ボックス＝ミュラー法のソースを表示

[[File:Box-Muller transform visualisation.svg|thumb|300px|ボックス=ミュラー法のイメージ。[[単位正方形]](''u''1, ''u''2)内部の色の付いた点は円状に散布され、2次元正規分布となる。上と右の余白に点で示される曲線は変換後の確率密度関数である。図は有限の区間でのプロットであるが、実際には変換後の分布は無限に広がる。[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Box-Muller_transform_visualisation.svg the SVG file]では、カーソルを合わせた点と関係する点をハイライトする。]]
'''ボックス＝ミュラー法'''（ボックス＝ミュラーほう、{{lang-en-short|Box–Muller's method}}）とは、[[一様分布]]に従う[[確率変数]]から[[正規分布|標準正規分布]]に従う確率変数を生成させる手法<ref name="soeda_ohta_ohmatsu2000_chapter5">[[#soeda_ohta_ohmatsu2000|添田、太田、大松（2000）、第5章]]</ref>。計算機シミュレーションにおいて、正規分布に従う[[乱数|擬似乱数]]の発生に応用される。統計学者{{仮リンク|ジョージ・ボックス|en|George E. P. Box}}と[[マーヴィン・マラー]]（ミュラー）によって考案された<ref name="box_muller1958">[[#box_muller1958|G.E.P. Box and M.E. Muller, ''Annals Math. Stat.''(1958).]]</ref>。

==概要==
[[確率変数]] ''X'' 及び ''Y'' が互いに独立で、ともに（0, 1）上での[[一様分布]]に従うものとする。このとき、

:<math>
\begin{align}
Z_1 &= \sqrt{-2 \log{X}} \cos{2\pi Y}, \\
Z_2 &= \sqrt{-2 \log{X}} \sin{2\pi Y}
\end{align}
</math>

で定義される ''Z''<sub>1</sub>, ''Z''<sub>2</sub> は、[[平均]] 0、[[分散 (確率論)|分散]] 1 の[[正規分布|標準正規分布]]N(0,1)に従う互いに独立な確率変数となる。一様分布に従う ''X'' 及び ''Y'' から正規分布に従う ''Z''<sub>1</sub>, ''Z''<sub>2</sub> を与えるこの変換を'''ボックス＝ミュラー変換'''という。また、この正規分布に従う確率変数を生成させる方法のことを'''ボックス＝ミュラー法'''という。ボックス＝ミュラー法によって、比較的生成が容易な一様分布に従う乱数から、応用上、重要な正規分布に従う乱数を生成させることができる。

==発想==
2次元の標準正規分布に従う (''Z''<sub>1</sub>, ''Z''<sub>2</sub>) において、2変数が互いに独立であれば、[[同時確率密度関数]]

:<math>
f(z_1,z_2) = \frac{1}{2\pi} \exp \left(-\frac{z_1^{2} + z_2^{2}}{2} \right)
</math>

は、円周上で定数値を与えることから、[[偏角]]

:<math>
\Theta = \arctan{\frac{Z_2}{Z_1}}
</math>

は (0, 2''&pi;'') 上で、一様分布をなす。一方、2次元ベクトル (''Z''<sub>1</sub>, ''Z''<sub>2</sub>) の大きさの2乗

:<math>
R^2= Z_1^{2} + Z_2^{2}
</math>

は自由度2の[[カイ二乗分布]]に従う。ここで、カイ二乗分布の性質から exp(−''R''<sup>2</sup>/2) は、(0, 1) 上の一様分布となる。

これらのことから、逆に (0, 1) 上で一様分布する2つの独立な確率変数 ''X'', ''Y'' により、

:<math>
\begin{align}
\Theta &= 2 \pi Y ,\\
R^2 &= - 2\log{X}
\end{align}
</math>

とすれば、

:<math>
\begin{align}
Z_1 &= R \cos{\Theta} ,\\
Z_2 &= R \sin{\Theta}
\end{align}
</math>

で定義される確率変数 ''Z''<sub>1</sub>, ''Z''<sub>2</sub> は標準正規分布 N(0, 1) に従うこととなる。

==証明==
ボックス=ミュラー変換が標準正規分布を与えることは、[[特性関数 (確率論)|特性関数]]を調べることで確認できる<ref name="soeda_ohta_ohmatsu2000_chapter5"></ref>。実際、''Z''<sub>1</sub> については、その特性関数は、

:<math>
\Phi_{Z_1}(\xi)= \langle e^{i\xi Z_1} \rangle
= \int_0^1 \int_0^1 \exp (i \xi \sqrt{-2 \log{x}} \cos{2\pi y}) dxdy
</math>

であり、変数変換

:<math>
x = \exp\left(-\frac{r^2}{2} \right), \, y = \frac{\theta}{2\pi}, \,
 dxdy=|J|drd\theta = \frac{r}{2\pi} \exp \left(- \frac{r^2}{2} \right) drd\theta
</math>

によって、

:<math>
\Phi_{Z_1}(\xi)
 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{\infty} \int_0^{2\pi}
 \exp \left( i \xi r \cos{\theta}-\frac{r^2}{2} \right) r dr d\theta
</math>
となるが、さらに変数変換

:<math>
z=r \cos{\theta}, \, w=r \sin{\theta}, \, dzdw=|J|dr d \theta= r dr d \theta
</math>

を行えば、

:<math>
\begin{align}
\Phi_{Z_1}(\xi)
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}
 \exp \left(i \xi z -\frac{z^2+w^2}{2} \right) dz dw \\
&= \exp \left( -\frac{\xi^2}{2} \right)
\end{align}
</math>

を得る。これは、標準正規分布 N(0, 1) の特性関数にほかならない。

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参考文献==
;原論文
*{{citation
|author1= G.E.P. Box
|authorlink1=ジョージ・ボックス
|author2=M.E. Muller
|authorlink2=マーヴィン・ミュラー
|title=A note on the generation of random normal deviates
|journal=Annals Math. Stat.
|volume=29
|pages=610-611
|year=1958
|doi=10.1214/aoms/1177706645
|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.aoms/1177706645
|ref=box_muller1958}}

;参考書籍
* {{Cite book |和書
|title= 計算機シミュレーションのための確率分布乱数生成法
|author1= 四辻哲章
|authorlink1=四辻哲章
|publisher=プレアデス出版
|year=2010
|isbn=978-4903814353
|ref=yotsuji2010}}
* {{Cite book |和書
|title= 数理統計の基礎と応用
|author1= 添田喬
|authorlink1=添田喬
|author2=太田光雄 
|authorlink2=太田光雄
|author3= 大松繁
|authorlink3=大松繁
|publisher=日新出版
|year=2000
|isbn=978-4817301079
|ref=soeda_ohta_ohmatsu2000}}

==関連項目==
*[[乱数列]] 
*[[正規分布]]

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:ほつくすみゆらあほう}}
[[Category:確率論]]
[[Category:乱数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]