ホイン函数のソースを表示

[[数学]]の分野における局所'''ホイン函数'''（ホインかんすう、{{Lang-en-short|Heun function}}）''H''⁢ℓ(''a'', ''q''; ''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''; ''z'') とは、正則かつ特異点 ''z''&nbsp;=&nbsp;0 において 1 となるような、'''ホインの微分方程式'''（Heun's differential equation）の解である{{harvs|authorlink=:en:Karl Heun|first=Karl L. W. |last=Heun|year=1889}}。局所ホイン函数は ''z''&nbsp;=&nbsp;1 でも正則であるなら'''ホイン函数'''と呼ばれ、''Hf'' と表される。また、すべての三つの有限特異点 ''z''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;''a'' において正則であるなら、局所ホイン函数は'''ホイン多項式'''（Heun polynomial）と呼ばれ、''Hp'' と表される。

== ホインの方程式 ==

ホインの方程式は、次の形状の二階[[線型]][[常微分方程式]]である。

:<math>\frac {d^2w}{dz^2} + 
\left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-a} \right] 
\frac {dw}{dz} 
+ \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-a)} w = 0.</math>

条件 <math>\epsilon=\alpha+\beta-\gamma-\delta+1</math> は、∞ における正則性を保証するために必要となる。

複素数 ''q'' は'''アクセサリーパラメータ'''（accessory parameter）と呼ばれる。ホインの方程式には四つの{{仮リンク|確定特異点|en|regular singular point}} 0,&nbsp;1,&nbsp;''a'' および ∞ と、指数 (0,&nbsp;1&nbsp;&minus;&nbsp;''γ''), (0,&nbsp;1&nbsp;&minus;&nbsp;''δ''), (0,&nbsp;1&nbsp;&minus;&nbsp;''ϵ'') および (''α'',&nbsp;''β'') が存在する。[[リーマン球面|拡張複素平面]]上のすべての二階線型常微分方程式で、高々四つの確定特異点を持つもの、たとえば[[ラメ函数]]や[[超幾何級数|超幾何微分方程式]]などは、変数変換によってこの方程式に変換することが出来る。

== 対称性 ==

ホインの方程式は、位数 192 の対称性の群を持ち、それらは{{仮リンク|コクセター＝ディンキン図形|label=コクセター図形|en|Coxeter–Dynkin diagram}} ''D''<sub>4</sub> の[[コクセター群]]と同型で、クンマーによって得られた[[超幾何級数|超幾何微分方程式]]の 24 の対称性と類似のものである。局所ホイン函数を固定する対称性は、4 つの点の上で[[対称群]]と同型となる位数 24 の群を形成する。したがって、それらの対称性によって局所ホイン函数の上を動くことで得られる 192/24 =&nbsp;8 =&nbsp;2&nbsp;&times;&nbsp;4 個の本質的に異なる解が存在し、それらは各 4 つの特異点に対する各 2 つの指数について得られる。192 個の対称性の完全なリストは、機械計算によって {{harvtxt|Maier|2007}} で与えられた。それ以前の手計算による様々な研究者によるリスト完成への試みは、多くの誤りや見落としを含むものであった。例えば、ホインによってリスト化された 48 の局所解のほとんどに、深刻な誤りが含まれていた。

== 関連項目 ==
* [[ハイネ＝スティルチェス多項式]]：ホイン多項式のある一般化

== 参考文献 ==
* A. Erdélyi, F. Oberhettinger, W. Magnus and F. Tricomi [http://apps.nrbook.com/bateman/Vol3.pdf Higher Transcendental functions vol. 3] (McGraw Hill, NY, 1953).
*{{Citation | last1=Forsyth | first1=Andrew Russell | title=Theory of differential equations.  4. Ordinary linear equations | origyear=1906 | publisher=[[ドーヴァー出版|Dover Publications]] | location=New York  | mr=0123757 | year=1959|url=https://archive.org/details/theorydiffeq04forsrich|pages=158}}
* {{citation|first=Karl |last=Heun |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00225140X |title= Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten|journal= Mathematische Annalen |volume=33|page= 161 |year=1889}}
*{{Citation | last1=Maier | first1=Robert S. | title=The 192 solutions of the Heun equation | arxiv=math/0408317 | doi=10.1090/S0025-5718-06-01939-9 | mr=2291838 | year=2007 | journal=[[:en:Mathematics of Computation|Mathematics of Computation]]   | volume=76 | issue=258 | pages=811–843}}
*{{Citation | editor1-last=Ronveaux | editor1-first=A. | title=Heun's differential equations | publisher=The Clarendon Press Oxford University Press | series=Oxford Science Publications | isbn=978-0-19-859695-0 | mr=1392976 | year=1995}}
*{{dlmf|id=31|title=Heun functions|first=B. D.|last=Sleeman|first2=V. B. |last2=Kuznetzov}}
*{{Citation | last1=Valent | first1=Galliano | title=Difference equations, special functions and orthogonal polynomials | arxiv=math-ph/0512006 | publisher=World Sci. Publ., Hackensack, NJ | doi=10.1142/9789812770752_0057 | mr=2451210 | year=2007 | chapter=Heun functions versus elliptic functions | pages=664–686}}

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