<math>\begin{aligned}\Beta(x,\, y) &= \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,{\rm d}t\\ &= -\int_{1}^{0} (1-u)^{x-1} u^{y-1}\,{\rm d}u\\
&= \int_{0}^{1} (1-u)^{x-1} u^{y-1}\,{\rm d}u\\
&= \int_{0}^{1} t^{y-1} (1-t)^{x-1}\,{\rm d}t\\
&= \Beta(y,\, x).
\end{aligned}</math>
したがって、<math>\Beta(x,\, y) =\Beta(y,\, x)</math> が示された。

=== 関数等式 ===
ベータ関数は次の関係式を満たす。
*<math>x\Beta(x,\, y+1) =y\Beta(x+1,\, y).</math>

*<math>\Beta(x,\, y) =\Beta(x+1,\, y) +\Beta(x,\, y+1).</math>

*<math>(x+y)\Beta(x,\, y+1) =y\Beta(x,\, y).</math>

*<math>\Beta(x,\, x) =2^{1-2x} \Beta\left(\frac{1}{2},\,x\right).</math>

*<math>\Beta(x,\, y)\,\Beta(x+y,\, z) =\Beta(y,\, z)\,\Beta(y+z,\,x) =\Beta(z,\, x)\,\Beta(z+x,\,y).</math>

=== 積分表示 ===
[[積分法#その他の性質|変数変換]]を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は <math>\Re(x)>0</math>、<math>\Re(y)>0</math> である。
*<math>\Beta(x,\, y) =2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,{\rm d}\theta.</math>

*<math>\Beta(x,\, y) =\int_{0}^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,{\rm d}t.</math>

*<math>\Beta(x,\, y) =\frac{1}{2^{x+y-1}} \int_{-1}^{1} (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1} \,{\rm d}t.</math>

=== ポッホハマーの表示 ===
<math>\log(\zeta(\zeta-1))</math> の[[リーマン面]]上の積分路として、実軸上の <math>(0, 1)</math> 内の点から出発し、<math>1</math> を正の向きに、<math>0</math> を正の向きに、<math>1</math> を負の向きに、<math>0</math> を負の向きの順で回って、元の点に戻る{{仮リンク|ポッホハマーの積分路|en|Pochhammer contour}}を取れば、次の'''ポッホハマーの表示'''が成り立つ。
:<math>\left(1-e^{2\pi ix}\right)\left(1-e^{2\pi iy}\right)\Beta(x,\, y)=
\int_{C}\zeta^{x-1}(1-\zeta)^{y-1} \, {\rm d}\zeta.</math>

=== ガンマ関数との関係 ===
ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。
:<math>\Beta(x,\, y) =\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>

=== 級数表示 ===
:<math>\Beta(x,\, y) =\frac{1}{y}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{y^{\underline{n+1}}}{n! (x+n)}.</math>
ただし、<math>x^{\underline{n}}</math> は[[下降階乗冪]]:
:<math>x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1),</math>
である。

=== 無限乗積表示 ===
:<math>\Beta(x,\, y) =\frac{x+y}{xy}\,\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{xy}{n(x+y+n)}\right)^{-1}.</math>

=== 評価 ===
[[スターリングの公式]]より、複素数<math>x</math>、<math>y</math> の実部が十分大きな正の値であるとき、
:<math>\Beta(x,\, y) \sim \sqrt{2\pi} \frac{x^{x-1/2}\, y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}.</math>
一方、<math>x</math> が十分大きく <math>y</math> が固定されているとき、
:<math>\Beta(x,\, y) \sim \mathrm{\Gamma}(y)\,x^{-y}.</math>

=== 特殊値 ===
複素数 <math>x</math> に対して、以下が成り立つ。
*<math>\Beta(1,\, x) = \frac{1}{x}.</math>
*<math>\Beta(x,\, 1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)} \qquad (x\notin \mathbb{Z}).</math>
*<math>\Beta\left(\frac{1}{2},\, x\right) = \frac{2^{2x-1}\{\Gamma(x)\}^2}{\Gamma(2x)}.</math>
特に、<math>\Beta\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2} \right) = \pi.</math>

非負の整数 <math>l</math>、<math>m</math> に対して、以下が成り立つ。
*<math>\Beta(l+1,\, m+1) =\frac{l!\,m!}{(l+m+1)!} = \frac{1}{(l+m+1)\dbinom{l+m}{m}}.</math>
*<math>\Beta\left(l+\frac{1}{2},\, m+1\right) =\frac{2^{2m+1}\, (2l)!\,m!\,(l+m)!}{l!\,(2l+2m+1)!} =\frac{2\, (2l-1)!!\,(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}.</math>
*<math>\Beta\left(l+\frac{1}{2},\, m+\frac{1}{2}\right) =\frac{\pi\, (2l)!\,(2m)!}{2^{2l+2m}\, l!\,m!\,(l+m)!} =\frac{\pi\, (2l-1)!!\,(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}.</math>

==参考文献==
* [[E. T. Whittaker]] and G. N. Watson, ''A Course of Modern Analysis''. Cambridge University Press 1927.

== 関連項目 ==
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{{Div col}}
* [[オイラー積分]]
* [[ガンマ関数]]
* [[ガンマ分布]]
* [[二項係数]]
* [[不完全ベータ関数]]
* [[ベータ分布]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|608|ベータ関数の積分公式}}
*{{Kotobank|ベータ関数}}
*[https://risalc.info/src/beta-function-properties.html ベータ関数とは？ ～ 性質と公式 ～] - 数理アラカルト
*[https://mathlandscape.com/beta-func/ ベータ関数とは～定義と性質8つとその証明～] - 数学の景色
*[https://mathlandscape.com/gamma-beta/ ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明] - 数学の景色
*{{MathWorld|title=Beta Function|urlname=BetaFunction}}
{{integral}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:へえたかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]