ベーテの式のソースを表示

'''ベーテの式'''（{{Lang-en-short|Bethe formula}}）とは、高速の[[荷電粒子]]（[[陽子]]、[[アルファ粒子]]、[[イオン (化学)|イオン]]）が物質を通過するとき移動距離あたりに失うエネルギーの平均量を表す式である（この量は[[阻止能]]と呼ばれる）<ref>H. Bethe und J. Ashkin in "Experimental Nuclear Physics, ed. E. Segré, J. Wiley, New York, 1953, p. 253</ref>。名は[[ハンス・ベーテ]]にちなむ。ベーテは1930年に[[相対性理論|非相対論的]]な表式を導き、1932年には相対論的な表式（後述）を作り出した<ref name="Sigmund">Sigmund, Peter ''Particle Penetration and Radiation Effects. Springer Series in Solid State Sciences, 151.'' Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. </ref>。'''ベーテ・ブロッホの式'''（{{Lang-en-short|Bethe-Bloch equation}}）と呼ばれることもある。

物質内を移動する高速の荷電粒子は、物質中の原子が持つ電子と相互作用を行ってその原子を励起もしくは電離させ、それと引き換えにエネルギーを失う。エネルギー損失の最確値は[[平均値]]とは一致せず、ランダウ-バビロフ分布に従う<ref>H. Bichsel, Rev. Mod. Phys. 60, 663 (1988)</ref>。飛んでいる粒子が電子である場合、質量が小さいため相対論補正が必要となり、また衝突相手の電子と[[同種粒子|区別できなくなる]]性質があるため失われるエネルギー量はわずかに異なる。さらに[[制動放射]]による損失も大きいのでその項を追加する必要がある。

== 式 ==
[[電子密度]] {{Mvar|n}} のターゲット物質に[[電気素量]] {{Mvar|e}} の {{Mvar|z}} 倍の電荷を持つ粒子が入射する場合を考える。物質内の移動距離を {{Mvar|x}} 、粒子の速度を {{Mvar|v}} 、エネルギーを {{Mvar|E}} として、相対論効果を含めたベーテの式は[[国際単位系]]で以下のように表される<ref name="Sigmund">Sigmund, Peter ''Particle Penetration and Radiation Effects. Springer Series in Solid State Sciences, 151.'' Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. </ref>。 {{NumBlk|:|<math>- \left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = \frac{4 \pi}{m_{\mathrm e} c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_{\mathrm e} c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]</math>|{{EquationRef|1}}}} ここで {{Mvar|c}} は[[光速|光速度]]、{{Math|''&epsilon;''<sub>0</sub>}} は[[電気定数|真空の誘電率]]、{{Math|''m''<sub>e</sub>}} は電子の[[不変質量|静止質量]]を意味する。また {{Math|1=''&beta;'' = ''v''/''c''}} である。{{Mvar|I}} は平均励起ポテンシャルと呼ばれる量で、ターゲット物質の原子が荷電粒子から受ける励起の平均的なエネルギーを表す。 
[[ファイル:StoppingHinAlBethe.png|右|450x450ピクセル| プロトンに対するアルミニウムの阻止能対プロトンエネルギー、および補正なし（赤）および補正あり（青）のBethe式 ]]
ターゲット物質の電子密度は以下の式で計算できる。 

: <math>n=\frac{N_{A}\cdot Z\cdot\rho}{A\cdot M_{u}}</math>

上式の {{Mvar|&rho;}} は材料の[[密度]]、{{Mvar|Z}} と {{Mvar|A}} はそれぞれ材料の[[原子番号]]と[[相対原子質量]]、{{Math|''N''<sub>A</sub>}} は[[アボガドロ定数|アボガドロ数]]、{{Math|''M''<sub>u</sub>}} は[[モル質量定数]]である。 

右に示すグラフでは、小さい白丸が複数の著者による実験値を、赤い曲線はベーテの式を表している<ref>{{Cite web|title=Stopping Power for Light and Heavier Ions|url=http://www.exphys.jku.at/Stopping/|accessdate=2015-11-01|date=2015-04-15}}</ref>。ベーテ理論は高エネルギー領域で実験と非常によく一致していることが明らかである。理論に修正を加えるとさらに良い一致が得られる（後述）。 

エネルギーが低い、すなわち粒子速度が小さい ({{Math|''&beta;'' ≪ 1}}) 場合には、ベーテの式は以下のように単純化される。 {{NumBlk|:|<math>- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi nz^2}{m_{\mathrm e} v^2}  
\cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2
\cdot \left[\ln \left(\frac{2m_{\mathrm e} v^2 }{I}\right)\right]</math>|{{EquationRef|2}}}} 式 (1) の {{Mvar|&beta;c}} を {{Mvar|v}} で置き換え、さらに {{Math|''&beta;''<sup>2</sup>}} は微小なので無視すると上式が得られる。   

式 (2) からわかるように、ベーテの式で表されるエネルギー損失は、低エネルギー領域においてはエネルギーの増加とともにほぼ {{Math|''v''<sup>&minus;2</sup>}} に比例して減少し、およそ {{Math|1=''E'' = 3''Mc''<sup>2</sup>}} で最小値に達する。この {{Mvar|M}} は粒子の質量である（粒子が陽子なら {{Mvar|M}} は約3000 [[電子ボルト|MeV]]になる）。その先の領域 ({{Math|''&beta;'' ≈ 1}}) では[[相対性理論|相対論]]効果が強くなり、エネルギー損失はエネルギーの増加とともに対数的に増加する<!---->。

== 平均励起ポテンシャル ==
[[ファイル:Mean_Excitation_Potential.png|サムネイル| 原子の平均励起ポテンシャル {{Mvar|I}}（単位[[電子ボルト|eV]]）を原子番号 {{Mvar|Z}} で割ったものを {{Mvar|Z}} に対してプロットした。 ]]
ベーテの理論では、材料の性質は平均励起ポテンシャル {{Mvar|I}} という一つの量のみで表される。[[フェリックス・ブロッホ]]は1933年に原子の平均イオン化ポテンシャルが近似的に以下で与えられることを示した。 {{NumBlk|:|<math> I = (10~\mathrm{eV}) \cdot Z</math>|{{EquationRef|3}}}} ここで {{Mvar|Z}} は材料原子の原子番号である。この近似を前述の式 (1) に導入すると、一般にベーテ・ブロッホの式と呼ばれる表式が得られる。しかし、現在では {{Mvar|Z}} に対して {{Mvar|I}} を与える正確なテーブルが作られており、式 (3) の代わりにそれを使えばもっと良い結果が得られる。 

あるテーブルから取得した {{Mvar|I}} の値（規格化されている）を右図に示す<ref name="ICRU49">Report 49 of the International Commission on Radiation Units and Measurements, "Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles", Bethesda, MD, USA (1993)</ref>。このグラフで山（谷）になっている箇所では、阻止能のグラフが谷（山）になる。これは「{{Math|''Z''<sub>2</sub>}}-振動」もしくは「{{Math|''Z''<sub>2</sub>}}-構造」と呼ばれている（ {{Math|''Z''<sub>2</sub>}} はターゲット物質の原子番号を意味する）。 

== ベーテ式の補正 ==
<!-- 理解不足のため1段落ぶん訳出しなかった。 --> 

ベーテの式は[[量子力学|量子力学的]]な[[摂動|摂動論]]によって導かれたため、粒子電荷 {{Mvar|z}} の2乗に比例している。{{Mvar|z}} の高次項にあたる補正を加えると結果はさらに改善される。そのような補正には'''バルカス・アンダーソン効果'''（ {{Math|''z''<sup>3</sup>}} に比例）や'''ブロッホ補正'''（ {{Math|''z''<sup>4</sup>}} に比例）がある。また、媒質物質の原子に含まれる電子が静止していないことを考慮した補正もある（'''殻補正'''）。 

[[陽子]]や[[アルファ粒子]]の阻止能を計算することが可能なPSTARやASTARなどのプログラムにはこれらの補正が組み込まれている<ref name="PSTAR">[[National Institute of Standards and Technology|NIST]]<span title="Interagency Report">IR</span> 4999, [//www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html Stopping Power and Range Tables]</ref>。補正項は低エネルギーでは大きく、エネルギーが増加するにつれて小さくなる。 

非常にエネルギーが高い領域では、[[エンリコ・フェルミ|フェルミ]]の'''密度効果'''による補正<ref name="ICRU49">Report 49 of the International Commission on Radiation Units and Measurements, "Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles", Bethesda, MD, USA (1993)</ref>も加える必要がある。 

== 名称の問題 ==
[[アメリカ国立標準技術研究所]]はPSTARやASTARの解説で式 (1) を "Bethe's stopping power formula"（ベーテの阻止能公式）と呼んでいる<ref name="PSTAR">[[National Institute of Standards and Technology|NIST]]<span title="Interagency Report">IR</span> 4999, [//www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html Stopping Power and Range Tables]</ref>。 

[[パーティクル・データ・グループ]]が公刊している総説 ''Review of Particle Physics'' では、ブロッホの近似式 (3) が用いられていないにもかかわらず "Bethe-Bloch equation"（ベーテ・ブロッホ方程式）の名が2008年の版まで使われた<ref>{{Cite journal|author=Particle Data Group, et al.|year=2008|title=Review of Particle Physics|journal=Physics Letters B|volume=667|issue=1-5|pages=1-6|doi=10.1016/j.physletb.2008.07.018}}</ref>。しかし後年の版で "Bethe formula"（ベーテの式）に変えられた<ref>{{Cite journal|author=K. Nakamura et al. (Particle Data Group)|year=2010|title=Review of Particle Physics|journal=Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics|volume=37|page=075021|doi=10.1088/0954-3899/37/7A/075021}}</ref><ref>{{Cite journal|author=J. Beringer et al. (Particle Data Group)|year=|title=Review of Particle Physics|journal=Physical Review D|volume=86|page=010001|doi=10.1103/PhysRevD.86.010001}}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[ランダウ分布]] 

== 参照資料 ==
<references />

== 外部リンク ==
* [http://meroli.web.cern.ch/meroli/Lecture_StragglingFunction.html The Straggling function. Energy Loss Distribution of charged particles]
* [https://archive.today/20110813022037/http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/abstract/112486659/ABSTRACT Original Publication: Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie in "Annalen der Physik", Vol. 397 (1930) 325 -400]
* [http://pdg.lbl.gov/2006/reviews/passagerpp.pdf Passage of charged particles through matter, with a graph]
* [http://www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html Stopping power for protons and alpha particles]
* [http://www.exphys.jku.at/Stopping/ Stopping Power graphs and data]

{{DEFAULTSORT:へえてのしき}}
[[Category:原子核物理学]]
[[Category:ハンス・ベーテ]]
[[Category:エポニム]]