ベート数のソースを表示

[[数学]]、特に[[集合論]]において、'''ベート数'''とは[[ヘブライ文字]] の[[ב]]（[[ベート]]）を用いて <math>\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots</math> と表される[[無限集合|無限]][[基数]]の列である。ベート数は[[アレフ数]] <math>\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots</math> と関連するが、[[一般連続体仮説]]が真でない限り、アレフ数では表されるがベート数では表されない数が存在する。

== 定義 ==
ベート数は[[超限帰納法#超限再帰|超限再帰]]を用いて定義される:

* <math>\beth_0 = \aleph_0</math>
* <math>\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha}</math>
* <math>\beth_\lambda = \sup\Bigl\{ \beth_\alpha : \alpha < \lambda \Bigr\}</math>

ここで、<math>\alpha</math> は[[順序数]]、<math>\lambda</math> は[[極限順序数]]である。<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |year=2002 |title=Set Theory |edition=3rd |quote = Millennium ed, rev. and expanded. Corrected 4th printing 2006. |location= |publisher=Springer |page=55 |isbn=978-3-540-44085-7 }}</ref>

基数 <math>\beth_0 = \aleph_0</math> は任意の[[可算無限]][[集合]]（例えば[[自然数]]全体の集合 <math>\mathbb{N}</math>）の濃度である。よって <math>\beth_0 = |\mathbb{N}|</math> となる。

なお、<math>\alpha</math> を順序数、<math>A_\alpha</math> を濃度が <math>\beth_\alpha = |A_\alpha|</math> であるような集合としたとき、

* <math>\mathcal{P}(A_\alpha)</math> は <math>A_\alpha</math> の[[冪集合]]（すなわち、<math>A_\alpha</math> の部分集合全体の集合）を表す。

* 集合 <math>2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)</math> は <math>A_\alpha</math> から <math>\{0, 1\}</math> への写像全体の集合を表す。

* 基数 <math>2^{\beth_\alpha}</math> は[[基数#冪|基数の冪]]を表す。

* <math>\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_\alpha} = \left| 2^{A_\alpha} \right| = |\mathcal{P}(A_\alpha)|</math> は <math>A_\alpha</math> の冪集合の濃度を表す。


以上の定義より、

:<math>\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots</math>

はそれぞれ

:<math>\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \dots</math>

の濃度であって、2番目のベート数 <math>\beth_1</math> は[[連続体濃度]] <math>\mathfrak{c}</math> に等しく、3番目のベート数 <math>\beth_2</math> は連続体濃度をもつ集合の冪集合の濃度である。

[[カントールの定理]]によって上の列の各集合は前の集合よりも真に大きい濃度をもつ。無限極限順序数 <math>\lambda</math> に対して、対応するベート数は <math>\lambda</math> よりも真に小さいすべての順序数に対するベート数の[[上限 (数学)|上限]]として定義される。

:<math>\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}</math>

この定義は以下と同値である。

:<math>\beth_\lambda = |\bigcup \Bigl\{ A_{\alpha} : \alpha < \lambda \Bigr\}|</math>

[[フォン・ノイマン宇宙]] <math>V_{\omega+\alpha} \!</math> は濃度 <math>\beth_{\alpha} \!</math> をもつことも証明できる。

== アレフ数との関係 ==
[[選択公理]]を仮定すると、無限濃度は[[全順序]]であり、任意の2つの濃度は常に比較可能である。したがって、定義により、<math>\aleph_0</math> と <math>\aleph_1</math> の間に無限濃度は存在せず、
:<math>\beth_1 \ge \aleph_1</math>
であることが従う。この議論を繰り返すことによって（[[超限帰納法]]参照）すべての順序数 <math>\alpha</math> に対して
<math>\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha</math> 
である。

[[連続体仮説]]は次と同値である。
:<math>\beth_1=\aleph_1.</math>

[[一般連続体仮説]]が言っているのはこのように定義されたベート数の列は[[アレフ数]]の列と同じである、すなわちすべての順序数 <math>\alpha</math> に対して
<math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math> 
であるということである。

== 具体例 ==
=== ベート・ヌル ===
これは <math>\aleph_0</math>（[[アレフ・ヌル]]）と定義されるから、濃度が <math>\beth_0</math> の集合には次のものがある。

* [[自然数]]全体 <math>\mathbb{N}</math>
* [[有理数]]全体 <math>\mathbb{Q}</math>
* [[代数的数]]全体
*[[計算可能数]]全体と[[帰納的集合]]
* [[整数]]からなる[[有限集合]]全体の集合

=== ベート・ワン ===

{{main|連続体濃度}}

濃度が <math>\beth_1</math> の集合には次のものがある。

* [[超越数]]全体
* [[無理数]]全体
* [[実数]]全体 <math>\mathbb{R}</math>
* [[複素数]]全体 <math>\mathbb{C}</math>
* [[ユークリッド空間]] <math>\mathbb{R}^n</math>
* [[自然数]]全体の集合の冪集合（自然数全体の集合のすべての部分集合からなる集合）
* 整数からなる[[数列]]全体の集合（すなわちすべての関数 <math>\mathbb{N}</math> → <math>\mathbb{Z}</math> からなる集合で、しばしば <math>\mathbb{Z}^\mathbb{N}</math> と表記される）
* 実数列全体 <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math>
* <math>\mathbb{R}</math> から <math>\mathbb{R}</math> へのすべての[[連続関数]]からなる集合
* 有限個の実数からなる集合全体

=== ベート・ツー ===
<math>\beth_2</math>（英語では ''beth two'' と読む）は <math>2^\mathfrak{c}</math>（2 の c 乗、''two to the power of c''）とも呼ばれる。

濃度が <math>\beth_2</math> の集合には次のものがある。

* [[実数]]全体の集合の冪集合、つまり[[実数直線]]の[[部分集合]]の数、あるいは実数からなる集合の数
* 自然数全体の集合の冪集合の冪集合
* <math>\mathbb{R}</math> から <math>\mathbb{R}</math> への[[関数 (数学)|関数]]すべてからなる集合（<math>\mathbb{R}^\mathbb{R}</math>）
* <math>\mathbb{R}^m</math> から <math>\mathbb{R}^n</math> へのすべての関数からなる集合
* 自然数全体の集合から自然数全体の集合へのすべての写像からなる集合の冪集合、つまり自然数列の集合の数
* <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\mathbb{N}</math> の{{仮リンク|ストーン・チェックのコンパクト化|en|Stone–Čech compactification}}

=== ベート・オメガ ===
<math>\beth_\omega</math>（''beth omega''）は最小の非可算{{仮リンク|強極限基数|en|strong limit cardinal}}である。

== 一般化 ==
より一般的な記号 <math>\beth_\alpha(\kappa)</math>、ここで <math>\alpha</math> は順序数で <math>\kappa</math> は基数、が時折用いられる。それは次のように定義される。
:<math>\beth_0(\kappa)=\kappa,</math>
:<math>\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_{\alpha}(\kappa)},</math>
:<math>\beth_{\lambda}(\kappa)=\sup\{ \beth_{\alpha}(\kappa):\alpha<\lambda \}</math> if λ is a limit ordinal.

なので
:<math>\beth_{\alpha}=\beth_{\alpha}(\aleph_0).</math>

ZF において、任意の濃度 <math>\kappa</math> と <math>\mu</math> に対して、ある順序数 <math>\alpha</math> が存在して、

:<math>\kappa \le \beth_{\alpha}(\mu).</math>

そして ZF において、任意の濃度 <math>\kappa</math> と順序数 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> に対して

:<math>\beth_{\beta}(\beth_{\alpha}(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).</math>

したがって、{{仮リンク|ur-element|en|ur-element}}のない[[公理的集合論#ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）|Zermelo–Fraenkel 集合論]]において、[[選択公理]]はあってもなくても、任意の濃度 <math>\kappa</math> と <math>\mu</math> に対して、等式

:<math>\beth_{\beta}(\kappa) = \beth_{\beta}(\mu)</math>

がすべての十分大きい順序数 <math>\beta</math> に対して成り立つ（つまり、ある順序数 <math>\alpha</math> が存在して、すべての順序数 <math>\beta</math> ≥ <math>\alpha</math> に対して等式が成り立つ）。

これは ur-element をもつ Zermelo–Fraenkel 集合論においても選択公理はあってもなくても、ur-element が [[:en:pure set|pure set]]（[[推移的集合#推移閉包|推移閉包]]が ur-element を全く含まないような集合）と等濃な集合をなすと仮定すれば、成り立つ。選択公理を仮定すれば、ur-element からなる任意の集合はある pure set と等濃である。

== 参考文献 ==

* T. E. Forster, ''Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe'', [[Oxford University Press]], 1995 &mdash; ''Beth number'' is defined on page 5.
* {{ cite book | last=Bell | first=John Lane |author2=Slomson, Alan B. | year=2006 | title=Models and Ultraproducts: An Introduction | edition=reprint of 1974 edition | origyear=1969 | publisher=[[Dover Publications]] | isbn=0-486-44979-3 }} See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
* {{cite book
  | last = Roitman
  | first = Judith
  | title = Introduction to Modern Set Theory
  | date = 2011
  | publisher = [[Virginia Commonwealth University]]
  | isbn = 978-0-9824062-4-3 }} See page 109 for beth numbers.

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:へえとすう}}
[[Category:基数]]
[[Category:無限]]
[[Category:数学に関する記事]]