ホッジ予想のソースを表示

{{要改訳}}
'''ホッジ予想'''（ホッジよそう、{{lang-en-short|Hodge conjecture}}）は、[[代数幾何学]]の大きな[[数学上の未解決問題|未解決問題]]であり、非特異複素多様体と部分多様体の代数トポロジーに関連している。ホッジ予想は、[[複素多様体|複素解析多様体]]のあるホモロジー類（[[#ホッジ予想のステートメント|ホッジ類]]）は、代数的な[[ド・ラームコホモロジー]]類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類の[[ポアンカレ双対]]の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想である。この定式化は、スコットランドの数学者[[ウィリアム・ホッジ]]により、1930年から1940年のド・ラームコホモロジーの記述を、複素多様体の場合に存在する余剰な構造を含む記述へと拡張する仕事の結果として得られた。1950年の米国の[[マサチューセッツ州]]ケンブリッジで行われた、[[国際数学者会議]]でホッジが提起すると、ホッジ予想は非常に注目をあびるようになった。[[クレイ数学研究所]]は、[[ミレニアム懸賞問題]]の一つとして、解決者に対して100万ドルの[[懸賞金]]を支払う事を約束している。
<!---The '''Hodge conjecture''' is a major unsolved problem in [[algebraic geometry]] that relates the [[algebraic topology]] of a [[non-singular]] [[complex number|complex]] [[algebraic variety]] and the subvarieties of that variety. More specifically, the conjecture says that certain [[de Rham cohomology]] classes are algebraic, that is, they are sums of [[Poincaré duality|Poincaré duals]] of the homology classes of subvarieties. It was formulated by the Scottish mathematician [[William Vallance Douglas Hodge]] as a result of a work in between 1930 and 1940 to enrich the description of de Rham cohomology to include extra structure that is present in the case of complex algebraic varieties. It received little attention before Hodge presented it in an address during the 1950 [[International Congress of Mathematicians]], held in Cambridge, [[Massachusetts]], U.S. The Hodge conjecture is one of the [[Clay Mathematics Institute]]'s [[Millennium Prize Problems]], with a prize of $1,000,000 for whoever can prove or disprove the Hodge conjecture using "some argument".-->

== 動機 ==
''X'' を複素 ''n'' 次元の[[コンパクト (数学)|コンパクト]]な[[複素多様体]]とすると、''X'' は実 2''n'' 次元の[[向き付け可能性|向き付け可能]]な[[多様体#可微分多様体|微分可能多様体]]である。従って、''X'' 上の[[コホモロジー群]]は 0 から 2''n'' まで以外では消える。''X'' を[[ケーラー多様体]]と仮定すると、複素数を係数とするコホモロジーの分解が存在して、
:<math>H^k(X, \mathbf{C}) = \bigoplus\nolimits_{p+q=k} H^{p,q}(X),</math>
となる。ここに ''H<sup>p, q</sup>''(''X'') は、タイプが (''p'', ''q'') の[[調和形式]]により表されるコホモロジー類である。すなわち、これらは、ある局所座標 ''z''<sub>1</sub>, ..., ''z''<sub>''n''</sub> を選択すると、ある[[調和函数]]と
:<math>dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}.</math>
の積として表されるような[[微分形式]]によって表現されるコホモロジー類である（さらに詳しくは[[ホッジ理論]]を参照のこと）。これらの調和函数を使う表現のウェッジ積をとることは、コホモロジーのでの[[カップ積]]に対応するので、カップ積はホッジ分解と整合性を持っている。
:<math>\cup : H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).\,</math>

''X'' はコンパクトな向き付け可能な多様体であるから、''X'' は[[基本類]]を持っている。

''Z'' を ''X'' の次元 ''k'' の複素部分多様体として、''i'' : ''Z'' → ''X'' を埋め込み写像とする。タイプ (''p'', ''q'') の微分形式 α を選択する。すると α を次式のように ''Z'' 上積分することができる。

:<math>\int_Z i^*\alpha.</math>

この積分を計算するために、''Z'' の上の点を選び、それを 0 とする。''X'' の上の 0 の周りの局所座標 ''z''<sub>1</sub>, ..., ''z<sub>n</sub>'' で ''Z'' がちょうど ''z''<sub>''k'' + 1</sub> = ... = ''z<sub>n</sub>'' = 0 となる座標を選択することができる。もし ''p'' > ''k'' であれば、α はある ''dz<sub>i</sub>'' に含まれねばならない。ここに ''z<sub>i</sub>'' は ''Z'' 上の 0 に引き戻す。''q'' > ''k'' の場合でも同じことが成り立つ。結局、この積分は、(''p'', ''q'') ≠ (''k'', ''k'') であれば、ゼロとなる。

さらに抽象化すると、積分は ''Z'' のホモロジー類と α により表されるコホモロジー類の[[キャップ積]]として書くことができる。[[ポアンカレ双対|ポアンカレ双対性]]により、''Z'' のホモロジー類はコホモロジー類 [''Z''] の双対であり、[''Z''] と α のカップ積と ''X'' の基本類とのキャップ積を取ることにより、（この積分値である）キャップ積を計算することができる。[''Z''] はコホモロジー類であるので、ホッジ分解を持っている。上記の計算により、これ（基本類）とタイプが (''p'', ''q'') ≠ (''k'', ''k'') の任意のクラスとのカップ積を取ると、その結果はゼロとなることが分かる。''H''<sup>2''n''</sup>(''X'', '''C''') = ''H''<sup>''n'', ''n''</sup>(''X'') であるので、[''Z''] は ''H''<sup>''n''-''k'', ''n''-''k''</sup>(''X'', '''C''') の中にある必要がある。大まかに言うと、ホッジ予想は次のように問うことと言える。
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">''H''<sup>''k'', ''k''</sup>(''X'') の中のどのコホモロジー類が、複素部分多様体 ''Z'' から来たのであろうか？</blockquote>

<!---Let ''X'' be a [[compact space|compact]] [[complex manifold]] of complex dimension ''n''. Then ''X'' is an [[orientable]] [[smooth manifold]] of real dimension 2''n'', so its [[cohomology]] groups lie in degrees zero through 2''n''.  Assume ''X'' is a [[Kähler manifold]], so that there is a decomposition on its cohomology with complex coefficients:

:<math>H^k(X, \mathbf{C}) = \bigoplus\nolimits_{p+q=k} H^{p,q}(X),</math>

where ''H<sup>p, q</sup>''(''X'') is the subgroup of cohomology classes which are represented by [[harmonic form]]s of type (''p'', ''q''). That is, these are the cohomology classes represented by [[differential form]]s which, in some choice of local coordinates ''z''<sub>1</sub>, ..., ''z<sub>n</sub>'', can be written as a [[harmonic function]] times (see [[Hodge theory]] for more details):

:<math>dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}.</math>

Taking wedge products of these harmonic representatives corresponds to the [[cup product]] in cohomology, so the cup product is compatible with the Hodge decomposition:

:<math>\cup : H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).\,</math>

Since ''X'' is a compact oriented manifold, ''X'' has a [[fundamental class]].

Let ''Z'' be a complex submanifold of ''X'' of dimension ''k'', and let ''i'' : ''Z'' → ''X'' be the inclusion map.  Choose a differential form α of type (''p'', ''q'').  We can integrate α over ''Z'':

:<math>\int_Z i^*\alpha.</math>

To evaluate this integral, choose a point of ''Z'' and call it 0.  Around 0, we can choose local coordinates ''z''<sub>1</sub>, ..., ''z<sub>n</sub>'' on ''X'' such that ''Z'' is just ''z''<sub>''k'' + 1</sub> = ... = ''z<sub>n</sub>'' = 0.  If ''p'' > ''k'', then α must contain some ''dz<sub>i</sub>'' where ''z<sub>i</sub>'' pulls back to zero on ''Z''.  The same is true if ''q'' > ''k''.  Consequently, this integral is zero if (''p'', ''q'') ≠ (''k'', ''k'').

More abstractly, the integral can be written as the [[cap product]] of the homology class of ''Z'' and the cohomology class represented by α.  By Poincaré duality, the homology class of ''Z'' is dual to a cohomology class which we will call [''Z''], and the cap product can be computed by taking the cup product of [''Z''] and α and capping with the fundamental class of ''X''.  Because [''Z''] is a cohomology class, it has a Hodge decomposition.  By the computation we did above, if we cup this class with any class of type (''p'', ''q'') ≠ (''k'', ''k''), then we get zero.  Because ''H''<sup>2''n''</sup>(''X'', '''C''') = ''H<sup>n, n</sup>''(''X''), we conclude that [''Z''] must lie in ''H<sup>n-k, n-k</sup>''(''X'', '''C''').  Loosely speaking, the Hodge conjecture asks:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">Which cohomology classes in ''H<sup>k, k</sup>''(''X'') come from complex subvarieties ''Z''?</blockquote>-->

== 内容 ==
: <math>\operatorname{Hdg}^k(X) = H^{2k}(X, \mathbf{Q}) \cap H^{k,k}(X)</math>
とし、これを ''X'' 上の次数 2''k'' の'''ホッジ類'''の群と呼ぶ。

ホッジ予想を現代的なステートメントにすると
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''ホッジ予想''' .  ''X'' を非特異な複素射影多様体とすると、''X'' 上のすべてのホッジ類は、''X'' の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合となる。</blockquote>

複素射影多様体は複素射影空間に埋め込むことのできる複素多様体である。射影空間は[[ケーラー計量]]である[[フビニ・スタディ計量]]を持つので、そのような（射影空間に埋め込める）多様体はいつも[[ケーラー多様体]]である。[[代数幾何学と解析幾何学#周の定理|周の定理]]により、複素射影多様体も滑らかな射影代数多様体でもある、つまり、同次多項式の集まりのゼロ点集合である。
<!---Let:

:<math>\operatorname{Hdg}^k(X) = H^{2k}(X, \mathbf{Q}) \cap H^{k,k}(X).</math>

We call this the group of ''Hodge classes'' of degree 2''k'' on ''X''.

The modern statement of the Hodge conjecture is:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Hodge conjecture.''' Let ''X'' be a non-singular complex projective manifold. Then every Hodge class on ''X'' is a linear combination with rational coefficients of the cohomology classes of complex subvarieties of ''X''.</blockquote>

A projective complex manifold is a complex manifold which can be embedded in [[complex projective space]].  Because projective space carries a Kähler metric, the [[Fubini–Study metric]], such a manifold is always a Kähler manifold.  By [[Algebraic geometry and analytic geometry#Chow.27s theorem|Chow's theorem]], a projective complex manifold is also a smooth projective algebraic variety, that is, it is the zero set of a collection of homogeneous polynomials.-->

=== 代数的サイクルを使った言い換え ===
ホッジ予想を述べるには別の方法、'''[[代数的サイクル]]'''のアイデアを使う方法もある。''X'' 上の代数的サイクルとは ''X'' の部分多様体の形式的な結合のこと、つまり、次式の形のものをいう。
: <math>\sum\nolimits_i c_iZ_i.</math>

普通は、係数を整数もしくは有理数を取る。代数的サイクルのコホモロジー類を各構成成分の和として定義する。これは[[ド・ラームコホモロジー]]のサイクル類の写像の例である。[[ヴェイユコホモロジー]]を参照。例えば、上記のサイクルのコホモロジー類は次のようになる。
:<math>\sum\nolimits_i c_i[Z_i].</math>

このようなコホモロジー類を'''代数的'''と呼ぶこととする。この用語を使うと、ホッジ予想は次のようになる。
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">''X'' を複素射影多様体とすると、すべての ''X'' 上のホッジ類は代数的である。</blockquote>

<!---=== Reformulation in terms of algebraic cycles ===
Another way of phrasing the Hodge conjecture involves the idea of an algebraic cycle.  An ''[[algebraic cycle]]'' on ''X'' is a formal combination of subvarieties of ''X'', that is, it is something of the form:

: <math>\sum\nolimits_i c_iZ_i.</math>

The coefficients are usually taken to be integral or rational.  We define the cohomology class of an algebraic cycle to be the sum of the cohomology classes of its components. This is an example of the cycle class map of de Rham cohomology, see [[Weil cohomology]].  For example, the cohomology class of the above cycle would be:

:<math>\sum\nolimits_i c_i[Z_i].</math>

Such a cohomology class is called ''algebraic''.  With this notation, the Hodge conjecture becomes:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">Let ''X'' be a projective complex manifold. Then every Hodge class on ''X'' is algebraic.</blockquote>

The assumption in the Hodge conjecture that ''X'' be algebraic (projective complex manifold) cannot be weakened. In 1977 Zucker showed that it is possible to construct a counterexample to the Hodge conjecture as complex tori with analytic rational cohomology of type (p,p), which is not projective algebraic. (see the appendix B: in {{Harvtxt|Zucker|1977}})-->

この、''X'' が代数的（複素射影多様体）であるというホッジ予想の条件は弱めることができない。1977年に、ズーカー(S. Zucker)は、ホッジ予想の反例を、射影代数的でない解析的なタイプ  (''p'', ''p'') の有理数係数のコホモロジーを持つ[[アーベル多様体#解析的理論|複素トーラス]]として構成することができることを示した。（{{Harvtxt|Zucker|1977}}のappendix Bを参照のこと）

== ホッジ予想が成立することが知られているケース ==

=== 次元が低い、余次元が低い場合 ===

ホッジ予想の最初の結果は {{Harvtxt|Lefschetz|1924}} によって提供された。実際、この論文はホッジ予想に先行していて、ホッジ予想の成立にいくつかの動機をもたらした。

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''定理''' （{{仮リンク|レフシェッツ(1,1)-クラスの定理|en|Lefschetz theorem on (1,1)-classes}}）  ''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H''<sup>1,1</sup>(''X'') の任意の元は、''X'' 上の[[因子 (代数幾何学)|因子]]のコホモロジー類である。特に、''H''<sup>2</sup> について、ホッジ予想が成立する。</blockquote>

[[層コホモロジー]]と[[指数完全系列]]を使うと、このことが非常に簡明に証明できる。（因子のコホモロジー類は第一[[チャーン類]]に等しいことが分かる。）レフシェッツの元々の証明は、[[ポワンカレ|ポアンカレ]] (Henri Poincaré) により導入された正規函数 (normal function) を使い、成し遂げられている。しかし、{{仮リンク|グリフィス横断性定理|en|Griffiths transversality theorem}}は、このアプローチでは余次元が高い部分多様体に対しては、ホッジ予想を証明し得ないことを示している。

[[強レフシェッツ定理]]により、

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''定理'''  次数が ''p'' < ''n'' であるホッジ類に対しホッジ予想が正しいとすると、ホッジ予想は次数が 2''n''&nbsp;-&nbsp;''p'' のホッジ類に対して正しい。</blockquote>

が証明される。上記の2つの定理を結び合わせると、ホッジ予想が次数 2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2 のホッジ類に対して正しいことが証明される。このことによって ''X'' の次元が高々3のときにはホッジ予想が正しいことが証明できる。

レフシェッツ(1,1)-クラスの定理は、もしすべてのホッジ類が因子のホッジ類によって生成されるとするならば、ホッジ予想が成り立つことを意味する。

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''系'''  代数
:<math>\operatorname{Hdg}^*(X) = \sum\nolimits_k \operatorname{Hdg}^k(X)</math>
が Hdg<sup>1</sup>(''X'') により生成されるとすると、''X'' に対しホッジ予想が成り立つ。</blockquote>
<!---The first result on the Hodge conjecture is due to {{Harvtxt|Lefschetz|1924}}.  In fact, it predates the conjecture and provided some of Hodge's motivation.

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Theorem ([[Lefschetz theorem on (1,1)-classes]]).''' Any element of ''H''<sup>2</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H''<sup>1,1</sup>(''X'') is the cohomology class of a [[divisor (algebraic geometry)|divisor]] on ''X''. In particular, the Hodge conjecture is true for ''H''<sup>2</sup>.</blockquote>

A very quick proof can be given using [[sheaf cohomology]] and the [[exponential exact sequence]].  (The cohomology class of a divisor turns out to equal to its first [[Chern class]].)  Lefschetz's original proof proceeded by [[normal function (geometry)|normal function]]s, which were introduced by [[Henri Poincaré]].  However, [[Griffiths transversality theorem]] shows that this approach cannot prove the Hodge conjecture for higher codimensional subvarieties.

By the [[Hard Lefschetz theorem]], one can prove:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Theorem.''' If the Hodge conjecture holds for Hodge classes of degree ''p'', ''p'' < ''n'', then the Hodge conjecture holds for Hodge classes of degree 2''n''&nbsp;−&nbsp;''p''.</blockquote>

Combining the above two theorems implies that Hodge conjecture is true for Hodge classes of degree 2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2.  This proves the Hodge conjecture when ''X'' has dimension at most three.

The Lefschetz theorem on (1,1)-classes also implies that if all Hodge classes are generated by the Hodge classes of divisors, then the Hodge conjecture is true:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Corollary.''' If the algebra
:<math>\operatorname{Hdg}^*(X) = \sum\nolimits_k \operatorname{Hdg}^k(X)</math>
is generated by Hdg<sup>1</sup>(''X''), then the Hodge conjecture holds for ''X''.</blockquote>-->

===超曲面===
[[レフシェッツ超平面定理|強いレフシェッツ定理]]と弱いレフシェッツの定理により、[[超曲面]]についてのホッジ予想の唯一の非自明な部分は、2''m'' 次元超曲面の次数 ''m'' の部分（つまり中間コホモロジー） <math>X \subset \mathbf P^{2m+1}</math> である。次数 ''d'' が 2、つまり、''X'' が[[二次曲面]]の場合には、ホッジ予想は、すべての ''m'' に対して成立する。''m'' = 2、つまり、[[4次元多様体]]の場合は、ホッジ予想は、<math>d \le 5</math> に対し成立することが知られている<ref>James Lewis: ''A Survey of the Hodge Conjecture'', 1991, Example 7.21</ref>。
<!--===Hypersurfaces===
By the strong and weak [[Lefschetz theorem]], the only non-trivial part of the Hodge conjecture for [[hypersurface]]s is the degree ''m'' part (i.e., the middle cohomology) of a 2''m''-dimensional hypersurface <math>X \subset \mathbf P^{2m+1}</math>. If the degree ''d'' is 2, i.e., ''X'' is a [[quadric]], the Hodge conjecture holds for all ''m''. For ''m''=2, i.e., [[fourfold]]s, the Hodge conjecture is known for <math>d \le 5</math>.<ref>James Lewis: ''A Survey of the Hodge Conjecture'', 1991, Example 7.21</ref>-->

=== アーベル多様体の場合 ===
大半の[[アーベル多様体]]に対し、代数 Hdg*(''X'') は次数 1 で生成されるので、ホッジ予想が成り立つ。特に、ホッジ予想は、十分一般的なアーベル多様体、楕円曲線の積や単純アーベル多様体に対して成り立つ{{Citation Needed|date=April 2012}}。しかし、{{Harvtxt|Mumford|1969}} では、Hdg<sup>2</sup>(''X'') が因子クラスの積によって生成されないようなアーベル多様体の例を構成した。この例を {{Harvtxt|Weil|1977}} で、一般化した。このことは、多様体が[[二次体|虚二次体]]によって[[虚数乗法]]を持つときは、いつでも Hdg<sup>2</sup>(''X'') が因子類の積によっては生成されないことを示すことでなされた。{{Harvtxt|Moonen|Zarhin|1999}}は 5 より次元の小さい場合に対し、Hdg*(''X'') が次数 1 で生成されるか、あるいは多様体が虚二次体の虚数乗法を持つかのいずれかであることを証明した。後者の場合には、ホッジ予想が成り立つ例は、特別ないくつかの場合だけしか知られていない。

<!---=== Abelian varieties ===
For most [[abelian variety|abelian varieties]], the algebra Hdg*(''X'') is generated in degree one, so the Hodge conjecture holds.  In particular, the Hodge conjecture holds for sufficiently general abelian varieties, for products of elliptic curves, and for simple abelian varieties {{Citation Needed|date=April 2012}}.  However, {{Harvtxt|Mumford|1969}} constructed an example of an abelian variety where Hdg<sup>2</sup>(''X'') is not generated by products of divisor classes.  {{Harvtxt|Weil|1977}} generalized this example by showing that whenever the variety has [[complex multiplication]] by an [[imaginary quadratic field]], then <Hdg<sup>2</sup>(''X'') is not generated by products of divisor classes.  {{Harvtxt|Moonen|Zarhin|1999}} proved that in dimension less than 5, either Hdg*(''X'') is generated in degree one, or the variety has complex multiplication by an imaginary quadratic field.  In the latter case, the Hodge conjecture is only known in special cases.-->
== 一般化 ==

=== 整数ホッジ予想 ===

ホッジの元来の予想
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''整数ホッジ予想'''  ''X'' を複素射影多様体とすると、''H''<sup>2''k''</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H''<sup>''k'', ''k''</sup>(''X'') の中のすべてのコホモロジー類は、''X'' の上の整数係数の代数的サイクルのコホモロジー類である。</blockquote>

であった。ところが、現在はこれが誤りであることが知られている。最初の反例は、{{Harvtxt|Atiyah|Hirzebruch|1961}} により提出され、[[K-理論]]を使い、トーション (torsion) を持つホッジ類の例として反例が構成された。トーションを持つホッジ類とは、ある正の整数 ''n'' に対し ''n'' α = 0 となるようなホッジ類 α のことをいう。そのような（トーションを持つ）コホモロジー類はサイクルの類にはなりえない。{{Harvtxt|Totaro|1997}} はこれらの結果を[[コボルディズム]]のフレームワークの中で再解釈し、トーションを持つ類の多くの例を見つけた。

整数ホッジ予想の最も単純な修正は、
:: 
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''トーションの剰余をとった整数ホッジ予想''' (Integral Hodge conjecture modulo torsion) ''X'' を複素射影多様体とする。すると、''H''<sup>2''k''</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H''<sup>''k'', ''k''</sup>(''X'') のすべてのコホモロジー類は、''X'' の整数係数を持つ代数的サイクルのトーション類とコホモロジー類の和となる。</blockquote>

同値なことではあるが、''H''<sup>2''k''</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H''<sup>''k'', ''k''</sup>(''X'') をトーション類で割ると、全ての類は整係数代数的サイクルのコホモロジー群の像 (image) となる。しかしこれも誤っている。{{Harvtxt|Kollár|1992}} は非代数的ではあるが代数的なサイクルの整数倍となっているホッジ類 α の例を見つけた。
<!---Hodge's original conjecture was:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Integral Hodge conjecture.''' Let ''X'' be a projective complex manifold. Then every cohomology class in ''H''<sup>2''k''</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H<sup>k, k</sup>''(''X'') is the cohomology class of an algebraic cycle with integral coefficients on ''X''.</blockquote>

This is now known to be false.  The first counterexample was constructed by {{Harvtxt|Atiyah|Hirzebruch|1961}}.  Using [[K-theory]], they constructed an example of a torsion Hodge class, that is, a Hodge class α such that for some positive integer ''n'', ''n'' α = 0.  Such a cohomology class cannot be the class of a cycle.  {{Harvtxt|Totaro|1997}} reinterpreted their result in the framework of [[cobordism]] and found many examples of torsion classes.

The simplest adjustment of the integral Hodge conjecture is:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Integral Hodge conjecture modulo torsion.''' Let ''X'' be a projective complex manifold. Then every cohomology class in ''H''<sup>2''k''</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H<sup>k,k</sup>''(''X'') is the sum of a torsion class and the cohomology class of an algebraic cycle with integral coefficients on ''X''.</blockquote>

Equivalently, after dividing ''H''<sup>2''k''</sup>(''X'', '''Z''') ∩ ''H<sup>k,k</sup>''(''X'') by torsion classes, every class is the image of the cohomology class of an integral algebraic cycle.  This is also false.  {{Harvtxt|Kollár|1992}} found an example of a Hodge class α which is not algebraic, but which has an integral multiple which is algebraic.-->

=== ケーラー多様体のホッジ予想 ===

ホッジ予想を自然に一般化すると次のように言うことができるであろう。
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''ホッジ予想のケーラー多様体のナイーブなバージョン'''  ''X'' を複素ケーラー多様体とすると、すべての ''X'' 上のホッジ類は、''X'' の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合であろう。</blockquote>

この予想も楽観的すぎる。何故ならば、これを行うための豊富に部分多様体が存在するとは言えないからである。次の一つか二つの問題を問うことができる状況になっている。
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''ケーラー多様体のホッジ予想のベクトルバンドルのバージョン'''  ''X'' を複素ケーラー多様体とする。すべての ''X'' のホッジ類は ''X'' 上のベクトルバンドルのチャーン類の有理係数の線形結合である。</blockquote>
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''ケーラー多様体のホッジ予想の連接層のバージョン'''  ''X'' を複素ケーラー多様体とする。すべての ''X'' のホッジ類は ''X'' 上の[[連接層]]のチャーン類の有理係数の線形結合である。</blockquote>

[[クレール・ヴォワザン]]（{{Harvtxt|Voisin|2002}}）は、連接層のチャーン類がベクトルバンドルのチャーン類よりもより厳密なホッジ類を与えることと、連接層のチャーン類であってもすべてのホッジ類を生成するには不十分であることを証明した。結局、ケーラー多様体についてのホッジ予想で現在知られている定式化は、皆、誤りであることが判明している。

<!---A natural generalization of the Hodge conjecture would ask:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Hodge conjecture for Kähler varieties, naive version.''' Let ''X'' be a complex Kähler manifold. Then every Hodge class on ''X'' is a linear combination with rational coefficients of the cohomology classes of complex subvarieties of ''X''.</blockquote>

This is too optimistic, because there are not enough subvarieties to make this work.  A possible substitute is to ask instead one of the two following questions:

<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Hodge conjecture for Kähler varieties, vector bundle version.''' Let ''X'' be a complex Kähler manifold. Then every Hodge class on ''X'' is a linear combination with rational coefficients of Chern classes of vector bundles on ''X''.</blockquote>
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''Hodge conjecture for Kähler varieties, coherent sheaf version.''' Let ''X'' be a complex Kähler manifold. Then every Hodge class on ''X'' is a linear combination with rational coefficients of Chern classes of coherent sheaves on ''X''.</blockquote>

{{Harvtxt|Voisin|2002}} proved that the Chern classes of coherent sheaves give strictly more Hodge classes than the Chern classes of vector bundles and that the Chern classes of coherent sheaves are insufficient to generate all the Hodge classes.  Consequently, the only known formulations of the Hodge conjecture for Kähler varieties are false.-->
=== 一般化されたホッジ予想 ===

ホッジはさらに整数ホッジ予想よりも強い予想を立てた。''X'' 上のコホモロジーが、余次元が ''c'' である部分多様体上のコホモロジーから来たコホモロジーであるときに、'''レベル ''c''''' と呼ぶことにする。少なくともレベルが ''c'' であるコホモロジー類は ''X'' のコホモロジー類をフィルターにかけると、''c'' 番目のフィルトレーション ''N<sup>c</sup> H<sup>k</sup>''(''X'', '''Z''') が次の式を満たすことが容易に分かる。
:<math>N^cH^k(X, \mathbf{Z}) \subseteq H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).</math>

ホッジの元来のステートメントは以下であった。
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''一般化されたホッジ予想、ホッジのバージョン'''　次の式は等号が成立するであろう。
:<math>N^cH^k(X, \mathbf{Z}) = H^k(X, \mathbf{Z}) \cap \left (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X) \right ).</math></blockquote>

{{harvtxt|Grothendieck|1969}} では、たとえ有理数係数の場合でも、これが正しくないことが認識されていた。何故ならば、右辺がいつも[[ホッジ構造]]であるとは限らないからである。グロタンディークがホッジ予想を修正した形は、次の形である。
<blockquote style="color:#111111; background:#FFFFFF; padding:0.5em; border:1px solid #999999">'''一般化されたホッジ予想''' ''N<sup>c</sup> H<sup>k</sup>''(''X'', '''Q''') は、
:<math>H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)</math>
に含まれる ''H<sup>k</sup>''(''X'', '''Z''') の最も大きな部分ホッジ構造であろう。
</blockquote>

このバージョンは未解決である。

<!---Hodge made an additional, stronger conjecture than the integral Hodge conjecture.  Say that a cohomology class on ''X'' is of ''level c'' if it is the pushforward of a cohomology class on a ''c''-codimensional subvariety of ''X''.  The cohomology classes of level at least ''c'' filter the cohomology of ''X'', and it is easy to see that the ''c''th step of the filtration ''N<sup>c</sup>'' ''H<sup>k</sup>''(''X'', '''Z''') satisfies

:<math>N^cH^k(X, \mathbf{Z}) \subseteq H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).</math>

Hodge's original statement was:
::'''Generalized Hodge conjecture, Hodge's version.'''  <math>N^cH^k(X, \mathbf{Z}) = H^k(X, \mathbf{Z}) \cap (H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X)).</math>
{{harvtxt|Grothendieck|1969}} observed that this cannot be true, even with rational coefficients, because the right-hand side is not always a Hodge structure.  His corrected form of the Hodge conjecture is:
::'''Generalized Hodge conjecture.'''  ''N<sup>c</sup>'' ''H<sup>k</sup>''(''X'', '''Q''') is the largest sub-Hodge structure of ''H<sup>k</sup>''(''X'', '''Z''') contained in <math>H^{k-c,c}(X) \oplus\cdots\oplus H^{c,k-c}(X).</math>
This version is open.-->
== ホッジ軌跡の代数性 ==
<!---== Algebraicity of Hodge loci ==
The strongest evidence in favor of the Hodge conjecture is the algebraicity result of {{Harvtxt|Cattani|Deligne|Kaplan|1995}}.  Suppose that we vary the complex structure of ''X'' over a simply connected base.  Then the topological cohomology of ''X'' does not change, but the Hodge decomposition does change.  It is known that if the Hodge conjecture is true, then the locus of all points on the base where the cohomology of a fiber is a Hodge class is in fact an algebraic subset, that is, it is cut out by polynomial equations.  Cattani, Deligne & Kaplan (1995) proved that this is always true, without assuming the Hodge conjecture.--->

ホッジ予想を支持する最も強い証拠は、{{Harvtxt|Cattani|Deligne|Kaplan|1995}} の示している'''代数性'''である。単連結な基底の上の ''X'' の複素構造を変形すると仮定すると、''X'' のトポロジカルなコホモロジーは変わらないが、ホッジ分解は変化する。もしホッジ予想が正しければ、ファイバーのコホモロジーがホッジ類となっている基底上のすべての点の軌跡は、実際、代数的な部分集合、つまり多項式でカットした部分集合となっている。カッターニ (Cattani) とドリーニュ (Deligne) とカプラン (Kaplan) は1995年にホッジ予想を仮定することなしに、これらが正しいことを証明した。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
===出典===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{citation |last1=Atiyah |first1=M. F. |author1-link=Michael Atiyah |last2=Hirzebruch |first2=F. |author2-link=Friedrich Hirzebruch |year=1961 |title=Vector bundles and homogeneous spaces |journal=Proc. Sympos. Pure Math. |volume=3 |issue= |pages=7–38 |doi= }}
*{{Citation | last1=Cattani | first1=Eduardo | last2=Deligne | first2=Pierre | author2-link=Pierre Deligne | last3=Kaplan | first3=Aroldo | title=On the locus of Hodge classes | mr=1273413 | year=1995 | journal=[[:en:Journal of the American Mathematical Society|Journal of the American Mathematical Society]] | volume=8 | issue=2 | pages=483–506 | doi=10.2307/2152824 | jstor=2152824 }}.
*{{citation|last=Grothendieck|first=A.|authorlink=Alexander Grothendieck|title=Hodge's general conjecture is false for trivial reasons|journal=[[Topology (journal)|Topology]]|volume=8|year=1969|pages=299–303|doi=10.1016/0040-9383(69)90016-0|issue=3}}.
*{{citation|last=Hodge|first=W. V. D.|authorlink=W. V. D. Hodge|title=The topological invariants of algebraic varieties|journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians|publication-place=Cambridge, MA|year=1950|volume=1|pages=181–192}}.
*{{Citation |last=Kollár |first=János |authorlink=János Kollár |chapter=Trento examples |title=Classification of irregular varieties |page=134 |editor1-last=Ballico |editor1-first=E. |editor2-first=F. |editor2-last=Catanese |editor3-first=C. |editor3-last=Ciliberto |series=Lecture Notes in Math. |volume=1515 |location= |publisher=Springer |year=1992 |isbn=3-540-55295-2 }}.
*{{Citation | last1=Lefschetz | first1=Solomon |authorlink=Solomon Lefschetz | title=L'Analysis situs et la géométrie algébrique | publisher=Gauthier-Villars | language=French | series=Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Emile Borel | location=Paris | year=1924}} Reprinted in {{Citation | last1=Lefschetz | first1=Solomon | title=Selected papers | publisher=Chelsea Publishing Co. | location=New York | isbn=978-0-8284-0234-7 | mr=0299447 | year=1971}}.
*{{citation |last=Moonen |first=B. J. J. |author1-link=Ben Moonen |last2=Zarhin |first2=Yu. G. |author2-link=Yuri Zarhin |year=1999 |title=Hodge classes on abelian varieties of low dimension |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=315 |issue=4 |pages=711–733 |doi=10.1007/s002080050333 |arxiv=math/9901113 }}.
*{{citation |last=Mumford |first=D. |authorlink=David Mumford |title=A Note of Shimura's paper "Discontinuous groups and abelian varieties" |journal=[[Mathematische Annalen|Math. Ann.]] |volume=181 |issue=4 |year=1969 |pages=345–351 |doi=10.1007/BF01350672 }}.
*{{citation |last=Totaro |first=B. |authorlink=Burt Totaro |title=Torsion algebraic cycles and complex cobordism |journal=Journal of the American Mathematical Society |volume=10 |issue=2 |pages=467–493 |year=1997 |jstor=2152859 |arxiv=alg-geom/9609016 |doi=10.1090/S0894-0347-97-00232-4 }}.
*{{citation |last=Voisin |first=Claire |authorlink=Claire Voisin |year=2002 |title=A counterexample to the Hodge conjecture extended to Kähler varieties |journal=Int Math Res Notices |volume=2002 |issue=20 |pages=1057–1075 |doi=10.1155/S1073792802111135 }}.
*{{citation |last=Weil |first=A. |authorlink=André Weil |title=Abelian varieties and the Hodge ring |work=Collected papers |year=1977 |pages=421–429 |volume=III }}
*{{citation |last=Zucker |first=S. |title=The Hodge conjecture for cubic fourfolds |journal=Comp. Math |volume=34 |pages=199–209 |year=1977}}  http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1977__34_2/CM_1977__34_2_199_0/CM_1977__34_2_199_0.pdf

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|Hodge conjecture}} -->
* [[テイト予想 (代数幾何学)|テイト予想]]
* [[ホッジ理論]]
* [[ホッジ構造]]
* [[周期写像]]

== 外部リンク ==
* {{PDFlink|[http://www.claymath.org/sites/default/files/hodge.pdf The Clay Math Institute Official Problem Description by P. Deligne]}}
* Popular lecture on Hodge Conjecture by Dan Freed (University of Texas) [http://claymath.msri.org/hodgeconjecture.mov (Real Video)]   [http://www.ma.utexas.edu/users/dafr/HodgeConjecture/netscape_noframes.html (Slides)]
* [[Indranil Biswas]], Kapil Paranjape. [https://arxiv.org/abs/math/0007192v1 The Hodge Conjecture for general Prym varieties]
* [[Burt Totaro]], [https://burttotaro.wordpress.com/2012/03/18/why-believe-the-hodge-conjecture/ Why believe the Hodge Conjecture?]
* [[Claire Voisin]], [http://www.math.polytechnique.fr/~voisin/Articlesweb/hodgeloci.pdf Hodge loci]

{{ミレニアム懸賞問題}}
{{DEFAULTSORT:ほつしよそう}}
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[[Category:代数幾何学]]
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