ボホナー可測関数のソースを表示

[[数学]]の特に[[関数解析学]]の分野において、ある[[バナッハ空間]]に値を取る'''ボホナー可測関数'''（ボホナーかそくかんすう、{{Lang-en-short|Bochner measurable function}}）とは、可測な可算値関数の列の極限とほとんど至る所で等しいような[[関数 (数学)|関数]]のことを言う。すなわち、

:<math>f(t) = \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(t)\text{ for almost every }t, \, </math>

であり、各関数 <math>f_n</math> の値域は可算で、各 ''x'' に対して原像 <math>f^{-1}\{x\}</math> は可測であるような関数 <math>f</math> のことをボホナー可測関数と言う。この概念の名は[[サロモン・ボホナー]]の名にちなむ。

ボホナー可測関数は、しばしば'''{{仮リンク|強可測関数|en|strongly measurable function}}'''や '''<math>\mu</math>-可測関数'''あるいは単に'''可測関数'''と呼ばれる。また、バナッハ空間の間の連続[[線型作用素]]の空間を、値を取るバナッハ空間とする場合には、'''一様可測関数'''と呼ばれる。

== 性質 ==
可測性と弱可測性の関係については、'''{{仮リンク|ビリー・ジェームス・ペティス|label=ペティス|en|Billy James Pettis}}の定理'''あるいは'''ペティスの可測性定理'''として知られる、次の結果が得られている。

<blockquote>
関数 ''f'' が'''[[ほとんど (数学)|ほとんど確実に]]可分値'''（あるいは'''本質的に可分値'''）であるとは、''&mu;''(''N'')&nbsp;=&nbsp;0 であるような部分集合 ''N''&nbsp;&sube;&nbsp;''X'' で ''f''(''X''&nbsp;\&nbsp;''N'')&nbsp;&sube;&nbsp;''B'' が可分となるようなものが存在することを言う。
</blockquote>

<blockquote>
ある[[測度空間]] (''X'',&nbsp;&Sigma;,&nbsp;''&mu;'') 上で定義される、あるバナッハ空間 ''B'' に値を取る関数&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''B'' が（''B'' 上のσ-代数およびボレルσ-代数に関して）強可測であるための[[必要十分条件]]は、それが弱可測かつほとんど確実に可分値であることである。
</blockquote>

''B'' が可分である場合、可分なバナッハ空間の任意の部分集合はそれ自体が可分であることから、上述の ''N'' を空集合と取ることが出来る。したがって、''B'' が可分であるなら、弱可測と強可測の概念は一致する。

== 関連項目 ==
* [[ボホナー積分]]
* [[ペティス積分]]
* [[ボホナー空間]]
* [[可測空間]]
* [[ベクトル測度]]
* [[可測関数]]

== 参考文献 ==
* {{cite book
| last = Showalter
| first = Ralph E.
| title = Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations
| series = Mathematical Surveys and Monographs 49
| publisher = American Mathematical Society
| location = Providence, RI
| year = 1997
| page = 103
| isbn = 0-8218-0500-2
| mr = 1422252 
| contribution = Theorem III.1.1}}.

{{DEFAULTSORT:ほほなあかそくかんすう}}
[[Category:関数の種類]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]