ベールの性質のソースを表示

[[位相空間]] <math>X</math> の部分集合 <math>A</math> が
'''ベールの性質'''を持つ、または'''ほとんど開'''な集合であるとは、その集合がある[[開集合]]との差が[[第一類集合]]であること。すなわち開集合 <math>U\subseteq X</math> で <math>A\mathbin{\Delta}U</math> が第一類集合となるものがあることである（ここでの <math>\Delta</math> は[[対称差]]を表す）<ref name="oxtoby">{{citation|title=Measure and Category|volume=2|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John C.|last=Oxtoby|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|year=1980|isbn=978-0-387-90508-2|contribution=4. The Property of Baire|pages=19–21|url=https://books.google.co.jp/books?id=wUDjoT5xIFAC&pg=PA19&redir_esc=y&hl=ja}}.</ref>。ベールの性質と言う名前は[[ルネ＝ルイ・ベール]]にちなむ。

ベールの性質を満たす集合全てによる族は[[σ-代数]]をなす。すなわち、ほとんど開な集合の[[補集合]]はほとんど開であり、ほとんど開な集合の可算和や可算交叉もまたほとんど開である<ref name="oxtoby"/>。

開集合はほとんど開な集合である（空集合は {{lang|en|meager}} である）ため、どんな[[ボレル集合]]もほとんど開である。[[ポーランド空間]]の部分集合がベールの性質を持つとき、それに対応する[[バナッハ・マズール・ゲーム]] が {{lang|en|determined}} である。その逆は成り立たない。しかし、与えられた {{lang|en|adequate pointclass}} <math>\Gamma</math> に属するゲームがすべて {{lang|en|determined}} であるなら、<math>\Gamma</math> に属する集合はすべてベールの性質を持つ。

[[選択公理]]から、ベールの性質を満たさないような実数集合が存在することが導かれる。特に、[[ヴィタリ集合]]はベールの性質を満たさない<ref>{{harvtxt|Oxtoby|1980}}, p. 22.</ref>。これを示すには選択公理より弱い[[ブール素イデアル定理]]があれば十分で、それは自然数全体の集合の上の非単項{{仮リンク|超フィルター|ウルトラフィルター|en|Ultrafilter}}の存在を導き、そのようなウルトラフィルターは実数の二進小数展開によってベールの性質を満たさない実数集合になる。{{Citation needed|date=July 2011}}

==参考文献==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[ベールの範疇定理]]

{{DEFAULTSORT:へえるのせいしつ}}
[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]