ホッジ双対のソースを表示

{{要改訳}}
数学において、'''ホッジスター作用素'''(ホッジスターさようそ、{{lang|en|Hodge star operator}})、もしくは、'''ホッジ双対'''(ホッジそうつい、{{lang|en|Hodge dual}})は、[[ウィリアム・ホッジ]]により導入された[[線型写像]]である。ホッジ双対は、有限次元の[[向き付け|向き付けられた]][[計量ベクトル空間|内積空間]]の[[外積代数]]の上で定義される{{mvar|k}} -ベクトルのなす空間から{{math|(''n'' − ''k'')}}-ベクトルのなす空間への線形同型である。

他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上の[[ベクトルバンドル]]への作用に拡張することができる。
たとえば[[余接束]]の外積代数（すなわち、多様体上の微分形式の空間）に対して、ホッジスター作用素を用いて[[ラプラス作用素|ラプラス＝ド・ラーム作用素]]を定義し、[[コンパクト空間|コンパクト]]な[[リーマン多様体]]上の[[微分形式]]の[[ホッジ分解]]を導くことができる。

==次元と代数==
{{mvar|V}}を向きつけられた内積空間とし、{{mvar|n}}をその次元とする。{{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n''}} をみたす整数 {{mvar|k}} に対し、ホッジスター作用素とは、{{仮リンク|p-ベクトル|label={{mvar|k}}-ベクトル|en|p-vector}}{{lang|en|({{mvar|k}}-vectors)}}から {{math|(''n'' − ''k'')}}-ベクトル空間への同型写像のことである。この写像の {{mvar|k}}-ベクトルの像は、{{mvar|k}}-ベクトルの'''ホッジ双対'''と呼ばれる。{{mvar|k}}-ベクトルの空間および{{math|(''n'' − ''k'')}}-ベクトルの空間の次元はともに二項係数

:<math> \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} </math>

である。同じ体の上の同じ次元の 2つの[[ベクトル空間]]は常に[[同型]]であるが、標準的方法で同型となるわけではない。しかし、この場合のホッジ双対は、内積とベクトル空間の向き付けを利用することによって、代数における二項係数のパターンを反映した同型を自然にさだめる。またこれによって {{mvar|k}}-ベクトル空間の内積を導く。自然な定義とは、この双対関係が理論の幾何学的な役割を果たすことを意味する。

最初の興味深い例は、3次元[[ユークリッド空間]] {{mvar|V}} である。二項係数は 1, 3, 3, 1であり、ホッジ双対は、2つの 3次元空間、{{mvar|V}} 自身と{{mvar|V}} から導かれる 2つのベクトルの[[ウェッジ積]]の空間の間の同型を確立する。詳細は、[[#例]]の節を参照。この場合には、まさに伝統的な[[ベクトル解析]]である[[クロス積]]（外積）である。クロス積は 3次元でのみ定義されるのに対し、ホッジ双対は一般次元で定義される。
<!--==Dimensionalities and algebra==
Suppose that {{mvar|n}} is the dimensionality of the oriented inner product space and {{mvar|k}} is an integer such that {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n''}}, then the Hodge star operator establishes a one-to-one mapping from the space of [[p-vector|{{mvar|k}}-vectors]] to the space of {{math|(''n'' − ''k'')}}-vectors.  The image of a {{mvar|k}}-vector under this mapping is called the ''Hodge dual'' of the {{mvar|k}}-vector. The former space, of {{mvar|k}}-vectors, has dimensionality

:<math> {n \choose k} </math>

while the latter has dimensionality

:<math> {n \choose n - k}, </math>

and by the symmetry of the [[binomial coefficient]]s, these two dimensionalities are equal. Two [[vector space]]s over the same field with the same dimensionality are always [[isomorphic]]; but not necessarily in a natural or canonical way. The Hodge duality, however, in this case exploits the inner product and orientation of the vector space. It singles out a unique isomorphism, that reflects therefore the pattern of the binomial coefficients in algebra. This in turn induces an inner product on the space of {{mvar|k}}-vectors. The 'natural' definition means that this duality relationship can play a geometrical role in theories. 

The first interesting case is on three-dimensional [[Euclidean space]] {{mvar|V}}. In this context the relevant row of [[Pascal's triangle]] reads

:{{math|1, 3, 3, 1}}

and the Hodge dual sets up an isomorphism between the two three-dimensional spaces, which are {{mvar|V}} itself and the space of [[wedge product]]s of two vectors from {{mvar|V}}. See the Examples section for details. In this case the content is just that of the [[cross product]] of traditional [[vector calculus]]. While the properties of the cross product are special to three dimensions, the Hodge dual applies to all dimensionalities.-->


==k-ベクトルのホッジスターの定義==
[[非退化]]な[[対称双線型形式]]（以下ではこれを'''内積'''とよぶ）を持つ[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} 上の'''ホッジスター作用素'''{{lang|en|(Hodge star operator)}}は、{{mvar|V}} の[[外積代数]]上の線型作用素であり、{{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n''}} に対し、{{mvar|k}}-ベクトルを {{math|(''n'' − ''k'')}}-ベクトルに写すものである。

{{mvar|k}}-ベクトル上の内積 {{math|⟨•, •⟩}} は、{{mvar|V}} 上の内積から、 {{mvar|k}}-ベクトル {{math|''α'' {{=}} ''α''{{sub|1}} ∧ … ∧ ''α{{sub|k}}''}} と {{math|''β'' {{=}} ''β''{{sub|1}} ∧ … ∧ ''β{{sub|k}}''}} に対して、

:<math>\langle \alpha, \beta \rangle = \det \bigl( \langle \alpha_{i}, \beta_{j} \rangle \bigr)</math> 

と定め、これを双線形に拡張することで得られる。

{{mvar|n}}-ベクトル の空間は 1 次元で、したがって単位{{mvar|n}} ベクトル {{mvar|ω}} には 2 つの取り方がある。このどちらかを選ぶことにより {{mvar|V}} 上の[[向き付け]]が決まる。

ホッジスター作用素は以下の性質をもち、またこれにより決定される。2つの {{mvar|k}}-ベクトル {{math|''α'', ''β''}} が与えられたとき、

:<math>\alpha \wedge (\star \beta) = \langle \alpha,\beta \rangle \omega</math>

である。

==説明==
{{mvar|V}} を内積をもつ {{mvar|n}}次元ベクトル空間とすると、上で述べたように各  {{mvar|k}} に対し <math display="inline">\bigwedge^k V</math> にも内積を定めることができる。これらをすべて {{math|⟨•, •⟩}} で表すとする。<math display="inline">\bigwedge^n V</math> は 1 次元で、その長さ 1 のベクトルのうち一つ {{mvar|ω}} を固定して、これを向きとする。
{{mvar|k}}-ベクトル {{mvar|λ}} と{{math|(''n'' − ''k'')}}-ベクトル {{mvar|θ}} に対し <math display="inline">\lambda \wedge \theta \in \bigwedge^n V </math> が得られる。
これは上で選んだ {{mvar|ω}} のスカラー倍になる。

<math display="inline">\lambda \in \bigwedge^k V</math> を固定し、上で定まるスカラーを {{math|''f{{sub|λ}}''(''θ'')}} と書くと、一意に線形形式

:<math>f_{\lambda} \in \biggl( \bigwedge^{n-k} V \biggr)^{\! *}</math> 

が存在して、任意の <math display="inline">\theta \in \bigwedge^{n-k} V </math> に対して {{math|''λ'' ∧ ''θ'' {{=}} ''f{{sub|λ}}''(''θ'') ''ω''}} となる。
この線形形式に対し、[[リースの表現定理]]により一意に {{math|(''n'' − ''k'')}}-ベクトル、<math display="inline">\star \lambda \in \bigwedge^{n-k} V </math> が存在し、

:<math>\forall \theta \in \bigwedge^{n-k} V: \quad f_{\lambda}(\theta) = \langle \theta, \star \lambda\rangle</math> 

を満たす。言いかえると、この {{math|(''n'' − ''k'')}}-ベクトル {{math|⋆''λ''}} は 内積

:<math>\biggl( \bigwedge^{n-k} V \biggr)^{\! *} \cong \bigwedge^{n-k} V</math> 

により導かれた同型の下で {{mvar|f{{sub|λ}}}} の像となる。このようにして、

:<math> \star\colon \bigwedge^{k} V \to \bigwedge^{n-k} V</math>

が得られる。

==ホッジスターの計算==
{{math|''ω'' {{=}} ''e''{{sub|1}} ∧ … ∧ ''e{{sub|n}}''}} となるように順序付けされた直交基底 {{math|(''e''{{sub|1}}, ..., ''e{{sub|n}}'')}} が与えられると、

:<math>\star (e_{1} \wedge e_{2} \wedge \dotsb \wedge e_{k})= e_{k+1} \wedge e_{k+2} \wedge \dotsb \wedge e_n</math>

と計算できる。

より一般に[[置換の符号|偶置換]] {{math|(''i''{{sub|1}}, ''i''{{sub|2}}, ..., ''i{{sub|n}}'')}} に対しても

:<math>\star (e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \dotsb \wedge e_{i_k}) = e_{i_{k+1}} \wedge e_{i_{k+2}} \wedge \dotsb \wedge e_{i_n}</math>

となることが分かる。

==スター作用素のインデックス記法==
インデックス記法を使うと、ホッジ双対は、{{mvar|n}}-次元完全反対称'''レヴィ・チヴィタテンソル'''{{lang|en|(Levi-Civita tensor)}}と {{mvar|k}}-形式の添字の縮約により得られる。これは[[エディントンのイプシロン|レヴィ・チヴィタの記号]]から{{math|{{abs|det ''g''}}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>}} だけずれている。ここで{{mvar|g}} を内積（[[計量テンソル]]）とした。ここで行列式は、たとえば[[擬リーマン多様体#ローレンツ多様体|ローレンツ多様体]]の接空間のように{{mvar|g}} が正定値でない場合もあるので絶対値をとる必要がある。

このように<ref>The Geometry of Physics (3rd edition), T. Frankel, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1107-602601</ref>、

:<math>(\star \eta)_{i_1, i_2, \dotsc, i_{n-k}} = \frac{1}{k!} \eta^{j_1, \dotsc, j_k} \sqrt {|\det g|} \, \varepsilon_{j_1, \dotsc, j_k, i_1, \dotsc, i_{n-k}}</math>

と書く。ここに {{mvar|η}} は {{mvar|k}} の任意の反対称[[テンソル]]である。レヴィ・チヴィタテンソル同じ内積 {{mvar|g}} を使い、[[エディントンのイプシロン|レヴィ・チヴィタテンソル]]の定義と同様に、{{仮リンク|インデックスの上げ下げ|label=インデックスを上げたり下げたりする|en|raising and lowering indices}}{{lang|en|(indices are raised and lowered)}}。任意のテンソルを同じように表示できるが、結果は反対称である。これはテンソルの対称な成分が完全反対称レヴィ・チヴィタ記号との縮約により消去されるからである。
<!--==Computation of the Hodge star==
Given an orthonormal basis <math>(e_1,\cdots,e_n)</math> ordered such that <math>\omega = e_1\wedge \cdots \wedge e_n</math>, we see that

:<math>\star (e_{i_1} \wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k})= e_{i_{k+1}} \wedge e_{i_{k+2}} \wedge \cdots \wedge e_{i_n},</math>

where <math>(i_1, i_2, \cdots, i_n)</math> is an even permutation of {{math|{1, 2, ..., ''n''}.}}

Of these <math>n! \over 2</math> relations, only <math>n \choose k</math> are independent. The first one in the usual [[lexicographical order]] reads

:<math>\star (e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_n.</math>

==Index notation for the star operator==
Using index notation, the Hodge dual is obtained by contracting the indices of a {{mvar|k}}-form with the {{mvar|n}}-dimensional completely antisymmetric '''Levi-Civita tensor'''. This differs from the [[Levi-Civita symbol]] by a factor of {{math|{{!}}det ''g''{{!}}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>}}, where ''g'' is an inner product (the [[metric tensor]]). The absolute value of the determinant is necessary if ''g'' is not positive-definite, e.g. for tangent spaces to [[Pseudo-Riemannian manifold#Lorentzian manifold|Lorentzian manifolds]].

Thus one writes<ref>The Geometry of Physics (3rd edition), T. Frankel, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1107-602601</ref>

:<math>(\star \eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}} = \frac{1}{(k)!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}}</math>

where {{mvar|η}} is an arbitrary antisymmetric [[tensor]] in {{mvar|k}} indices. It is understood that [[raising and lowering indices|indices are raised and lowered]] using the same inner product ''g'' as in the definition of the Levi-Civita tensor. Although one can take the star of any tensor, the result is antisymmetric, since the symmetric components of the tensor completely cancel out when contracted with the completely anti-symmetric Levi-Civita symbol.-->

==例==
スター作用素のよく知られた例は、{{math|''n'' {{=}} 3}} 次元の場合で、このとき 3 次元のベクトルと 3 × 3 [[交代行列|歪対称行列]]の対応と見なすことができる。これは[[ベクトル解析]]において暗に使われていて、たとえば、2つのベクトルのウェッジ積から[[クロス積]]を作りだすことができる。特に、[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} では、容易に、

:<math>\star \mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x</math>
:<math>\star \mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>

であることが分かる。ここに {{math|d''x'', d''y'', d''z''}} は {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 上の標準の直交な[[微分形式|微分 {{math|1}}-形式]]である。3次元におけるホッジ双対は、明らかにクロス積とウェッジ積を関連付ける。微分幾何学へ限定しない詳細な説明は、パラグラフを改める。
<!--==Examples==
A common example of the star operator is the case {{math|''n'' {{=}} 3}}, when it can be taken as the correspondence between the vectors and the [[skew-symmetric matrix|skew-symmetric matrices]] of that size. This is used implicitly in [[vector calculus]], for example to create the [[cross product]] vector from the wedge product of two vectors. Specifically, for [[Euclidean space|Euclidean]] '''R'''<sup>3</sup>, one easily finds that

:<math>\star \mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x</math>
:<math>\star \mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>

where d''x'', d''y'' and d''z'' are the standard orthonormal differential [[one-form]]s on '''R'''<sup>3</sup>. The Hodge dual in this case clearly relates the cross-product to the wedge product in three dimensions. A detailed presentation not restricted to differential geometry is provided next.-->

===3次元の例===
ホッジ双対を3次元へ適用すると、[[擬ベクトル|軸性ベクトル]]と {{仮リンク|2-ベクトル|en|bivector}}{{lang|en|(bivector)}}の間の[[同型]]の間の同型、つまり軸性ベクトル {{mvar|'''a'''}} と {{mvar|2}}-ベクトル {{mvar|'''A'''}} を対応させることができる。すなわち、<ref name=Lounesto>{{cite book |title=Clifford Algebras and Spinors, ''Volume 286 of London Mathematical Society Lecture Note Series'' |author=Pertti Lounesto |url=https://books.google.com/books?id=E_xvJuA4M7QC&pg=PA39 |page=39 |chapter=§3.6 The Hodge dual |isbn=0-521-00551-5 |year=2001 |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press}}</ref>

: <math>\boldsymbol{A} = \star \boldsymbol{a} \qquad \boldsymbol{a} = \star \boldsymbol{A}</math>

が成り立つ。ここに、{{math|⋆}} は双対作用素を表す。これらの双対関係は、[[クリフォード代数#例：_実および複素のクリフォード代数|実、および複素クリフォード代数]] {{math|''Cl''<sub>3</sub>('''R''')}} の{{仮リンク|クリフォード代数の分類#単位擬スカラー|label=単位擬スカラー|en|Classification_of_Clifford_algebras#Unit_pseudoscalar}}{{lang|en|(Unit pseudoscalar)}}の作用により以下のように記述できる<ref name=Datta>{{cite book |title=Geometric algebra and applications to physics |chapter=The pseudoscalar and imaginary unit | url=https://books.google.co.jp/books?id=AXTQXnws8E8C&pg=PA53&redir_esc=y&hl=ja |page=53 ''ff'' |author=Venzo De Sabbata, Bidyut Kumar Datta |isbn=1-58488-772-9 | publisher=CRC Press |year=2007}}</ref>。{{math|''i'' {{=}} '''''e'''''<sub>1</sub>'''''e'''''<sub>2</sub>'''''e'''''<sub>3</sub>}} (ベクトル {{math|{{mset|'''''e'''''<sub>ℓ</sub>}}}} は 3次元ユークリッド空間の中での直交基底である）は、次の関係式に従う<ref name=Baylis>{{cite book |title=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications |editor=Rafal Ablamowicz, Garret Sobczyk |page=100 ''ff'' |chapter=Chapter 4: Applications of Clifford algebras in physics |author=William E Baylis  |isbn=0-8176-3257-3 |year=2004 | publisher=Birkhäuser | url=https://books.google.co.jp/books?id=oaoLbMS3ErwC&pg=PA100&redir_esc=y&hl=ja}}</ref>。

: <math>\boldsymbol{A} = \boldsymbol{a}i \quad \boldsymbol{a} = - \boldsymbol{A} i </math>
<!--===Three-dimensional example===
Applied to three dimensions, the Hodge dual provides an [[isomorphism]] between [[axial vector]]s and [[bivector]]s, so each axial vector '''a''' is associated with a bivector {{math|'''A'''}} and vice-versa, that is:<ref name=Lounesto>{{cite book |title=Clifford Algebras and Spinors, ''Volume 286 of London Mathematical Society Lecture Note Series'' |author=Pertti Lounesto |url=https://books.google.com/books?id=E_xvJuA4M7QC&pg=PA39 |page=39 |chapter=§3.6 The Hodge dual |isbn=0-521-00551-5 |year=2001 |edition=2nd |publisher=Cambridge University Press}}</ref>

: <math>\mathbf{A} = \star \mathbf{a}\qquad\mathbf{a} = \star \mathbf{A}</math>

where {{math|★}} indicates the dual operation. These dual relations can be implemented using multiplication by the [[Pseudoscalar (Clifford algebra)#Unit pseudoscalar|unit pseudoscalar]] in [[Clifford_algebra#Examples:_real_and_complex_Clifford_algebras|''C''ℓ<sub>3</sub>(R)]],<ref name=Datta>{{cite book |title=Geometric algebra and applications to physics |chapter=The pseudoscalar and imaginary unit | url=https://books.google.co.jp/books?id=AXTQXnws8E8C&pg=PA53&redir_esc=y&hl=ja |page=53 ''ff'' |author=Venzo De Sabbata, Bidyut Kumar Datta |isbn=1-58488-772-9 | publisher=CRC Press |year=2007}}</ref> {{math|''i'' {{=}} '''e'''<sub>1</sub>'''e'''<sub>2</sub>'''e'''<sub>3</sub>}} (the vectors {{math|{'''e'''<sub>ℓ</sub>} }} are an orthonormal basis in three dimensional Euclidean space) according to the relations:<ref name=Baylis>{{cite book |title=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications |editor=Rafal Ablamowicz, Garret Sobczyk |page=100 ''ff'' |chapter=Chapter 4: Applications of Clifford algebras in physics |author=William E Baylis  |isbn=0-8176-3257-3 |year=2004 | publisher=Birkhäuser | url=https://books.google.co.jp/books?id=oaoLbMS3ErwC&pg=PA100&redir_esc=y&hl=ja}}</ref>

: <math>\mathbf{A} = \mathbf{a}i\,,\quad\mathbf{a} = - \mathbf{A} i. </math>-->

ベクトルの双対は {{mvar|i}} をかけることにより得ることができる。これは次のように代数の{{仮リンク|幾何積|en|Geometric_product#The_geometric_product}}{{lang|en|(geometric product)}}の性質を使って説明できる。
 
:<math>\begin{align}
\boldsymbol{a}i &= (a_1 \boldsymbol{e}_1 + a_2 \boldsymbol{e}_2 + a_3 \boldsymbol{e}_3) \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 \\
&= a_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 (\boldsymbol{e_1})^2 + a_2 \boldsymbol{e}_3 \boldsymbol{e}_1 (\boldsymbol{e}_2)^2 + a_3  \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 (\boldsymbol{e}_3)^2 \\
&= a_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 + a_2 \boldsymbol{e}_3 \boldsymbol{e}_1 + a_3 \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \\
&= \star \boldsymbol{a}
\end{align}</math>

また、{{math|{{mset|'''''e'''''<sub>ℓ</sub>'''''e'''''<sub>''m''</sub>}}}} により張られる双対空間においても、

:<math>\begin{align}
\boldsymbol{A} i &= (A_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 + A_2 \boldsymbol{e}_3 \boldsymbol{e}_1 + A_3 \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2) \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 \\
&= A_1 \boldsymbol{e}_1 (\boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3)^2 + A_2 \boldsymbol{e}_2 (\boldsymbol{e}_3 \boldsymbol{e}_1)^2 + A_3 \boldsymbol{e}_3 (\boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2)^2 \\
&=-( A_1 \boldsymbol{e}_1 + A_2 \boldsymbol{e}_2 + A_3  \boldsymbol{e}_3 ) \\
&= - (\star \boldsymbol{A} )
\end{align}</math>

である。ここでは次の関係式

:<math>(\boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2)^2 = \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 = -\boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_1 = -1 </math>

および、

:<math>i^2 = (\boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3)^2 =\boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 \boldsymbol{e}_3 \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 = -1</math>

を用いた。
<!--The dual of a vector is obtained by multiplication by {{mvar|i}}, as established using the properties of the [[Geometric_product#The_geometric_product|geometric product]] of the algebra as follows:
 
:<math>\begin{align}
\mathbf{a}i &= \left(a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} +a_3 \mathbf {e_3}\right) \mathbf {e_1 e_2 e_3} \\
&= a_1 \mathbf{e_2 e_3} (\mathbf{e_1})^2 + a_2 \mathbf{e_3 e_1}(\mathbf{e_2})^2 +a_3  \mathbf{e_1 e_2}(\mathbf{e_3})^2 \\
&= a_1 \mathbf{e_2 e_3} +a_2 \mathbf{e_3 e_1} +a_3 \mathbf{e_1 e_2} \\
&= (\star \mathbf a )
\end{align}</math>

and also, in the dual space spanned by {{math|{'''e'''<sub>ℓ</sub>'''e'''<sub>''m''</sub>}:}}

:<math>\begin{align}
\mathbf{A} i &= \left(A_1 \mathbf{e_2e_3} + A_2 \mathbf{e_3e_1} +A_3 \mathbf {e_1e_2}\right) \mathbf {e_1 e_2 e_3} \\
&= A_1 \mathbf{e_1} (\mathbf{e_2 e_3})^2 +A_2 \mathbf{e_2} (\mathbf{e_3 e_1})^2 +A_3 \mathbf{e_3}(\mathbf{e_1 e_2})^2 \\
&=-\left( A_1 \mathbf{e_1} + A_2 \mathbf{e_2} + A_3  \mathbf{e_3} \right) \\
&= - (\star \mathbf A )
\end{align}</math>

In establishing these results, the identities are used:

:<math>(\mathbf{e_1e_2})^2 =\mathbf{e_1e_2e_1e_2}= -\mathbf{e_1e_2e_2e_1} = -1 </math>

and:

:<math>\mathit{i}^2 =(\mathbf{e_1e_2e_3})^2 =\mathbf{e_1e_2e_3e_1e_2e_3}= \mathbf{e_1e_2e_3e_3e_1e_2} = \mathbf{e_1e_2e_1e_2} = -1.</math>-->

これらの双対 {{math|⋆}} と {{mvar|i}} 関係式は、任意のベクトルに対して適用できる。ここで双対は、[[クロス積]] {{math|'''''a''''' {{=}} '''''u''''' × '''''v'''''}} として生成された軸性ベクトルを、{{math|2}}-ベクトルに値を持ち 2つの極（つまり、軸性ではない）ベクトル {{mvar|'''u'''}} と {{mvar|'''v'''}} の[[外積代数|外積]] {{math|'''''A''''' {{=}} '''''u''''' ∧ '''''v'''''}} へと関係付けることに適用される。2つの積は、[[行列式]]を使う同じ方法で、記法 {{math|'''''e'''''<sub>ℓ''m''</sub> {{=}} '''''e'''''<sub>ℓ</sub>'''''e'''''<sub>''m''</sub>}} を使い、次のように書き表すことができる。

: <math>\boldsymbol{a} = \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3\\
u_1 & u_2 & u_3\\
v_1 & v_2 & v_3
\end{vmatrix} \,,\quad
\boldsymbol{A} =  \boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{e}_{23} & \boldsymbol{e}_{31} & \boldsymbol{e}_{12}\\
u_1 & u_2 & u_3\\
v_1 & v_2 & v_3
\end{vmatrix}</math>

これらの表現は、2つのタイプのベクトルは、{{math|ℓ, ''m'', ''n''}} が巡回的{{lang|en|(cyclic)}}な関係式

:<math>\star \boldsymbol{e}_{\ell} = \boldsymbol{e}_{\ell} i = \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{e}_m \boldsymbol{e}_n</math>

と、再び {{math|ℓ, ''m'', ''n''}} が巡回的な関係式

:<math>\star ( \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_m ) = -( \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_m ) i = -( \boldsymbol{e}_{\ell} \boldsymbol{e}_m )\boldsymbol{e}_1 \boldsymbol{e}_2 \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{e}_{n} </math> 

の 2つの結果として、ホッジ双対であることを示される<ref name=Lounesto/>。

:<math>\star (\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} ) = \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} \,,\quad
\star (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} ) = \boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}</math>

{{mvar|i}} を用いた {{math|⋆}} の、よく使われている関係式<ref name=Hestenes>{{cite book |title=New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics  |isbn=0-7923-5302-1 |edition=2nd |year=1999 |publisher=Springer |chapter=The vector cross product |authorlink = David Hestenes|author=David Hestenes |url=https://books.google.co.jp/books?id=AlvTCEzSI5wC&pg=PA60&redir_esc=y&hl=ja |page=60 }}</ref> は、

:<math> \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} = -(\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} ) i  \,,\quad
\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} = (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v} )  i </math>
である。
<!---The dual of a vector is obtained by multiplication by {{mvar|i}}, as established using the properties of the [[Geometric_product#The_geometric_product|geometric product]] of the algebra as follows:
 
:<math>\begin{align}
\mathbf{a}i &= \left(a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} +a_3 \mathbf {e_3}\right) \mathbf {e_1 e_2 e_3} \\
&= a_1 \mathbf{e_2 e_3} (\mathbf{e_1})^2 + a_2 \mathbf{e_3 e_1}(\mathbf{e_2})^2 +a_3  \mathbf{e_1 e_2}(\mathbf{e_3})^2 \\
&= a_1 \mathbf{e_2 e_3} +a_2 \mathbf{e_3 e_1} +a_3 \mathbf{e_1 e_2} \\
&= (\star \mathbf a )
\end{align}</math>

and also, in the dual space spanned by {{math|{'''e'''<sub>ℓ</sub>'''e'''<sub>''m''</sub>}:}}

:<math>\begin{align}
\mathbf{A} i &= \left(A_1 \mathbf{e_2e_3} + A_2 \mathbf{e_3e_1} +A_3 \mathbf {e_1e_2}\right) \mathbf {e_1 e_2 e_3} \\
&= A_1 \mathbf{e_1} (\mathbf{e_2 e_3})^2 +A_2 \mathbf{e_2} (\mathbf{e_3 e_1})^2 +A_3 \mathbf{e_3}(\mathbf{e_1 e_2})^2 \\
&=-\left( A_1 \mathbf{e_1} + A_2 \mathbf{e_2} + A_3  \mathbf{e_3} \right) \\
&= - (\star \mathbf A )
\end{align}</math>

In establishing these results, the identities are used:

:<math>(\mathbf{e_1e_2})^2 =\mathbf{e_1e_2e_1e_2}= -\mathbf{e_1e_2e_2e_1} = -1 </math>

and:

:<math>\mathit{i}^2 =(\mathbf{e_1e_2e_3})^2 =\mathbf{e_1e_2e_3e_1e_2e_3}= \mathbf{e_1e_2e_3e_3e_1e_2} = \mathbf{e_1e_2e_1e_2} = -1.</math>

These relations between the dual {{math|★}} and {{mvar|i}} apply to any vectors. Here they are applied to relate the axial vector created as the [[cross product]] {{math|'''a''' {{=}} '''u''' × '''v'''}} to the bivector-valued [[exterior product]] {{math|'''A''' {{=}} '''u''' ∧ '''v'''}} of two [[polar vectors|polar]] (that is, not axial) vectors {{math|'''u'''}} and {{math|'''v'''}}; the two products can be written as [[determinant]]s expressed in the same way:

: <math>\mathbf a = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\u_1 & u_2 & u_3\\v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\,,\quad\mathbf A =  \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{23} & \mathbf{e}_{31} & \mathbf{e}_{12}\\u_1 & u_2 & u_3\\v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},</math>

using the notation {{math|'''e'''<sub>ℓ''m''</sub> {{=}} '''e'''<sub>ℓ</sub>'''e'''<sub>''m''</sub>}}. These expressions show these two types of vector are Hodge duals:<ref name=Lounesto/>

:<math>\star (\mathbf u \wedge \mathbf v )=\mathbf {u \times v}\,,\quad\star (\mathbf u \times \mathbf v ) = \mathbf u \wedge \mathbf v,</math>

as a result of the relations:

:<math>\star \mathbf e_{\ell} = \mathbf e_{\ell} \mathit i =\mathbf e_{\ell} \mathbf{e_1e_2e_3} = \mathbf e_m \mathbf e_n \,, </math> 

with {{math|ℓ, ''m'', ''n''}} cyclic,

and:

:<math>\star ( \mathbf e_{\ell} \mathbf e_m ) =-( \mathbf e_{\ell} \mathbf e_m )\mathit{i} =-\left( \mathbf e_{\ell} \mathbf e_m \right)\mathbf{e_1e_2e_3} =\mathbf e_{n} </math> 

also with {{math|ℓ, ''m'', ''n''}} cyclic.

Using the implementation of {{math|★}} based upon {{mvar|i}}, the commonly used relations are:<ref name=Hestenes>{{cite book |title=New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics  |isbn=0-7923-5302-1 |edition=2nd |year=1999 |publisher=Springer |chapter=The vector cross product |authorlink = David Hestenes|author=David Hestenes |url=https://books.google.co.jp/books?id=AlvTCEzSI5wC&pg=PA60&redir_esc=y&hl=ja |page=60 }}</ref>

:<math> \mathbf {u \times v} = -(\mathbf u \wedge \mathbf v ) i  \,,\quad  \mathbf u \wedge \mathbf v = (\mathbf {u \times v} )  i \ . </math>-->

===4次元===
{{math|''n'' {{=}} 4}} の場合では、ホッジ双対は {{math|2}}-ベクトルのなす空間の[[自己準同型]]として作用する（つまり、 {{math|4 − 2 {{=}} 2}} であるので、ホッジ双対は {{math|2}}-形式から {{math|2}}-形式への写像である）。このときホッジ双対は[[対合]]であり、よって、ホッジ双対は自分から自分自身への'''自己双対'''と'''反自己双対'''な部分空間へ分解し、その上でホッジ双対がそれぞれ {{math|+1 , −1}} として作用する。

他の有用な例は、{{math|''n'' {{=}} 4}} 次元の計量の符号 {{math|(+ − − −)}} と 座標 {{math|(''t'', ''x'', ''y'', ''z'')}} を使いミンコフスキー空間に対し、（{{math|''ε''{{sub|0123}} {{=}} 1}} を使い、） {{math|1}}-形式に対し、

:<math>\star \mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}y=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z \wedge\mathrm{d}x</math>
:<math>\star \mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y</math>

であり、一方、2-形式に対し、

:<math>\star (\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x) = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star (\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y) =   \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star (\mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z) = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>
:<math>\star (\mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y) =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star (\mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z) = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y</math>
:<math>\star (\mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z) =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x</math>

である。
<!--===Four dimensions===
In case {{math|1=''n'' = 4}}, the Hodge dual acts as an [[endomorphism]] of the second exterior power (i.e. it maps two-forms to two-forms, since {{nowrap|1=4 − 2 = 2}}). It is an [[involution (mathematics)|involution]], so it splits it into ''self-dual'' and ''anti-self-dual'' subspaces, on which it acts respectively as +1 and −1.

Another useful example is {{math|''n'' {{=}} 4}} Minkowski spacetime with metric signature {{math|(+ − − −)}} and coordinates {{math|(''t'', ''x'', ''y'', ''z'')}} where (using <math>\varepsilon_{0123} = 1</math>)

:<math>\star \mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}y=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z \wedge\mathrm{d}x</math>
:<math>\star \mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y</math>

for [[one-form]]s while

:<math>\star \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>
:<math>\star \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z</math>
:<math>\star \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y</math>
:<math>\star \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x</math>

for [[two-form]]s.-->
==双対性==
ホッジスターは双対性を定義する、つまりホッジスターを二回適用することで符号を除き外積代数の恒等写像を定める。{{mvar|n}}-次元空間 {{mvar|V}} の中の <math display="inline"> \bigwedge^k (V) </math> の {{mvar|k}}-ベクトルが与えられると、

:<math>\star {\star \eta}=(-1)^{k(n-k)}s\eta</math>

を得る。ここに {{mvar|s}} は {{mvar|V}} 上の内積の{{仮リンク|計量の符号|en|metric signature}}{{lang|en|(metric signature)}}である。特に、{{mvar|s}} は内積テンソルの[[行列式]]の符号である。このように、たとえば、{{math|''n'' {{=}} 4}} で内積の符号が、{{math|(+ − − −)}} 、または、{{math|(− + + +)}} であれば、{{math|''s'' {{=}} −1}} である。通常のユークリッド空間では符号は常に正であり、従って、{{math|''s'' {{=}} 1}} である。ホッジスターが擬リーマン多様体へ拡張されると、上の内積は対角形式での計量であると理解される。

上のことから、{{math|⋆}} の逆写像が

:<math> \star^{-1} \colon \bigwedge^k \to \bigwedge^{n-k}; \eta \mapsto (-1)^{k(n-k)}s{\star \eta} </math>

で与えられることがわかる。{{mvar|n}} が奇数であれば、任意の {{mvar|k}} に対し {{math|''k''(''n'' − ''k'')}} は偶数であり、{{mvar|n}} が偶数であれば、{{math|''k''(''n'' − ''k'')}} と {{mvar|k}} の偶奇はひとしい。従って、

:<math>\begin{cases} \star^{-1} = s\star & n \text{ is odd} \\
\star^{-1} = (-1)^k s\star & n \text{ is even} \end{cases}</math>

である。ここに {{mvar|k}} は作用した形式の次数である。

==多様体上のホッジスター==
上の構成を向きづけられた {{mvar|n}}次元の[[リーマン多様体]]、あるいは[[擬リーマン多様体]]の[[余接空間]]に対しても適用でき、[[微分形式|{{mvar|k}}-形式]]の'''ホッジ双対''' {{math|(''n'' − ''k'')}}-形式を得る。すると、ホッジスターは多様体上の微分形式の[[Lp空間|{{math|''L''<sup>2</sup>}}-ノルム]]である内積を与える。<math display="inline">\bigwedge^k(T^{*}M)</math> の[[ファイバーバンドル#切断|切断]] {{mvar|η}} と {{mvar|ζ}} に対し、

:<math>(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge \star \zeta = \int_M \langle \eta, \zeta \rangle \, \mathrm{d}\mathrm{Vol} </math>

である（切断の集合は、<math display="inline">\Omega^{k}(M) = \Gamma \bigl( \bigwedge^{k}(T^{*}M) \bigr)</math> と書かれることが多い。{{math|Ω{{sup|''k''}}(''M'')}} の元は、外 {{mvar|k}}-形式と呼ばれる）。

さらに一般的には、向き付けされていない場合は、{{mvar|k}}-形式のホッジスターを {{math|(''n'' − ''k'')}}-{{仮リンク|擬テンソル|label=擬微分形式|en|pseudotensor}}{{lang|en|(pseudo differential form)}}、すなわち、[[標準バンドル|標準ラインバンドル]] {{math|Ω<sup>''n''</sup>(''M'')}} に値を持つ微分形式として定義することができる。
<!--==Hodge star on manifolds==
One can repeat the construction above for each [[cotangent space]] of an {{mvar|n}}-dimensional oriented [[Riemannian manifold|Riemannian]] or [[pseudo-Riemannian manifold]], and get  the '''Hodge dual''' {{math|(''n'' − ''k'')}}-form, of  a [[differential form|{{mvar|k}}-form]]. The Hodge star then induces an [[Lp space|{{math|''L''<sup>2</sup>}}-norm]] inner product on the differential forms on the manifold. One writes

:<math>(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge \star \zeta = \int_M \langle \eta, \zeta \rangle \; \mathrm{d} \text{Vol} </math>

for the inner product of [[fibre bundle|sections]] {{mvar|η}} and {{mvar|ζ}} of <math>\Lambda^k(T^*M)</math>.  (The set of sections is frequently denoted as <math>\Omega^k(M)=\Gamma(\Lambda^k(T^*M))</math>.  Elements of <math>\Omega^k(M)</math> are called exterior {{mvar|k}}-forms).

More generally, in the non-oriented case, one can define the hodge star of a {{mvar|k}}-form as a {{math|(''n'' − ''k'')}}-[[pseudotensor|pseudo differential form]]; that is, a differential forms with values in the [[Canonical bundle|canonical line bundle]].-->

<!--==Duality==
The Hodge star defines a dual in that when it is applied twice, the result is an identity on the exterior algebra, up to sign. Given a {{mvar|k}}-vector {{math|''η''}} in {{math|Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} in an {{mvar|n}}-dimensional space {{mvar|V}}, one has 

:<math>\star {\star \eta}=(-1)^{k(n-k)}s\eta</math>

where {{mvar|s}} is related to the [[metric signature|signature]] of the inner product on {{mvar|V}}.  Specifically, {{mvar|s}} is the sign of the [[determinant]] of the inner product tensor. Thus, for example, if {{math|''n'' {{=}} 4}} and the signature of the inner product is either {{math|(+ − − −)}} or {{math|(− + + +)}} then {{math|''s'' {{=}} −1}}. For ordinary Euclidean spaces, the signature is always positive, and so {{math|''s'' {{=}} 1}}. When the Hodge star is extended to pseudo-Riemannian manifolds, then the above inner product is understood to be the metric in diagonal form.

Note that the above identity implies that the inverse of {{math|★}} can be given as

:<math> \begin{cases}\star^{-1}:\Lambda^k \to \Lambda^{n-k} \\ \eta \mapsto (-1)^{k(n-k)}s{\star \eta} \end{cases}</math>

Note that if {{mvar|n}} is odd {{math|''k''(''n'' − ''k'')}} is even for any {{mvar|k}} whereas if {{mvar|n}} is even {{math|''k''(''n'' − ''k'')}} has the parity of {{mvar|k}}. Therefore:

:<math>\begin{cases} \star^{-1} = s\star & n \text{ is odd} \\ \star^{-1} = (-1)^k s\star & n \text{ is even} \end{cases}</math>

where {{mvar|k}} is the degree of the forms operated on.-->

===余微分形式===<!-- This section is linked from [[Differential form]] -->
多様体上のホッジ双対の最も重要な応用は、'''余微分'''{{lang|en|(codifferential)}} {{mvar|δ}} を定義することである。

:<math>\delta = (-1)^{nk + n + 1}s\, {\star \mathrm{d}\star} = (-1)^k\,{\star^{-1}\mathrm{d}\star} </math>

とする。ここに、リーマン多様体に対し、{{math|d}} は[[外微分]]、{{math|''s'' {{=}} 1}} とする。

{{math|d: Ω{{sup|''k''}}(''M'') → Ω{{sup|''k''+1}}(''M'')}} に対し、{{math|''δ'': Ω{{sup|''k''}}(''M'') → Ω{{sup|''k''−1}}(''M'')}} である。
余微分は[[反微分]]ではない。これは外微分と異なる。

余微分は外微分に随伴する、すなわち {{math|⟨''η'', ''δζ''⟩ {{=}} ⟨d''η'', ''ζ''⟩}} である。
ここに {{mvar|ζ}} は {{math|(''k'' + 1)}}-形式であり、{{mvar|η}} は {{mvar|k}}-形式である。
これは滑らかな微分形式に対するストークスの定理より従う。このことは

:<math>\begin{align} 0 &= \int_M \mathrm{d}(\eta \wedge \star \zeta)\\
&= \int_M \Bigl( (\mathrm{d}\eta \wedge \star \zeta) - (\eta\wedge (-1)^{k+1} \mathrm{d}{\star \zeta}) \Bigr)\\
&= \int_M \Bigl( (\mathrm{d}\eta \wedge \star \zeta) - (\eta\wedge \star (-1)^{k+1}\,{\star^{-1}\mathrm{d}{\star \zeta}}) \Bigr)\\
&= \langle \mathrm{d}\eta, \zeta \rangle -\langle \eta, \delta\zeta \rangle
\end{align}</math>

となるとき、つまり、{{mvar|M}} は境界を持たないか、または、{{mvar|η}} あるいは {{math|⋆''ζ''}} が境界値が {{math|0}} を持っているときである。
（もちろん、真の随伴性は、滑らかな微分形式の閉包として、適切な位相ベクトル空間への連続に接続した後に、これらの事実が成り立つ。）

注意すべきは、微分形式は、{{math|d<sup>2</sup> {{=}} 0}}を満たすので、余微分は対応する性質 <math>\! \delta^2 = s^2{\star \mathrm{d}{\star {\star \mathrm{d}{\star}}}} = (-1)^{k(n-k)} s^3{\star \mathrm{d}^2\star} = 0 </math> をみたす。

[[ラプラス作用素|ラプラス・ド・ラーム作用素]]([[:en:Laplace–Beltrami_operator]])は {{math|∆ {{=}} (''δ'' + d){{sup|2}} {{=}} ''δ''d + d''δ''}} で与えられ、
[[ホッジ理論]]の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち {{math|⟨∆''ζ'', ''η''⟩ {{=}} ⟨''ζ'', ∆''η''⟩}} であり、
非負 {{math|⟨∆''η'', ''η''⟩ ≥ 0}} である。
ホッジ双対は、調和形式を調和形式へ写像する。[[ホッジ理論]]の結果として、[[ド・ラームコホモロジー]]は自然に調和 {{mvar|k}}-形式の空間と同型となり、ホッジスターはコホモロジー群

:<math>\star\colon H^{k}_{\Delta}(M) \to H^{n-k}_{\Delta}(M)</math>

の同型をもたらす。これは {{math|''H<sup>&thinsp;k</sup>''(''M'')}} の[[ポアンカレ双対性]]と標準的に同一視される。

===3次元での微分===
3次元では、{{math|⋆}} 作用素と[[外微分]] {{math|d}} の組み合わせは、古典的作用素 [[勾配 (ベクトル解析)|{{math|grad}}]]、[[回転 (ベクトル解析)|{{math|curl}}]]、[[発散 (ベクトル解析)|{{math|div}}]] を生成する。このことは次のようにして分かる。{{math|d}} は、{{math|0}}-形式（函数）から {{math|1}}-形式へ、{{math|1}}-形式から {{math|2}}-形式へ、{{math|2}}-形式から {{math|3}}-形式へ（{{math|3}}-形式へ作用させると {{math|0}} となる）作用素である。{{math|0}}-形式 {{math|''ω'' {{=}} ''f''(''x'', ''y'', ''z'')}} に対し、成分表示された第一の場合は、{{math|grad}} 作用素と同一視される。

:<math>\mathrm{d}\omega=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z</math>

第二の場合は、{{math|⋆}} 作用素により、{{math|1}}-形式上の作用素 ({{math|''η'' {{=}} ''A'' d''x'' + ''B'' d''y'' + ''C'' d''z''}}) を成分で示すと、{{math|curl}} 作用素である。

:<math>\mathrm{d}\eta = \left( \frac{\partial C}{\partial y} - \frac{\partial B}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z  + \left( \frac{\partial A}{\partial z} - \frac{\partial C}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial B}{\partial x} - \frac{\partial A}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y</math>

ホッジスター作用素を適用することは、次を意味する。

:<math>\star \mathrm{d}\eta = \left( \frac{\partial C}{\partial y} - \frac{\partial B}{\partial z} \right) \mathrm{d}x  + \left( \frac{\partial A}{\partial z} - \frac{\partial C}{\partial x} \right) \mathrm{d}y + \left( \frac{\partial B}{\partial x} - \frac{\partial A}{\partial y} \right) \mathrm{d}z</math>

最後の場合は、{{math|⋆}} を作用させると、{{math|1}}-形式 ({{math|''η'' {{=}} ''A'' d''x'' + ''B'' d''y'' + ''C'' d''z''}}) から {{math|0}}-形式（函数）を得て、成分で示すと div 作用素である。

:<math>\begin{align}
\star\eta &= A\,\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + B\,\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + C\,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \\
\mathrm{d}{\star\eta} &= \left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z \\
\star \mathrm{d}{\star\eta} &= \frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}
\end{align}</math>

この表現の有利な点のひとつは、どの場合でも成り立つ恒等式 {{math|d<sup>2</sup> {{=}} 0}} が、残る 2つをまとめ、{{math|curl(grad(&thinsp;''f''&thinsp;)) {{=}} '''0'''}} と {{math|div(curl('''''F''''')) {{=}} 0}} と得る。特に、[[マクスウェルの方程式]]は、外微分とホッジスター作用素で表すと、特別に単純でエレガントな形となる。

[[ラプラシアン]]も得ることができる。上の情報と {{math|∆&thinsp;''f''&thinsp; {{=}} div&thinsp;grad&thinsp;''f''&thinsp;}} という事実を使うと、{{math|0}}-形式 {{math|''ω'' {{=}} ''f''(''x'', ''y'', ''z'')}} に対し、

:<math> \Delta \omega =\star \mathrm{d}{\star \mathrm{d}\omega}= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

となる。
<!--==Derivatives in three dimensions==
The combination of the {{math|★}} operator and the [[exterior derivative]] {{math|d}} generates the classical operators [[gradient|grad]], [[Curl (mathematics)|curl]], and [[divergence|div]], in three dimensions. This works out as follows: {{math|d}} can take a 0-form (function) to a 1-form, a 1-form to a 2-form, and a 2-form to a 3-form (applied to a 3-form it just gives zero). For a 0-form, <math>\omega=f(x,y,z)</math>, the first case written out in components is identifiable as the grad operator:

:<math>\mathrm{d}\omega=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z.</math>

The second case followed by {{math|★}} is an operator on 1-forms (<math>\eta=A\,\mathrm{d}x+B\,\mathrm{d}y+C\,\mathrm{d}z</math>) that in components is the curl operator:

:<math>\mathrm{d}\eta=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z  + \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y.</math>

Applying the Hodge star gives:

:<math>\star \mathrm{d}\eta=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)\mathrm{d}x  - \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)\mathrm{d}y+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)\mathrm{d}z.</math>

The final case prefaced and followed by {{math|★}}, takes a 1-form (<math>\eta=A\,\mathrm{d}x+B\,\mathrm{d}y+C\,\mathrm{d}z</math>) to a 0-form (function); written out in components it is the divergence operator:

:<math>\begin{align}
\star\eta &= A\,\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z-B\,\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z+C\,\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \\
\mathrm{d}{\star\eta} &= \left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z \\
\star \mathrm{d}{\star\eta} &= \frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.
\end{align}</math>

One advantage of this expression is that the identity {{math|d<sup>2</sup> {{=}} 0}}, which is true in all cases, sums up two others, namely that {{math|curl(grad(&thinsp;''f''&thinsp;)) {{=}} 0}} and {{math|div(curl('''F''')) {{=}} 0}}. In particular, [[Maxwell's equations]] take on a particularly simple and elegant form, when expressed in terms of the exterior derivative and the Hodge star.

One can also obtain the [[Laplacian]]. Using the information above and the fact that {{math|Δ&thinsp;''f''&thinsp; {{=}} div&thinsp;grad&thinsp;''f''&thinsp;}} then for a 0-form, <math>\omega=f(x,y,z)</math>:

:<math> \Delta \omega =\star \mathrm{d}{\star \mathrm{d}\omega}= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>-->

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
* David Bleecker (1981) ''Gauge Theory and Variational Principles''. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-201-10096-7. Chpt. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry.
* Jurgen Jost (2002) ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis''. [[Springer-Verlag]]. ISBN 3-540-42627-2. A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case.
* [[Charles W. Misner]], [[Kip S. Thorne]], [[John Archibald Wheeler]] (1970) ''Gravitation''. W.H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. A basic review of [[differential geometry]] in the special case of four-dimensional [[spacetime]].
* Steven Rosenberg (1997) ''The Laplacian on a Riemannian manifold''. [[Cambridge University Press]]. ISBN 0-521-46831-0. An introduction to the [[heat equation]] and the [[Atiyah-Singer theorem]].
* [http://people.oregonstate.edu/~drayt/Courses/MTH434/2007/dual.pdf Tevian Dray (1999) ''The Hodge Dual Operator'']. A thorough overview of the definition and properties of the Hodge dual operator.

{{Tensors}}

{{DEFAULTSORT:ほつしそうつい}}
[[Category:微分形式]]
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:双対性]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]