ペンローズのグラフ記法のソースを表示

[[数学]]や[[物理学]]において、'''ペンローズのグラフ記法'''（ペンローズのグラフきほう、Penrose graphical notation もしくは tensor diagram notation）は1971年に[[ロジャー・ペンローズ]]により提案された[[多重線形関数]]や[[テンソル]]の（通常は手書きの）視覚的描写<ref>[[Roger Penrose]], "Applications of negative dimensional tensors," in ''Combinatorial Mathematics and its Applications'', Academic Press (1971). </ref>。この記法の図は線でつながれたいくつかの図形から構成されている。この記法はPredrag Cvitanovićにより広く研究され、これを[[古典リー群]]の分類に用いた<ref>{{Cite book|last=[[Predrag Cvitanović]]|year=2008|title=Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups|publisher=Princeton University Press|url=http://birdtracks.eu/}}</ref>。物理学における[[スピンネットワーク]]に対する[[表現論]]を用いて、そして[[線形代数]]におけるトレースダイアグラムに対する[[行列群]]の存在とともに一般化されてきた。

== 解釈 ==

=== 多重線型代数 ===
[[多重線型代数]]の言葉においては、それぞれの図形が[[多重線型写像|多重線型関数]]を表す。図形に付けられた線は関数の入力や出力を表し、図形の結合は本質上の[[写像の合成|関数の合成]]である。

=== テンソル ===
[[テンソル|テンソル代数]]の言葉では、特定のテンソルは特定の形に関連付けられており、各々のテンソルの[[抽象添字記法|抽象]][[ベクトルの共変性と反変性|上下]]添字に対応して、多くの線が上下に延びている。2つの形を結ぶ線は[[テンソルの縮約|添字の縮約]]に対応する。この表記の1つの利点は、新たな添字に新たな文字を作る必要がないことである。また、明示的に[[基底 (線型代数学)|基底]]に無依存である<ref>[[ロジャー・ペンローズ|Roger Penrose]], ''[[The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe]]'', 2005, {{ISBN2|0-09-944068-7}}, Chapter ''Manifolds of n dimensions''.</ref>。

=== 行列 ===
各形は行列を表し、[[テンソル積]]は水平、[[行列の乗法|行列積]]は垂直に行われる。

== 特別なテンソルの表現 ==

=== 計量テンソル ===
[[計量テンソル]]は使われるテンソルの種類によってU字型ループもしくは逆U字型ループで表される。
{|
|[[ファイル:Penrose_g.svg|フレーム|計量テンソル <math>g^{ab}</math>]]
|[[ファイル:Penrose_g_ab.svg|フレーム|計量テンソル <math>g_{ab}</math>]]
|}

=== レヴィ＝チヴィタテンソル ===
[[エディントンのイプシロン|レヴィ＝チヴィタ反対称テンソル]]は使われるテンソルの種類により、下もしくは上を向く棒のついた太い水平の棒で表される。
{|
| valign="top" |[[ファイル:Penrose_varepsilon_a-n.svg|フレーム|<math>\varepsilon_{ab\ldots n}</math>]]
| valign="top" |[[ファイル:Penrose_epsilon^a-n.svg|フレーム|<math>\epsilon^{ab\ldots n}</math>]]
| valign="top" |[[ファイル:Penrose_varepsilon_a-n_epsilon^a-n.svg|フレーム|<math>\varepsilon_{ab\ldots n}\,\epsilon^{ab\ldots n}</math><math>= n!</math>]]
|}

=== 構造定数 ===
[[ファイル:Penrose_gamma_ab^c.svg|サムネイル|144x144ピクセル|構造定数 <math>{\gamma_{\alpha\beta}}^\chi = -{\gamma_{\beta\alpha}}^\chi</math>]]
[[リー代数]]の構造定数(<math>{\gamma_{ab}}^c</math>)は1本の線が上を向き2本の線が下を向いた小さい三角形で表される。

== テンソル演算 ==

=== 指数の縮約 ===
添字の[[テンソルの縮約|縮約]]は添字線を結合することによって表される。
{|
|[[ファイル:Penrose_delta^a_b.svg|サムネイル|120x120ピクセル|[[クロネッカーのデルタ]]<math>\delta^a_b</math>]]
|[[ファイル:Penrose_beta_a_xi^a.svg|サムネイル|120x120ピクセル|[[ドット積]] <math>\beta_a\,\xi^a</math>]]
|[[ファイル:Penrose_g_ab_g^bc-d^c_a-g^cb_g_ba.svg|サムネイル|257x257ピクセル|<math>g_{ab}\,g^{bc} = \delta_a^c = g^{cb}\,g_{ba}</math>]]
|}

=== 対称化 ===
[[対称テンソル|対称化]]は水平に伸びた添え字の線を横切る太いジグザグ線もしくは波線で表される。
{|
|[[ファイル:Penrose_asymmetric_Q^a-n.svg|サムネイル|242x242ピクセル|対称化<br /><br /><math>Q^{(ab\ldots n)}</math><br /><br />(with <math>{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}</math>)]]
|}

=== 反対称化 ===
指数の[[反対称テンソル|反対称化]]は指数線を水平に横切る太い直線で表される。
{|
|[[ファイル:Penrose_symmetric_E_a-n.svg|サムネイル|205x205ピクセル|反対称化<br /><br /><math>E_{[ab\ldots n]}</math><br /><br />(with <math>{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}</math>)]]
|}

== 行列式 ==
行列式は添字に反対称化を適用することにより形成される。
{|
|[[ファイル:Penrose_det_T.svg|サムネイル|386x386ピクセル|[[行列式]] <math>\det\mathbf{T} = \det\left(T^a_{\ b}\right)</math>]]
|[[ファイル:Penrose_T^-1.svg|サムネイル|533x533ピクセル|逆行列 <math>\mathbf{T}^{-1} = \left(T^a_{\ b}\right)^{-1}</math>]]
|}

=== 共変微分 ===
[[共変微分]] (<math>\nabla</math>) は微分されるテンソルを囲む円と微分の下の添字を表す下向きの円から出る線で表される。
{|
|[[ファイル:Penrose_covariant_derivate.svg|フレーム|共変微分 <math>
12\nabla_a\left( \xi^f\,\lambda^{(d}_{fb[c}\,D^{e)b}_{gh]} \right)</math>
<math>= 12\left(  \xi^f (\nabla_a \lambda^{(d}_{fb[c}) \, D^{e)b}_{gh]} + (\nabla_a \xi^f) \lambda^{(d}_{fb[c}\,D^{e)b}_{gh]} + \xi^f \lambda^{(d}_{fb[c} \, (\nabla_a D^{e)b}_{gh]} ) \right)
</math>]]
|}

== テンソル操作 ==
図表記法はテンソル代数を操作するのに役立つ。通常、テンソル操作のいくつかの単純な「[[恒等式]]」を含む。

例えば、<math>\varepsilon_{a...c} \varepsilon^{a...c} = n!</math>（''n'' は次元数）は一般的な「恒等式」である。

=== リーマン曲率テンソル ===
リーマン曲率テンソルに関して与えられたリッチとビアンキ恒等式は、表記法の力を例証する。
{|
|[[ファイル:Penrose_riemann_curvature_tensor.svg|サムネイル|120x120ピクセル|[[リーマン曲率テンソル]]の表記]]
|[[ファイル:Penrose_ricci_tensor.svg|サムネイル|120x120ピクセル|[[リッチテンソル]] <math>R_{ab} = R_{acb}^{\ \ \ c}</math>]]
|[[ファイル:Penrose_ricci_identity.svg|サムネイル|156x156ピクセル|リッチ恒等式 <math>(\nabla_a\,\nabla_b -\nabla_b\,\nabla_a)\,\mathbf{\xi}^d</math><math>= R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf{\xi}^c</math>]]
|[[ファイル:Penrose_bianchi_identity.svg|サムネイル|138x138ピクセル|[[曲率形式|ビアンキ恒等式]] <math>\nabla_{[a} R_{bc]d}^{\ \ \ e} = 0</math>]]
|}

== 拡張 ==
この表記法は[[スピノール|スピノル]]と[[ツイスター理論|ツイスター]]の支持で拡張された<ref>{{Cite book|title=Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields|last=Penrose|first=R.|last2=Rindler|first2=W.|pages=424–434|year=1984|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-24527-3|url=https://books.google.com/books?id=CzhhKkf1xJUC}}</ref><ref>{{Cite book|title=Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry|last=Penrose|first=R.|last2=Rindler|first2=W.|year=1986|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-25267-9|url=https://books.google.com/books?id=f0mgGmtx0GEC}}</ref>。

== 関連項目 ==

* [[抽象添字記法]]
* {{仮リンク|角運動量図 (量子力学)|en|Angular momentum diagrams (quantum mechanics)}}
* {{仮リンク|Braidedモノイド圏|en|Braided monoidal category}}
* {{仮リンク|圏的量子力学|en|Categorical quantum mechanics}}はテンソル図表記を用いる
* [[行列積状態]]はペンローズのグラフ表記を用いる
* {{仮リンク|リッチ計算法|en|Ricci calculus}}{{refn|group="注"|{{cite web|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/23/2/23_2_101/_pdf|page=103, 左上|access-date=2023/11/06|author=矢野健太郎|title=幾何学部門報告}}に「リッチ計算法」と書かれているためこの訳を採用}}
* [[スピンネットワーク]]
* [[:en:Trace diagram|Trace diagram]]

==注釈==
{{reflist|group="注"}}

== 出典 ==
<references />

{{tensors}}
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:理論物理学]]
[[Category:テンソル]]