ホンフリー多項式のソースを表示

'''ホンフリー多項式'''（ホンフリーたこうしき、HOMFLY polynomial）または'''ホムフリー多項式'''とは、[[位相幾何学]]の一分野である[[結び目理論]]において、[[結び目理論#向き付け|有向]]絡み目に対する2[[変数 (数学)|変数]]の[[多項式]][[不変量]]である。

ホンフリー（HOMFLY）とはこの多項式を見出した6人の[[数学者]]（J.Hoste , A.Ocneanu , K.Millett, P.Freyd , W.B.R.Lickorish , D.Yetter）の頭文字を並べたもの（[[頭字語]]）である。さらに2人の数学者（J. Przytycki , P. Traczyk）の頭文字をつけて'''フリプモス多項式'''（FLYPMOTH polynomial）と呼んだり、同様の概念に到達したが論文にして発表しようとしなかっただれか（unknown）を含めて'''リンプトーフ多項式'''（LYMPHTOFU polynomial）ということもある<ref>[[河内明夫]] 『[http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~kawauchi/InternetLecture/07.html 「結び目理論」　講義7]』（[http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~kawauchi/InternetLecture/lectkawa.html 大阪市立大学インターネット講座]）</ref>。

==定義==
有向絡み目の[[結び目理論#結び目の表示|射影図]] ''L'' に対するホンフリー多項式 ''P''<sub>L</sub> (''m'' , ''l'') を、次の2つのルールによって帰納的に定義する。

<div style="border:2px solid #55d;background-color:#fff;color:black;padding:0 0.5em 0.5em 0.5em">

*'''ルール1'''
:<math> P_{\bigcirc}(m,l) = 1 \, </math>
:ここで○は[[自明な結び目]]の任意の射影図である。交点が1つも無い射影図に限らず、自明な結び目の全ての射影図に対して1と定めている点が[[ブラケット多項式]]のルール1とは異なる。

*'''ルール2'''
:3つの射影図 L<sub>&minus;</sub>, L<sub>0</sub>, L<sub>+</sub> について、射影図の絡み目の成分上の1点の近傍が下図のように異なっており、それ以外の部分は一致しているとする。
:[[画像:Skein-relation-patches.png|200px]]
:このとき、
:<math> l P_{L_{+}}(m,l) + l^{-1} P_{L_{-}}(m,l) + m P_{L_{0}}(m,l) = 0 \, </math>

</div>
このような2つのルールを定めておけば、どんな有向絡み目についてもホンフリー多項式を計算することができる。また、そのための[[プログラム (コンピュータ)|コンピュータ・プログラム]]も開発されている。

==性質==
ホンフリー多項式は、有向絡み目に対する多変量となる。つまり、同じ有向絡み目に対するどんな射影図についてホンフリー多項式を計算しても同じ結果になる。また、ホンフリー多項式は成分の全ての向きを逆にしても不変のため、向きのついていない結び目の不変量ともいえる（これはホンフリー多項式が結び目の可逆性を調べる役には立たないということでもある）。

ある絡み目に対するホンフリー多項式中の <math>l</math> を <math>l^{-1}</math> に置き換えると、元の絡み目の[[鏡像]]になる。よって両手型絡み目<ref group="注">ある結び目とその結び目の鏡像が[[結び目理論#結び目の同値性|同値]]のとき、その結び目を'''両手型結び目'''という。例えば[[8の字結び目]]は両手型結び目であるが、[[三葉結び目]]はそうではない。</ref>のホンフリー多項式は ''l'' について回文的になっている（ただし逆は成り立たない）。

ホンフリー多項式は、[[スケイン関係式]]を使って定義される'''スケイン多項式'''の中では最も一般化されたものであり、[[ジョーンズ多項式]]と[[アレクサンダー多項式]]の両方の情報を含んでいる。実際、ホンフリー多項式において<math> l= i t^{-1} , m = i(t^{-\frac{1}{2}}-t^{\frac{1}{2}})</math>を代入するとジョーンズ多項式になり、<math> l= i , m = i(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})</math>を代入するとアレクサンダー多項式になる（''i'' は[[虚数単位]]）。

絡み目''L''<sub>1</sub> と ''L''<sub>2</sub>の分離和（''L''<sub>1</sub> ∪ ''L''<sub>2</sub>）・[[結び目理論#結び目の合成|連結和]]（''L''<sub>1</sub> # ''L''<sub>2</sub>）については以下のような公式がある。
:<math>P(L_{1} \cup L_{2}) = -(l + l^{-1})  m^{-1} P(L_{1}) P(L_{2}) \, </math>
:<math>P(L_{1} \# L_{2}) = P(L_{1}) P(L_{2}) \, </math>
後者の連結和について、絡み目のどの成分を連結させるかによって連結後の絡み目はかわるが、その成分の選び方にかかわらずこの式が成立する。つまり、同じホンフリー多項式を持つ異なる絡み目が存在することになり、ホンフリー多項式が完全な不変量ではないことが分かる。結び目に限ったとしても、ホンフリー多項式を持つ異なる有向結び目が無限に存在することが1986年に証明されている<ref>T. Kanenobu, Infinitely many knots with the same polynomial invariant, Proc. Amer. Math. Soc. 97(1) (1986), 158–162</ref>。

==別の表現==
ホンフリー多項式は以下のようなスケイン関係式を使って ''x'' , ''t'' の多項式として表されることもある<ref>V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky, ''Knots, Links, Braids and 3-Manifolds'', Amer Mathematical Society, 1993 , p. 36. ISBN 978-0821808986.</ref>。
:<math> x P_{L_{+}}(x,t) - t P_{L_{-}}(x,t) = P_{L_{0}}(x,t) \, </math>

==脚注==
{{reflist|group=注}}

==参考文献==
* [[C・C・アダムス]]著、[[金信泰造]]訳 『結び目の数学』 [[培風館]]、1998年、166-175頁。ISBN 978-4563002541。
* [[村杉邦男]] 『結び目理論とその応用』 [[日本評論社]]、1993年、189-191頁。ISBN 978-4535781993。
{{reflist}}

==外部リンク==
*{{MathWorld|urlname=HOMFLYPolynomial|title=HOMFLYPolynomial}}

{{DEFAULTSORT:ほんふりいたこうしき}}
[[Category:結び目理論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]