ペル方程式のソースを表示

'''ペル方程式'''（ペルほうていしき、{{lang-en-short|Pell's equation}}）とは、{{mvar|n}} を[[平方数]]ではない[[自然数]]として、未知整数 {{mvar|x}}, {{mvar|y}} について
:{{math|1=''x''{{sup|2}} &minus; ''ny''{{sup|2}} = 1}}
の形の[[ディオファントス方程式]]である。

ペル方程式の一般的な解法は、1150年にインドの[[バースカラ2世]]が見つけている。彼は[[ブラーマグプタ]]の{{仮リンク|チャクラバーラ法|en|Chakravala method}}を改良した解法を使い、同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけた。西洋におけるペル方程式の一般的な解法は、[[ウィリアム・ブランカー]]が発見した。しかし、[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]はこの方程式を研究したのは[[ジョン・ペル]]であると誤解し「ペル方程式」と命名したため、その名前が広く使われるようになった。

== 解法 ==
平方数でない正の整数 {{mvar|n}} に対してペル方程式は必ず自明な解 ({{math2|1=''x'' = 1, ''y'' = 0}}) 以外の整数解を持つことが知られている。また1つの解 {{math2|(''x'', ''y'')}} を得たとすれば、
:<math>x_k + y_k \sqrt{n} = (x + y\sqrt{n})^k</math>
は全てペル方程式の解になる。また逆にペル方程式の全ての解は最小解の[[冪乗]]になることが知られている。

最小解を得る法としては、[[連分数]]展開からの近似分数を利用する方法が良く用いられる。

具体的には、{{math|{{sqrt|''n''}}}} の[[連分数]]展開を、{{math2|1={{sqrt|''n''}} = ''A'' = [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|m}}'']}} と置き、近似分数 {{math|{{sfrac|''P''|''Q''}}}} を、{{math2|1={{sfrac|''P''|''Q''}} = ''B'' = [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a''{{sub|''m''&minus;1}}]}}とすると、{{math2|1=(''x'', ''y'') = (''P'', ''Q'')}} が解になる。ただし、周期 {{mvar|m}} が奇数の場合は、右辺 = −1 の解が得られるので、1 の解を得るには上記の式で二乗する必要がある。ここで、''A'' は {{math|''a''{{sub|0}}}} を[[整数部分]]、{{math2|''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|m}}''}} を循環節とする無限連分数で、''B'' は循環節を一周期だけ採り、最後の項 {{mvar|a{{sub|m}}}} を除いた、有限連分数である。ちなみに、{{math2|''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a''{{sub|''m''&minus;1}}}} は左右対称となっており、{{math2|1=''a{{sub|m}}'' = 2''a''{{sub|0}}}} が常に成立する。

例えば {{mvar|n}} が {{math|7}} ならば、{{math2|1={{sqrt|7}} = [2; 1, 1, 1, 4]}} (周期は 4 で偶数) なので、{{math2|[2; 1, 1, 1]}} から近似分数 {{math|{{sfrac|8|3}}}} が得られ、{{math2|1=(''x'', ''y'') = (8, 3)}} が最小解となる。{{mvar|n}} が {{math|61}} の場合は、{{math2|1={{sqrt|61}} = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14]}}（周期は 11 で奇数）なので近似分数 {{math|{{sfrac|29718|3805}}}} が得られ、右辺 = −1 の最小解は <math>(x_1, y_1) = (29718, 3805)</math> となる。右辺 = 1 の最小解は、<math>x + y\sqrt{61} = (x_1 + y_1 \sqrt{61})^2</math> から {{math2|1=(''x'', ''y'') = (1766319049, 226153980)}} となる。

解の公式から
:<math>\alpha=x+y\sqrt{n},\; \beta=x-y\sqrt{n}</math>
とおくと、
:<math>x_k = \frac{\alpha^k+\beta^k}{2},\; y_k = \frac{\alpha^k-\beta^k}{2\sqrt{n}}</math>
が得られる。つまり、ペル方程式の解に対して、{{math2|{{sfrac|''y{{sub|k}}''|''y''}}, 2''x{{sub|k}}''}} は[[リュカ数列]]を構成する。

== 拡張1 ==
冒頭の不定方程式の右辺を 1 のかわりに −1 としたもの
:<math>x^2 - n y^2 = -1</math>
もペル方程式と呼ばれることがあるが、これは {{mvar|n}} の値によっては解を持たないこともある。

解を持つ {{mvar|n}} と、解の例をいくつか挙げる：{{math2|1=''n'' = 2}} のとき {{math2|1=(''x'', ''y'') = (1, 1), ''n'' = 5}} のとき {{math2|1=(''x'', ''y'') = (2, 1), ''n'' = 13}} のとき {{math2|1=(''x'', ''y'') = (18, 5)}}。

どのような ''n'' が -1 の解を持つのかは、未解決問題だが、{{math|{{sqrt|''n''}}}} を連分数展開したときの循環節の長さ(周期)が奇数のとき、かつその場合に限り解を持つことが、知られている。−1 の解を持つ ''n'' の必要条件としては、
# 4の倍数でない
# 4''k'' + 3 型の素因数を持たない
# {{math2|''k''{{sup|2}} + {{sfrac|2''k''|''a''}} (0 < ''a'' < 2''k'', ''a'' {{!}} 2''k'')}} の形でない<ref group="注">{{math2|''a'' {{!}} ''x''}} は、{{mvar|a}} が {{mvar|x}} を[[約数|割り切る]]（即ち、{{mvar|a}} は {{mvar|x}} の因数である）ことを表す。{{math2|1=''k''{{sup|2}} + 2, ''k''{{sup|2}} + ''k'' (= ''k'' (''k'' + 1)), ''k''{{sup|2}} + 2''k'' (= (''k'' + 1){{sup|2}} &minus; 1)}} は、全てこの形に含まれる。</ref>
が挙げられる。1, 2は、
:{{math2|1=''N'' = ''x''{{sup|2}} + 1 = ''ny''{{sup|2}}}}
と置いたとき、''N'' が2平方和に分解されており、{{math2|1=gcd(''x'', 1) = 1}} であることから、[[二個の平方数の和|2平方和定理]]からの自明な帰結として得られる。3は、この形の数の平方根が <math>\sqrt{k^2+ \frac{2k}{a}} = [k;a,2k,a,2k, \cdots ]</math>と、周期2の連分数に展開されることから、導かれる。例えば、{{math2|1=''a'' = ''k'' = 12}} なら {{math2|1={{sqrt|12{{sup|2}}+2}} = {{sqrt|146}} = [12; 12, 24, 12, 24, …]}} である<ref group="注">{{math|1=''a'' = 12}}, {{math|1=''k'' = 30}} なら <math>\sqrt{30^2 + \frac{60}{12}} = \sqrt{905} = [30;12,60,12,60, \cdots]</math> である。周期が 4, 6 のときの形を示すこともできるが、かなり煩雑であり、周期が偶数（又は奇数）の場合の一般形を示せなければ、情報としての価値が低いので、周期2の形のみを示す。</ref>。上記が、必要条件であり、必要十分条件でないことは、34 (= 2 × 17), 205 (= 5 × 41), 221 (= 13 × 17) などの多数の反例で示される。

十分条件の報告例は少ないが、''n'' が 4''k'' + 1 型の素数の場合や 8''k'' + 5 型の素数の2倍の場合も、必ず解を持つことが報告されている<ref name="HIGHER DESCENT ON PELL CONICS.">[https://arxiv.org/pdf/math/0311309.pdf "HIGHER DESCENT ON PELL CONICS."]</ref>。また、{{math2|1=''n'' = ''k''{{sup|2}} + 1}} の形であれば、{{math2|1=(''x'', ''y'') = (''k'', 1)}} が解になることは、明らかであろう<ref group="注">この形は、必要条件3で ''a'' = ''2k'' とした場合に相当し、その平方根は <math>\sqrt{k^2+1} = [k;2k,2k,2k, \cdots ]</math> と、周期 1 の連分数に展開される。近似分数は、{{math|{{sfrac|''k''|1}}}} である。</ref>。

== 拡張2 ==
右辺を1の代わりに4としたもの
:{{math2|1=x{{sup|2}} &minus; ''ny''{{sup|2}} = ±4}}
もペル方程式とよばれることがあるが、これは[[二次体]]の[[単数群|単数]]と深く関連している。{{mvar|K}} を二次体とし、{{mvar|D}} をその[[代数体の判別式|判別式]]とすると、
:{{math2|1=x{{sup|2}} &minus; ''Dy''{{sup|2}} = ±4}}
の整数解に対して
:{{math2|(''x'' + ''y''{{sqrt|''D''}})/2}}
全体は {{mvar|K}} の単数全体と一致する。特に最小解を {{math|(''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}})}} とおくと、
:<math>\alpha= \frac{x_1 + y_1 \sqrt{D}}{2}, \beta=\frac{x_1-y_1\sqrt{D}}{2}</math>
は {{mvar|K}} の基本単数となり、この方程式の解について、通常のペル方程式の場合と類似した公式
:<math>\frac{x_k + y_k \sqrt{D}}{2} = \left( \frac{x_1 + y_1 \sqrt{D}}{2} \right)^k</math>
が得られる。

== 最小解の一覧表 ==
{{math|1=x{{sup|2}} &minus; ''ny''{{sup|2}} = 1}} の、115 以下の {{mvar|n}} についての最小解の一覧表を、以下に示す。
{|class="wikitable" style="white-space:nowrap;text-align:right"
!style="width:4%"|''n''
!style="width:15%"|''x''
!style="width:10%"|''y''
!style="width:1%"|
!style="width:4%"|''n''
!style="width:15%"|''x''
!style="width:10%"|''y''
!style="width:1%"|
!style="width:4%"|''n''
!style="width:15%"|''x''
!style="width:10%"|''y''
|-
|'''2'''||3||2|| ||'''42'''||13||2|| ||'''79'''||80||9
|-
|'''3'''||2||1|| ||'''43'''||3482||531|| ||'''80'''||9||1
|-
|'''5'''||9||4|| ||'''44'''||199||30|| ||'''82'''||163||18
|-
|'''6'''||5||2|| ||'''45'''||161||24|| ||'''83'''||82||9
|-
|'''7'''||8||3|| ||'''46'''||24335||3588|| ||'''84'''||55||6
|-
|'''8'''||3||1|| ||'''47'''||48||7|| ||'''85'''||285769||30996
|-
|'''10'''||19||6|| ||'''48'''||7||1|| ||'''86'''||10405||1122
|-
|'''11'''||10||3|| ||'''50'''||99||14|| ||'''87'''||28||3
|-
|'''12'''||7||2|| ||'''51'''||50||7|| ||'''88'''||197||21
|-
|'''13'''||649||180|| ||'''52'''||649||90|| ||'''89'''||500001||53000
|-
|'''14'''||15||4|| ||'''53'''||66249||9100|| ||'''90'''||19||2
|-
|'''15'''||4||1|| ||'''54'''||485||66|| ||'''91'''||1574||165
|-
|'''17'''||33||8|| ||'''55'''||89||12|| ||'''92'''||1151||120
|-
|'''18'''||17||4|| ||'''56'''||15||2|| ||'''93'''||12151||1260
|-
|'''19'''||170||39|| ||'''57'''||151||20|| ||'''94'''||2143295||221064
|-
|'''20'''||9||2|| ||'''58'''||19603||2574|| ||'''95'''||39||4
|-
|'''21'''||55||12|| ||'''59'''||530||69|| ||'''96'''||49||5
|-
|'''22'''||197||42|| ||'''60'''||31||4|| ||'''97'''||62809633||6377352
|-
|'''23'''||24||5|| ||'''61'''||1766319049||226153980|| ||'''98'''||99||10
|-
|'''24'''||5||1|| ||'''62'''||63||8|| ||'''99'''||10||1
|-
|'''26'''||51||10|| ||'''63'''||8||1|| ||'''101'''||201||20
|-
|'''27'''||26||5|| ||'''65'''||129||16|| ||'''102'''||101||10
|-
|'''28'''||127||24|| ||'''66'''||65||8|| ||'''103'''||227528||22419
|-
|'''29'''||9801||1820|| ||'''67'''||48842||5967|| ||'''104'''||51||5
|-
|'''30'''||11||2|| ||'''68'''||33||4|| ||'''105'''||41||4
|-
|'''31'''||1520||273|| ||'''69'''||7775||936|| ||'''106'''||32080051||3115890
|-
|'''32'''||17||3|| ||'''70'''||251||30|| ||'''107'''||962||93
|-
|'''33'''||23||4|| ||'''71'''||3480||413|| ||'''108'''||1351||130
|-
|'''34'''||35||6|| ||'''72'''||17||2|| ||'''109'''||158070671986249||15140424455100
|-
|'''35'''||6||1|| ||'''73'''||2281249||267000|| ||'''110'''||21||2
|-
|'''37'''||73||12|| ||'''74''' ||3699||430|| ||'''111'''||295||28
|-
|'''38'''||37||6|| ||'''75'''||26||3|| ||'''112'''||127||12
|-
|'''39'''||25||4|| ||'''76'''||57799||6630|| ||'''113'''||1204353||113296
|-
|'''40'''||19||3|| ||'''77'''||351||40|| ||'''114'''||1025||96
|-
|'''41'''||2049||320|| ||'''78'''||53||6|| ||'''115'''||1126||105
|}

{{math|1=x{{sup|2}} − ''ny''{{sup|2}} = −1}} の、653 以下の {{mvar|n}} についての最小解の一覧表を、以下に示す。
{|class="wikitable" style="white-space:nowrap;text-align:right"
!style="width:4%"|''n''
!style="width:15%"|''ｘ''
!style="width:10%"|''ｙ''
!style="width:1%"|
!style="width:4%"|''n''
!style="width:15%"|''ｘ''
!style="width:10%"|''ｙ''
!style="width:1%"|
!style="width:4%"|''n''
!style="width:15%"|''ｘ''
!style="width:10%"|''ｙ''
|-
|'''2'''||1||1|| ||'''193'''||1764132||126985|| ||'''409'''||111921796968||5534176685
|-
|'''5'''||2||1|| ||'''197'''||14||1|| ||'''421'''||44042445696821418||2146497463530785
|-
|'''10'''||3||1|| ||'''202'''||3141||221|| ||'''425'''||268||13
|-
|'''13'''||18||5|| ||'''218'''||251||17|| ||'''433'''||7230660684||347483377
|-
|'''17'''||4||1|| ||'''226'''||15||1|| ||'''442'''||21||1
|-
|'''26'''||5||1|| ||'''229'''||1710||113|| ||'''445'''||4662||221
|-
|'''29'''||70||13|| ||'''233'''||23156||1517|| ||'''449'''||189471332||8941705
|-
|'''37'''||6||1|| ||'''241'''||71011068||4574225|| ||'''457'''||59089951584||2764111349
|-
|'''41'''||32||5|| ||'''250'''||4443||281|| ||'''458'''||107||5
|-
|'''50'''||7||1|| ||'''257'''||16||1|| ||'''461'''||24314110||1132421
|-
|'''53'''||182||25|| ||'''265'''||6072||373|| ||'''481'''||964140||43961
|-
|'''58'''||99||13|| ||'''269'''||82||5|| ||'''485'''||22||1
|-
|'''61'''||29718||3805|| ||'''274'''||1407||85|| ||'''493'''||683982||30805
|-
|'''65'''||8||1|| ||'''277'''||8920484118||535979945|| ||'''509'''||395727950||17540333
|-
|'''73'''||1068||125|| ||'''281'''||1063532||63445|| ||'''521'''||128377240||5624309
|-
|'''74'''||43||5|| ||'''290'''||17||1|| ||'''530''' ||23||1
|-
|'''82'''||9||1|| ||'''293'''||2482||145|| ||'''533'''||6118||265
|-
|'''85'''||378||41|| ||'''298'''||409557||23725|| ||'''538'''||69051||2977
|-
|'''89'''||500||53|| ||'''313'''||126862368||7170685||||'''541'''||1361516316469227450||58536158470221581
|-
|'''97'''||5604||569|| ||'''314'''||443||25|| ||'''554'''||174293||7405
|-
|'''101'''||10||1|| ||'''317'''||352618||19805|| ||'''557'''||118||5
|-
|'''106'''||4005||389|| ||'''325'''||18||1|| ||'''565'''||14752278||620633
|-
|'''109'''||8890182||851525|| ||'''337'''||1015827336||55335641|| ||'''569'''||2894863832||121359005
|-
|'''113'''||776||73|| ||'''338'''||239||13|| ||'''577'''||24||1
|-
|'''122'''||11||1|| ||'''346'''||93||5|| ||'''586'''||4115086707||169992665
|-
|'''125'''||682||61|| ||'''349'''||9210||493|| ||'''593'''||600632||24665
|-
|'''130'''||57||5|| ||'''353'''||71264||3793|| ||'''601'''||139468303679532||5689030769845
|-
|'''137'''||1744||149|| ||'''362'''||19||1|| ||'''610'''||71847||2909
|-
|'''145'''||12||1|| ||'''365'''||3458||181|| ||'''613'''||481673579088618||19454612624065
|-
|'''149'''||113582||9305|| ||'''370'''||327||17|| ||'''617'''||41009716||1650989
|-
|'''157'''||4832118||385645|| ||'''373'''||5118||265|| ||'''626'''||25||1
|-
|'''170'''||13||1|| ||'''389'''||1282||65|| ||'''629'''||7850||313
|-
|'''173'''||1118||85|| ||'''394'''||395023035||19900973|| ||'''634'''||65999458125||2621173333
|-
|'''181'''||1111225770||82596761|| ||'''397'''||20478302982||1027776565|| ||'''641'''||36120833468||1426687145
|-
|'''185'''||68||5|| ||'''401'''||20||1|| ||'''653'''||2291286382||89664965
|}

== 脚注 ==
=== 注 ===
{{reflist|group="注"}}
===出典===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=和田秀男
|title=数の世界 - 整数論への道
|edition=
|date=1981-7-10
|publisher=岩波書店
|authorlink=
|others=
|isbn=
}}
* {{Cite book|和書
|ref=シルヴァーマン2007
|author=ジョセフ・H・シルヴァーマン
|title=はじめての数論 原著第3版 発見と証明の大航海――ピタゴラスの定理から楕円曲線まで
|edition=
|date=2007-04-25
|publisher=ピアソン・エデュケーション
|authorlink=ジョセフ・H・シルヴァーマン
|translator=[[鈴木治郎]]
|isbn=978-4-89471-492-2
}}
** 第27章 どの数が平方数２つの和となるのでしょう？（193–194頁）
** 第40章 連分数，平方根，そしてペル方程式（327–341頁）
* 高木貞治：「初等整数論講義」第２版，共立出版 (1971)。

== 関連項目 ==
* [[ペル数]]
* [[アルキメデスの牛の問題]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|836|ペル方程式に関する基本的な性質まとめ}}

{{Numtheory-stub}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:へるほうていしき}}
[[Category:数論]]
[[Category:ディオファントス方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]