ベール空間 (集合論)のソースを表示

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[[集合論]]における'''ベール空間'''（ベールくうかん、{{lang-en-short|''Baire space''}}）は、各項が[[自然数]]に値をとる[[無限列]]すべてからなる集合に適当な[[位相空間|位相]]を入れたものである。この空間は、その元を以て「実数」と称される程、[[記述集合論]]でよく用いられる。ベール空間を表す記号としては '''B''', '''N'''<sup>'''N'''</sup> や <sup>ω</sup>ω がよく用いられる。{{harvtxt|Moschovakis|1980}} は <math>\mathcal{N}</math> と書いている。

ベール空間は自然数全体の成す集合 &omega; の[[可算無限]]個のコピーの[[直積集合|デカルト積]]に[[積位相]]を入れたもの（ただし &omega; の各コピーには[[離散位相]]が入る）として定義することができる。ベール空間は、自然数からなる全ての有限列の成す[[木 (記述集合論)|木]]として表されることが多い。

ベール空間は[[カントル空間]]（全ての二進無限列からなる集合）と対比される。  

== 位相と木構造 ==
ベール空間の定義に用いる積位相は、木を用いてより具体的に記述することができる。この積位相の定義を[[開基 (位相空間論)|基本開集合系]]を用いて特徴付けると：
: 自然数に値をとる有限な長さの座標系 {''c''<sub>''i''</sub> : ''i''  < ''n'' } を固定し、各 ''c''<sub>''i''</sub> が特定の自然数値 ''v''<sub>''i''</sub> をとるものとすると、各 ''i'' &lt; ''n'' において ''c''<sub>''i''</sub>-成分の値が ''v''<sub>''i''</sub> であるような無限自然数列全体の成す集合は基本開集合であり、任意の開集合はこのような基本開集合たちの和集合に表される。

同じ位相を定める別の開基をとることで、開集合のもう一つの特徴付けとして以下が得られる：
: 自然数列 {''w''<sub>''i''</sub> : ''i'' < ''n''} を一つ決めるごとに、各 ''i'' &lt; ''n'' において第 ''i''-項の値が ''w''<sub>''i''</sub> となるような無限列全体の成す集合は基本開集合であり、任意の開集合はこのような基本開集合たちの和に表される。 

即ち、ベール空間の基本開集合は無限自然数列の有限始片 &tau; から決まり、かつ無限列全体の成す集合は基本開集合を成す &tau; を延長して得られる。これにより、一方が他方の延長になっているという関係で順序づけられた有限自然数列全体の成す木構造 &omega;<sup>&lt;&omega;</sup> を奔る経路 (path) 全体の成す集合としての、ベール空間の[[表現 (数学)|表現]]が得られる。このとき、開集合はこの木構造の（有限個とは限らない）結点 (node) の和から決定される。つまり、ベール空間の点がこの開集合に属するための必要十分条件が、その点を表す経路が与えられた結点のうちの少なくとも一つを通ることと述べられる。 

この木を奔る経路の集合としてのベール空間の表現からは、閉集合の特徴付けも得られる。ベール空間の任意の閉集合 ''C'' に対して、&omega;<sup>&lt;&omega;</sup> の部分木 ''T'' で勝手な点 ''x'' が ''C'' に属することと、点 ''x'' を表す経路が ''T'' を通ることとが同値になるようなものが存在する。逆に、&omega;<sup>&lt;&omega;</sup> の任意の部分木に対して、それを通る経路全体の成す集合はベール空間の閉集合である。

== 性質 ==
ベール空間は以下の性質を持つ。

# ベール空間は[[完全集合|完全]] (perfect) な[[ポーランド空間]]（つまり、[[第二可算公理]]を満たす・[[孤立点]]を持たない・[[完備距離化可能空間]]）である。このことから、ベール空間は実数直線と同じ[[濃度 (数学)|濃度]]を持ち、位相空間論でいうところの[[ベール空間]]を成す。
# ベール空間は[[0次元]]かつ[[完全不連結]]である。
# ベール空間は[[局所コンパクト]]でない。
# 任意の空でないポーランド空間に対して、その[[全射|上に]][[連続写像|連続的]]に写すことができるという意味で、ベール空間は[[普遍性|普遍的]]なポーランド空間である。
# ベール空間は、自分自身の有限または可算個のコピーの積と[[同相]]である。

== 実数直線との関係 ==
ベール空間は、[[無理数]]全体の成す集合に実数直線からの[[相対位相]]を入れたものと[[同相]]である。ベール空間と無理数全体との間の同相写像は[[連分数]]を用いて構成できる。  

[[記述集合論]]の観点からは、実数直線が連結であるという事実は技術的な困難を引き起こす。それが故にベール空間を研究することのほうが普通である。任意のポーランド空間はベール空間の連続像であるから、任意のポーランド空間についての主張を示すのに、その性質がベール空間において成り立ちかつ[[連続写像]]で保たれることを示すという方法をとることも多い。

またそういった事実とは無関係に、ベール空間 '''B''' を[[一様空間]]と見て、わずかながら[[実解析]]的に意味のある内容が得られる。ベール空間 '''B''' と無理数全体 '''Ir''' の持つ一様構造は、（これらが互いに同相であるにもかかわらず）図らずも一致しない。実際、'''B''' はその自然な距離に関して[[完備空間|完備]]だが、対する '''Ir''' はそうではない。

== 参考文献 ==
* {{cite book |authorlink=Alexander S. Kechris| author=Kechris, Alexander S. | title=Classical Descriptive Set Theory | publisher=Springer-Verlag | year=1994 | isbn=0-387-94374-9}}
* {{cite book |authorlink=Yiannis N. Moschovakis| author=Moschovakis, Yiannis N. | title=Descriptive Set Theory | publisher=North Holland | year=1980 |isbn=0-444-70199-0}}

== 外部リンク ==
* {{citation|url=http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf|format=PDF|author=渕野昌|title=実数の集合論の基礎の基礎}}

{{DEFAULTSORT:へえるくうかん}}
[[Category:記述集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]