ホップの最大値原理のソースを表示

[[数学]]における'''ホップの最大値原理'''（ホップのさいだいちげんり、{{Lang-en-short|Hopf maximum principle}}）は、二階の[[楕円型偏微分方程式]]の理論に現れるある[[最大値原理]]で、その理論の「古典的かつ根底に位置する結果」と称されている。1839年に[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]によってすでに知られていた[[調和函数]]に対する最大値原理の一般化として、{{仮リンク|エーベルハルト・ホップ|en|Eberhard Hopf}}は1927年、考えている函数が '''R'''<sup>''n''</sup> のある領域においてある種の二階偏微分不等式を満たし、その領域内で[[最大と最小|最大値]]を取るなら、その函数は定数であることを示した。ホップの証明において用いられた比較の手法の裏にあるシンプルなアイデアは、幅広い範囲での重要な応用や一般化をもたらすものであった。

== 数学的な定式化 ==

''u'' = ''u''(''x''), ''x'' = (''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>) は、ある[[開集合|開領域]] &Omega; において次の微分不等式を満たす ''C''<sup>2</sup> 函数とする。

: <math> Lu = \sum_{ij} a_{ij}(x)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} + 
\sum_i b_i\frac{\partial u}{\partial x_i} \geq 0 </math>

ここに[[対称行列]] ''a''<sub>''ij''</sub> = ''a''<sub>''ij''</sub>(''x'') は &Omega; において局所一様に[[行列の定値性|正定値]]であり、係数 ''a''<sub>''ij''</sub>, ''b''<sub>''i''</sub> =  ''b''<sub>''i''</sub>(''x'') は局所[[有界]]である。このとき、''u'' が &Omega; 内で最大値 ''M'' を取るなら、''u'' &equiv; ''M'' である。

ホップの最大値原理は通常、[[微分作用素|線型微分作用素]] ''L'' に対してのみ適用できるものと考えられている。この立場は特に、[[リヒャルト・クーラント]]と[[ダフィット・ヒルベルト]]による ''[[:en:Methoden der mathematischen Physik|Methoden der mathematischen Physik]]'' においても取られている。しかしホップの原著論文の後半の節では、特定の非線型作用素 ''L'' も許すより一般の状況が考えられており、いくつかの場合では{{仮リンク|平均曲率|en|mean curvature}}や{{仮リンク|モンジュ＝アンペールの方程式|en|Monge–Ampère equation}}に対する[[ディリクレ問題]]における一意性の結果も導かれている。

== 参考文献 ==

*{{citation
 | last = Hopf | first = Eberhard
 | editor1-last = Morawetz | editor1-first = Cathleen S.
 | editor2-last = Serrin | editor2-first = James B.
 | editor3-last = Sinai | editor3-first = Yakov G.
 | isbn = 0-8218-2077-X
 | location = Providence, RI
 | mr = 1985954
 | publisher = American Mathematical Society
 | title = Selected works of Eberhard Hopf with commentaries
 | year = 2002}}.
*{{citation
 | last1 = Pucci | first1 = Patrizia
 | last2 = Serrin | first2 = James
 | doi = 10.1016/j.jde.2003.05.001
 | issue = 1
 | journal = Journal of Differential Equations
 | mr = 2025185
 | pages = 1–66
 | title = The strong maximum principle revisited
 | volume = 196
 | year = 2004}}.

{{DEFAULTSORT:ほつふのさいたいちけんり}}
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