ペティス積分のソースを表示

[[数学]]の分野における'''ペティス積分'''（ペティスせきぶん、{{Lang-en-short|Pettis integral}}）あるいは'''ゲルファント-ペティス積分'''（[[イズライル・ゲルファント]]と{{仮リンク|ビリー・ジェームス・ペティス|en|Billy James Pettis}}の名にちなむ）とは、[[双対空間|双対性]]を利用することによって、[[バナッハ空間]]に値を取るような[[測度空間]]上の関数へと[[ルベーグ積分]]の定義を拡張したものである。測度空間が[[ルベーグ測度]]を備える区間であるような場合に対して、ゲルファントによって導入された。強積分である[[ボホナー積分]]と区別されて、'''弱積分'''と呼ばれることもある。

== 定義 ==
<math>(X,\Sigma,\mu)</math> を測度空間、<math>B</math> をバナッハ空間とし、<math>f:X\to B</math> および <math>E \in \Sigma</math> を定める。次を満たすような <math>A\in B</math> が存在するとき、それを <math>f</math> の <math>E</math> についてのペティス積分と呼ぶ：
: <math> \langle v, A\rangle = \int_E \langle v, f(t) \rangle \, d\mu(t)\ \ \forall v\in B'.</math>
但し <math>B'</math> は <math>B</math> の[[双対空間]]とする。このような <math>A</math> は次のように表記される：
: <math> A = \int_E f(t) \, d\mu(t).</math>

== 関連項目 ==
* [[ベクトル測度]]
* [[弱可測関数]]

== 参考文献 ==
* J. K. Brooks, ''Representations of weak and strong integrals in Banach spaces'',  Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63,  1969, 266–270. [http://www.pnas.org/content/63/2/266.abstract Fulltext]
*  I.M. Gel'fand, ''Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires'',  Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 [http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:0014.16202 Zbl 0014.16202]
* [[:en:Michel Talagrand|M. Talagrand]], ''Pettis Integral and Measure Theory'', Memoirs of the AMS no. 307 (1984)
* {{SpringerEOM|title=Pettis integral|last=Sobolev|first=V. I.|urlname=Pettis_integral}}

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