ペアノの公理のソースを表示

{{混同|ペアノ算術（{{lang|en|Peano arithmetic}}）|ペアノの存在定理|x1=[[一階述語論理]]による自然数論の形式化である|x2=常微分方程式に関する}}
'''ペアノの公理'''（ペアノのこうり、{{lang-en-short|Peano axioms}}） とは、[[自然数]]の全体を[[特徴づけ (数学)|特徴づけ]]る[[公理]]である。'''ペアノの公準'''（{{lang-en-short|Peano postulates}}）あるいは'''デデキント＝ペアノの公理'''（{{lang-en-short|Dedekind-Peano axioms}}）とも呼ばれる<ref>{{cite book
|和書
|author1=G. バーコフ
|authorlink1=ガーレット・バーコフ
|author2=S. マクレーン
|authorlink2=ソンダース・マクレーン
|title=現代代数学概論
|edition=改訂3版
|publisher=白水社
|year=1967
|id={{国立国会図書館デジタルコレクション|2422244|format=NDLJP}}
|pages=82–86
}}</ref>{{sfn|菊池|2014|p=98}}。[[1891年]]にイタリアの数学者[[ジュゼッペ・ペアノ]]により定式化された。

ペアノの公理を起点にして、初等算術と[[整数]]・[[有理数]]・[[実数]]・[[複素数]]の構成などを実際に展開してみせた古典的な書物に、1930年に出版された[[エトムント・ランダウ|ランダウ]]による『解析学の基礎』（{{lang|de|Grundlagen Der Analysis}}）がある。

== 公理 ==
集合 {{math|ℕ}} と定数 {{math|0}} と関数 {{mvar|S}}と集合{{mvar|E}}に関する次の公理を'''ペアノの公理'''という{{sfn|ハルモス|1975|p=82}}{{efn2|自然数を {{math|0}} からではなく {{math|1}} から始める流儀もある{{sfn|彌永|1972|p=66}}。また自然数の全体が[[順序数]]であることを意識するときにはギリシャ文字の {{mvar|ω}} を用いることがある。}}。

# {{math|0 [[元 (数学)|∈]] ℕ}}
# 任意の {{math|''n'' ∈ ℕ}} について {{math|''S''(''n'') ∈ ℕ}}
# 任意の {{math|''n'' ∈ ℕ}} について {{math|''S''(''n'') ≠ 0}}
# 任意の {{math|''n'', ''m'' ∈ ℕ}} について {{math|''n''  ≠  ''m''}} ならば {{math|''S''(''n'') ≠ ''S''(''m'')}}
# 任意の {{math|''E'' [[部分集合|⊆]] ℕ}} について {{math|0 ∈ ''E''}} かつ任意の {{math|''n'' ∈ ℕ}} について {{math|''n'' ∈ ''E'' [[ならば|→]] ''S''(''n'') ∈ ''E''}} ならば {{math|''E'' {{=}} ℕ}}

このとき {{math|ℕ}} の元を'''自然数'''といい、自然数 {{mvar|n}} に対して自然数 {{math|''S''(''n'')}} をその'''後者''' ({{lang|en|successor}}){{efn2|自然数 {{math|''S''(''n'')}} は直後の数 {{math|''n'' + 1}} に相当する。ただし定数 {{math|1}} や関数 {{math|+}} はまだ定義されていないことに注意。}}という。

第五公理は、'''[[数学的帰納法]]の原理'''である{{efn2|任意の[[部分集合]]に関する[[量化]]を行っているので、これは[[一階述語論理]]では形式化できない。}}。

これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない{{sfn|EoM|2001}}。

ペアノの公理から {{math|2 + 2 {{=}} 4}} や {{math|2 ⋅ 2 {{=}} 4}} のような「定理」を証明するには {{math|2 {{=}} ''S''(''S''(0))}} などの項を導入したり、加法 {{math|+}} や乗法 {{math|⋅}} の存在や性質を示したりする必要がある。たとえば {{harvtxt|Henle|1986|pp=17, 18, 103, 104}} を見よ。

== 回帰定理 ==
次の主張を'''回帰定理'''（{{lang|en|recursion theorem}}）という{{sfn|足立|2002|p=77|loc=定理 3.2（回帰定理）}}。

集合 {{mvar|X}} に属する元 {{mvar|x}} と[[写像]] {{math|''g'': ''X'' → ''X''}} が与えられたとき
:<math> f(0) = x,\ f \circ S = g \circ f </math>
を満たす写像
:<math> f \colon \mathbb N \to X </math>
が[[一意性|一意的]]に存在する。

たとえば {{math|''X'' {{=}} ℕ}} のとき写像 {{mvar|f}} は初項が {{mvar|x}} の[[漸化式]]により定義される[[数列]]に他ならない。回帰定理はこのような再帰的に定義される写像の存在と一意性を数学的帰納法の原理により保証する。

== 範疇性 ==
集合 {{math|ℕ^}} と定数 {{math|0^}} と関数 {{math|''S''^}} がペアノの公理を満たすとき組 {{math|(ℕ^, 0^, ''S''^)}} を'''ペアノ構造'''（{{lang|en|Peano structure}}）という。ペアノ構造は同型を除いてただ一つに定まる{{efn2|すなわち[[全単射]] {{math|''φ'': ℕ → ℕ^}} で {{math|''φ''(0) {{=}} 0^}} かつ {{math|''φ'' ∘ ''S'' {{=}} ''S''^ ∘ ''φ''}} を満たすものが存在する。}}、つまりペアノの公理は[[モデル理論#範疇性|範疇的]]（{{lang|en|categorical}}）であることがわかる。

一方で後述するペアノ算術は[[レーヴェンハイム＝スコーレムの定理]]から[[算術の超準モデル|超準モデル]]をもつので範疇的ではない。

== 集合論的な構成 ==
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。[[公理的集合論|集合論]]における自然数の標準的な構成法としては、
:<math>
\mathbb N := \bigcap \{\, x \subset A \mid \emptyset \in x \land \forall y[ y \in x \to y \cup \{ y \} \in x ] \,\}
</math>
:<math> 0 := \emptyset </math>
:<math> S(x) := x \cup \{ x \} </math>
がある。ただしここでAは[[無限公理]]により存在する集合を任意に選んだものである。

これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。

このとき具体的な自然数は
*<math>0 = \emptyset = \{\}</math>
*<math>1 := S(0) = \{0\} = \{\{\}\}</math>
*<math>2 := S(1) = \{0, 1\} = \{\{\}, \{\{\}\}\}</math>
*<math>3 := S(2) = \{0, 1, 2\} = \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}</math>
のようになる。この構成法は[[ジョン・フォン・ノイマン]]による<ref>{{Harvnb|von Neumann|1923}}</ref>。

自然数の集合が定義されたとき、その構成と自然数上での帰納法から、自然数上の算術や順序を定めることができる。

=== 加法 ===
自然数の加法は次のように再帰的に定義される。
:<math> n + 0 = n </math>
:<math> n + S(m) = S(n + m) </math>

=== 乗法 ===
自然数の乗法は次のように再帰的に定義される。
:<math> n \cdot 0 = 0 </math>
:<math> n \cdot S(m) = n \cdot m + n </math>

=== 順序 ===
自然数の順序は次のように定義される。
ある {{mvar|k}} について
:<math> n + k = m </math>
が成り立つとき
:<math> n \le m </math>
と定義する。

また {{math|''n'' ≤ ''m''}} かつ {{math|''n'' ≠ ''m''}} のとき {{math|''n'' < ''m''}} と定義する。

== ペアノ算術 ==
非論理記号として定数記号 {{math|0}} と関数記号 {{mvar|S}}, {{math|+}}, {{math|⋅}} と述語記号 {{math|<}} をもつ等号つき[[一階述語論理]]の[[形式言語]]上で、以下の公理によって定まる理論を'''ペアノ算術'''（{{lang|en|Peano arithmetic}}）あるいは PA という{{sfn|鹿島|2007|p=64}}（形式言語や公理の選び方には本質的に同じものが色々とある。）。
#<math> \forall n \lnot[S(n) = 0] </math>
#<math> \forall n \forall m [S(n) = S(m) \to n = m] </math>
#<math> \forall n [n + 0 = n] </math>
#<math> \forall n \forall m[n + S(m) = S(n + m)] </math>
#<math> \forall n [n \cdot 0 = 0] </math>
#<math> \forall n \forall m [n \cdot S(m) = n \cdot m + n] </math>
#<math> \forall n \lnot[n < 0] </math>
#<math> \forall n \forall m [ [n < S(m)] \leftrightarrow [n < m] \lor [n = m]] </math>
#<math> [\varphi(0) \land \forall n [\varphi(n) \to \varphi(S(n))]] \to \forall n [\varphi(n)] </math>
自然数の標準モデル {{math|ℕ}} において真である {{math|[[算術的階層|Σ{{sub|1}}]]}} 閉[[論理式 (数学)|論理式]]はペアノ算術から[[証明 (数学)|証明]]ができること（PA の {{math|Σ{{sub|1}}}} [[完全性]]）が知られている{{sfn|鹿島|2007|p=70}}。

一方で[[ゲーデルの不完全性定理|ゲーデルの第一不完全性定理]]によりペアノ算術からは証明も反証もできない命題が存在する。有名な例としては[[グッドスタインの定理]]や[[パリス＝ハーリントンの定理]]がある。

{{関連記事|ロビンソン算術|[[原始帰納的算術|原始再帰的算術]]}}

== 無矛盾性 ==
{{節スタブ|1=[[ゲンツェン]]の仕事|date=2023年1月}}

== 歴史 ==
ペアノは [[1889年]]に「Arithmetices Principia, nova methodo exposita（算術原理）」と題する[[ラテン語]]で書かれた論文で自然数の公理の原型となるべきものを発表している<ref>{{Harvnb|ペアノ|1969}}</ref><ref>{{Harvnb|Peano|1889}}</ref>が、それらは自然数以外の公理を含み本来必要とされるよりも多くの命題が述べられているなど、自然数の公理系としては不十分なものであった。1889 年の記載は以下の通り。原論文には誤植があるが正しい形に修正。本論文では、この後、[[四則演算]]の定義などが続き、ここでは明示的に自然数を定義しようとしている。
# 1 は自然数
# ''a'' が自然数なら ''a'' = ''a''
# ''a'', ''b'' が自然数で ''a'' = ''b'' なら ''b'' = ''a''
# ''a'', ''b'', ''c'' が自然数で ''a'' = ''b'', ''b'' = ''c'' なら ''a'' = ''c''
# ''a'' = ''b'' で ''b'' が自然数なら ''a'' は自然数
# ''a'' が自然数なら ''a'' + 1 は自然数
# ''a'', ''b'' が自然数で ''a'' = ''b'' なら ''a'' + 1 = ''b'' + 1
# ''a'' が自然数なら、''a'' + 1 と 1 は等しくない
# もし集合 ''K'' が、1 を含み かつ 自然数 ''x'' が ''K'' に含まれるなら ''x'' + 1 が ''K'' に含まれる、という条件を満たすなら ''K'' は全ての自然数を含む

現在ペアノの公理系として知られる形のものが発表されたのは [[1891年]]の「数の概念について」である。
この論文の中でペアノは次の 5 項目を自然数の満たすべき原始命題として与え、さらにこれら 5 つの命題が互いに独立であることを証明した。ペアノは現代の用語で言うところの[[公理]]と[[推論規則]]を合わせて原始命題と呼んだ。ここで挙げているものは公理にあたる。
# 1 は自然数である
# 任意の自然数 ''a'' に対して、''a+'' が自然数を与えるような右作用演算 ''+'' が存在する
# もし ''a'', ''b'' を自然数とすると、 ''a+'' = ''b+'' ならば ''a'' = ''b'' である
# ''a+'' = 1 を満たすような自然数 ''a'' は存在しない
# 集合''s'' が二条件「(i) 1 は ''s'' に含まれる, (ii) 自然数 ''a'' が ''s'' に含まれるならば ''a+'' も ''s'' に含まれる」を満たすならば、あらゆる自然数は ''s'' に含まれる。

ペアノがこれらの原始命題によって自然数そのものを定義しようとはしなかった点には注意を払う必要がある。
彼は自然数の持つべき性質を挙げ、自然数 や 1 などの原始命題中に現れる用語を無定義述語として扱っている。
これは後に[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]らによって強力に進められることになる、[[形式主義 (数学)|形式主義]]的方法の格好の例といえる。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2|2}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}
== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|author=足立恒雄
|authorlink=足立恒雄
|year=2002
|title=数：体系と歴史
|publisher=[[朝倉書店]]
|isbn=4-254-11088-X
|ref={{Harvid|足立|2002}}
}}
* {{Cite book|和書
|author=彌永昌吉
|authorlink=彌永昌吉
|year=1972
|title=数の体系
|volume=上
|series=岩波新書（青版）815
|publisher=[[岩波書店]]
|isbn=4-00-416001-4
|ref={{Harvid|彌永|1972}}
}}
* {{Citation
|author=鹿島亮
|year=2007
|contribution=第一不完全性定理と第二不完全性定理
|title=不完全性定理と算術の体系
|series=ゲーデルと20世紀の論理学
|volume=3
|publisher=[[東京大学出版会]]
|isbn=978-4-13-064097-8
|ref={{Harvid|鹿島|2007}}
}}
* {{Cite book|和書
|author=菊池誠
|year=2014
|title=不完全性定理
|publisher=[[共立出版]]
|isbn=978-4-320-11096-0
|ref={{Harvid|菊池|2014}}
}}
* {{Cite book|和書
|last=ハルモス
|first=P.R.
|authorlink=ポール・ハルモス
|translator=富川滋
|year=1975
|title=素朴集合論
|publisher=[[ミネルヴァ書房]]
|ref={{Harvid|ハルモス|1975}}
}}
*{{Citation
|last=Dedekind
|first=Richard
|author-link=リヒャルト・デーデキント
|origyear=1901
|date=1963-06-01
|title=Essays on the Theory of Numbers
|publisher=Dover Publications
|edition=Paparback
|series=Dover Books on Mathematics
|isbn=978-0-486-21010-0
}}
**{{Cite book|和書|author=デーデキント|authorlink=リヒャルト・デーデキント|translator=[[河野伊三郎]]|date=1961-11-16|title=数について――連続性と数の本質――|series=岩波文庫 青924-1|publisher=岩波書店|isbn=978-4-00-339241-6|ref={{Harvid|デーデキント|1961}}}}
**{{Cite book|和書|author=リヒャルト・デデキント|others=[[渕野昌]] 訳・解説|date=2013-07-10|title=数とは何かそして何であるべきか|series=ちくま学芸文庫 テ9-1 Math & Science|publisher=[[筑摩書房]]|isbn=978-4-480-09547-3|ref={{Harvid|デデキント|2013}}}} - 「数とは何かそして何であるべきか？」・「連続性と無理数」を収録。
*{{Cite book|和書|author=ジュゼッペ・ペアノ|authorlink=ジュゼッペ・ペアノ|others=小野勝次・梅沢敏郎 訳・解説|date=1969-08-30|title=数の概念について|series=現代数学の系譜 2|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01155-7|ref={{Harvid|ペアノ|1969}}}}
* {{citation |editor-last=van Heijenoort |editor-first=Jean |year=1967|title=From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931|publisher=Harvard University Press |location=[[ケンブリッジ (マサチューセッツ州)|Cambridge, Mass]] |isbn=978-0-674-32449-7}}
** {{citation |last=Peano|first=Giuseppe|author-link=ジュゼッペ・ペアノ|year=1889 |title=The principles of arithmetic, presented by a new method|pages=83–97 |url={{google books|v4tBTBlU05sC|page=PA83|plainurl=yes}} }}
** {{citation |last=Dedekind|first=Richard|author-link=リヒャルト・デーデキント|year=1890|title=Letter to Keferstein.|pages=98–103|url={{google books|v4tBTBlU05sC|page=PA98|plainurl=yes}}}}
** {{citation |last=von Neumann|first=John|author-link=ジョン・フォン・ノイマン|year=1923|title=On the introduction of transfinite numbers.|pages=346–354|url={{google books|v4tBTBlU05sC|page=PA346|plainurl=yes}}}}
* {{Cite book|last=Henle|first=J.M.|title=An Outline of Set Theory|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=978-0-387-96368-6|url={{google books|fkntBwAAQBAJ|plainurl=yes}}|mr=861950|zbl=0613.04001|ref=harv}}
** {{Cite book|和書|last=ヘンレ|first=J.R.|translator=[[一松信]]|title=集合論問題ゼミ|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|year=1987|isbn=4-431-70531-7}}

==関連項目==
{{Div col}}
*[[算術の超準モデル]]
*[[プレスバーガー算術]]
*[[ラムダ計算]]
*[[レーヴェンハイム＝スコーレムの定理]]
*[[ロビンソン算術]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|ペアノの公理}}
*{{Kotobank|自然数}}
*{{SpringerEOM|title=Peano axioms|urlname=Peano_axioms|ref={{sfnref|EoM|2001}}}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:へあののこうり}}
[[Category:公理]]
[[Category:ジュゼッペ・ペアノ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]