ベールの範疇定理のソースを表示

[[数学]]における'''ベールの範疇定理'''（ベールのはんちゅうていり、{{lang-en-short|''Baire category theorem''}}）、あるいは'''ベールのカテゴリー定理'''{{sfn|岩波数学辞典|2007|loc=15 N|p=37}}は、[[位相空間論]]および[[関数解析学]]で重要な道具で、[[ルネ＝ルイ・ベール]]が1899年の博士学位論文において証明した。この定理には二つの形があり、何れも[[位相空間]]が[[ベール空間]]であるための[[十分条件]]を与えるものになっている。

== 定理の主張 ==
[[ベール空間]]は「[[開集合|開]][[稠密集合|稠密部分集合]] <math>U_n</math> からなる任意の[[可算集合|可算族]]に対して、それらの交わり <math>\bigcap_n U_n</math> は稠密」という性質を満たす位相空間である{{sfn|岩波数学辞典|2007|loc=15 N|p=37}}。

; 主張 1 (BCT1)
: 任意の[[完備距離空間]]はベール空間である{{sfn|岩波数学辞典|2007|loc=15 N|p=37}}。より一般に、[[完備空間|完備]][[擬距離空間]]の[[開集合|開部分集合]]に[[同相]]な任意の位相空間はベール空間である。従って任意の[[完備距離化可能空間]]はベール空間である。
; 主張 2 (BCT2)
: 任意の[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]][[ハウスドルフ空間]]はベール空間である{{sfn|岩波数学辞典|2007|loc=15 N|p=37}}。
このことの証明は主張 1 と同様で、コンパクト性からくる[[有限交叉性]]が鍵になる。

この二つの主張は一方が他方を含んでいるとかいうようなものでないことに注意すべきである。これは（[[有理数]]の全体に後述するような距離を入れたものや任意の無限次元バナッハ空間のように）局所コンパクトでない完備距離空間が存在することや、あるいは（例えば非自明なコンパクトハウスドルフ空間の非可算積空間や非可算[[フォート空間]]など函数解析学で用いられるいくつかの函数空間のように）[[距離化可能空間|距離化可能]]でない局所コンパクトハウスドルフ空間が存在することによる。詳細は{{harvtxt|Steen|Seebach|1995}}を参照。

; 主張 3 (BCT3)
: 空でない完備距離空間、あるいは[[内点]]を持つその部分集合は[[疎集合|疎]]（{{lang-en-short|nowhere dense}}）な閉集合の可算和にはならない。
これは BCT1 と同値だがこちらの定式化のほうが応用上しばしば有用である。これから、「空でない完備距離空間が閉部分集合の可算和に書けるならば、その閉集合のうちの少なくとも一つは内部が空でない」ということも言える。

== 選択公理との関係 ==
二つの主張 '''BCT1''' と '''BCT2''' を任意の完備距離空間に対して証明するには、適当な形の[[選択公理]]を用いる必要がある。実は BCT1 は [[ツェルメロ＝フレンケルの公理系|ZF]] のもとで[[従属選択公理]]と呼ばれる弱い形の選択公理と同値である{{sfn|Blair|1977}}。

完備距離空間がさらに[[可分]]であることを仮定する制限された形のベールの範疇定理であれば、何らの選択公理を付け加えることなく ZF において証明することができる{{sfn|Levy|1979|p=212}}。この弱い形の範疇定理は特に実数直線、[[ベール空間 (集合論)|ベール空間]] <math>\omega^\omega</math>、および[[カントール空間]] <math>2^\omega</math> に適用できる。

== 範疇定理の利用 ==
主張 '''BCT1''' は[[関数解析学]]において[[開写像定理 (関数解析)|開写像定理]]、[[閉グラフ定理]]および[[一様有界性原理]]の証明に利用される。

また、'''BCT1''' は[[孤立点]]を持たない任意の完備距離空間が[[非可算]]であることを示すのにも利用できる。実際、<math>X</math> が孤立点を持たない可算完備距離空間ならば、<math>X</math> の各[[一元集合]] <math>\{x\}</math> は[[疎集合]]、ゆえに <math>X</math> それ自体は[[第一類集合]]になる。特にこのことから[[実数]]全体の成す集合が非可算であることがわかる。

'''BCT1''' から次の空間がベール空間であることが示せる：
* [[実数]]全体が通常の距離に関して成す空間 <math>\mathbf{R}</math>
* 無理数の全体に距離関数を <math>d(x,y) = 1 / (n + 1)</math> で定めた空間（これは完備距離空間になる）。ただし <math>n</math> は <math>x</math> と <math>y</math> の[[連分数]]展開が一致しない最初の項の番号。
* [[カントール集合]]

主張 '''BCT2''' を用いれば、任意の有限次元ハウスドルフ[[多様体]]がベール空間となることがわかる。これは当該の多様体が局所コンパクトハウスドルフであることによる。このことは、多様体がパラコンパクトでない（従って距離化可能でない）場合でも成り立つ（例えば、[[長い直線]]）。

== 関連項目 ==
* [[ベールの性質]]

== 注釈 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal
    |last1       = Baire
    |first1      = R.
    |authorlink1 = ルネ＝ルイ・ベール
    |year        = 1899
    |title       = Sur les fonctions de variables réelles
    |url         = {{google books|cS4LAAAAYAAJ|plainurl=yes}}
    |journal     = Annali di Mat.
    |volume      = 3
    |issue       = 1
    |pages       = 1–123
    |doi         = 10.1007/BF02419243
    |jfm         = 30.0359.01
    |ref         = harv
}}
* {{cite journal
    |last1       = Blair
    |first1      = Charles E.
    |year        = 1977
    |title       = The Baire category theorem implies the principle of dependent choices
    |url         = {{google books|zbGjAQAAQBAJ|plainurl=yes}}
    |journal     = Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys.
    |volume      = 25
    |number      = 10
    |pages       = 933–934
    |mr          = 0469765
    |zbl         = 0377.04011
    |ref         = harv
}}
* {{cite book
    |last1       = Levy
    |first1      = Azriel
    |year        = 2002
    |origyear    = 1979
    |title       = Basic Set Theory
    |url         = {{google books|zbGjAQAAQBAJ|plainurl=yes}}
    |publisher   = Dover
    |isbn        = 0-486-42079-5
    |mr          = 1924429
    |zbl         = 1002.03500
    |ref         = harv
}}
* {{cite book
    |last1       = Schechter
    |first1      = Eric
    |year        = 1997
    |title       = Handbook of Analysis and its Foundations
    |url         = {{google books|eqUv3Bcd56EC|plainurl=yes}}
    |publisher   = Academic Press
    |isbn        = 0-12-622760-8
    |mr          = 1417259
    |zbl         = 0943.26001
    |ref         = harv
}}
* {{cite book
    |last1       = Steen
    |first1      = Lynn Arthur
    |last2       = Seebach
    |first2      = J. Arthur, Jr.
    |year        = 1995
    |origyear    = 1978
    |title       = Counterexamples in Topology
    |edition     = Reprint of the second
    |url         = {{google books|Gc3DAgAAQBAJ|plainurl=yes}}
    |publisher   = Dover
    |isbn        = 0-486-68735-X
    |mr          = 1382863
    |zbl         = 1245.54001
    |ref         = harv
}}
* {{cite book
    |和書
    |year        = 2007
    |title       = 岩波 数学辞典
    |edition     = 第4版
    |editor      = [[日本数学会]]
    |publisher   = [[岩波書店]]
    |isbn        = 978-4-00-080309-0
    |ref         = {{sfnref|岩波数学辞典|2007}}
}}

== 外部リンク ==
*T. Tao, [https://terrytao.wordpress.com/2009/02/01/245b-notes-9-the-baire-category-theorem-and-its-banach-space-consequences/ 245B, Notes 9: The Baire category theorem and its Banach space consequences]

{{DEFAULTSORT:へえるのはんちゆうていり}}
[[Category:位相空間論]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]