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'''ベールイの定理'''（ベールイのていり、{{lang-en-short|Belyi's theorem}}）とは、[[代数的数]]を係数として定義された任意の[[代数多様体の特異点|非特異]]代数曲線 ''C'' は、[[リーマン球面]]上3点のみで分岐する[[分岐被覆]]となるような[[コンパクト空間|コンパクト]]・[[リーマン面]]であるという定理である。

この定理は{{仮リンク|ゲンナジー・ウラジーミロヴィチ・ベールイ|en|G. V. Belyi}}によって1979年に証明された。 当時驚くべき結果だと考えられ、代数的数体上の非特異代数曲線を組合せ的なデータで記述する[[子供の絵]]の理論を[[グロタンディーク]]が構築する契機となった。

人名のBelyi（{{lang-ru-short|Белый}}）は[[ベールイ]]とカナ表記されることもあれば<ref>
{{Cite Kotobank |word=ベールイ |access-date=2024-04-30}}
</ref>、数学の文献において'''ベリー'''とカナ表記されることもある<ref>
{{Cite journal|和書| doi = 10.11429/sugaku.0741001| volume = 74| issue = 1| pages = 1–30| author = 星裕一郎| title = 遠アーベル幾何学の進展| journal = [[数学 (雑誌)|数学]]| year = 2022}}
</ref>。

== 上半平面の商 ==
ベールイの定理から、考えているリーマン面は商空間
:''H''/Γ
を[[尖点]]でコンパクト化したものと同型となることがわかる。ここで、''H'' は[[上半平面]]、  Γ は[[モジュラー群]]の有限[[部分群の指数|指数]][[部分群]]である。 モジュラー群は{{仮リンク|非合同部分群|en|non-congruence subgroup}}を持つので、これは定理の曲線が[[モジュラー曲線]]となることを意味しない。

== ベールイ関数 ==
コンパクト・リーマン面 ''S'' から[[リーマン球面]] '''P'''<sup>1</sup>('''C''')への[[多様体の射|正則写像]]であって、3点のみで分岐するものを'''ベールイ関数'''と言う。[[メビウス変換]]と合成することにより、この3点は<math> \{0, 1, \infty\}  </math>とすることができる。 ベールイ関数は[[子供の絵]]によって組合せ的に記述することができる。

ベールイ関数と子供の絵は、ベールイの定理は現れないものの、少なくとも[[フェリックス・クライン]]の研究にまで遡ることができる。クラインは論文{{Harv|Klein|1879}}の中で、モノドロミー群が PSL(2,11) である複素射影直線の11重被覆の研究にこれらを用いた。<ref>{{citation
 | last = le Bruyn | first = Lieven
 | title = Klein's dessins d'enfant and the buckyball
 | year = 2008
 | url = http://www.neverendingbooks.org/index.php/kleins-dessins-denfant-and-the-buckyball}}.</ref>

== 応用 ==
ベールイの定理はベールイ関数の[[存在定理]]であり、その発見以来、[[ガロアの逆問題]]の研究に頻繁に利用されている。

== 出典 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
*{{cite book|last=Serre|first=Jean-Pierre|authorlink=Jean-Pierre Serre|title=Lectures on the Mordell-Weil theorem|volume=15|series=Aspects of Mathematics|edition=Third|year=1997|doi=10.1007/978-3-663-10632-6|mr=1757192|isbn=3-528-28968-6|others=Translated from the French by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt|publisher=Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig}}
*{{cite journal|last=Klein|first=Felix|journal=Mathematische Annalen|volume=15|issue=3–4|pages=533–555|year=1879|title=Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen|trans-title=On the eleventh order transformation of elliptic functions|language=German|doi=10.1007/BF02086276|url=https://zenodo.org/record/1642598}}
*{{cite journal|last=Belyĭ|first=Gennadiĭ Vladimirovich|title=Galois extensions of a maximal cyclotomic field|year=1980|journal=Math. USSR Izv|issue=2|volume=14|pages=247–256|mr=0534593|doi=10.1070/IM1980v014n02ABEH001096|translator=Neal Koblitz|translator-link=Neal Koblitz}}
{{refend}}

== 発展資料 ==
* {{citation | last1=Girondo | first1=Ernesto | last2=González-Diez | first2=Gabino | title=Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=79 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2012 | isbn=978-0-521-74022-7 | zbl=1253.30001 }}
* {{citation | editor1=Dorian Goldfeld | editor2=Jay Jorgenson | editor3=Peter Jones | editor4=Dinakar Ramakrishnan | editor5=Kenneth A. Ribet | editor6=John Tate | title=Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang | publisher=Springer | year=2012 | isbn=978-1-4614-1259-5 | author=Wushi Goldring | chapter=Unifying themes suggested by Belyi's Theorem | pages=181–214 }}

{{Algebraic curves navbox}}

{{DEFAULTSORT:へえるいのていり}}
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